北京中考专题复习几何综合.docx

1、北京中考专题复习几何综合 知识框架 几何综合题型一般以基本图形(正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。 涉及初中数学九大几何模型：1、中点类辅助线2、角平分线、垂直平分线类辅助线3、相似模型4、旋转之手拉手模型5、旋转之对角互补模型6、旋转之半角模型7、旋转之构造等边三角形8、旋转之费马点模型9、最短距离问题解题思路：从复杂的图形中“抽出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。知识梳理中点类辅助线见中点-倍长中线：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长

2、中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。在ABC中, AD是BC边中线。方式1：直接倍长，（图1）： 延长AD到E,使DE=AD，连接BE 例:已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：AF=EF方式2:间接倍长1)(图2)作CFAD于F,作BEAD的延长线于E， 连接BE 2)（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD例：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。方式3：平行线间线段有中点如图：ADBE，F为DE中点.可构造8字全等 ADFHEF。 例：如图,在矩形

3、ABCD中，BD=BE，F为DE中点。试探究AF与CF之间的位置关系。 例：如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,M为AD中点,CEAB。求证：EMD=3MEA. 见多个中点构造中位线： 已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线； 已知一边中点,可以在另一边上取中点，连接构造中位线; 已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形. 例：如图，在四边形ABCD中,AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=CHE。见等腰三角形底边中点-连接顶点与中点,构造三线合一 直角三角形斜边中线：直角三角形中,有斜边中点时常作斜边中线

4、；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在RtABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形.角平分线、垂直平分线类辅助线角平分线:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。1由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线,利用角平分线性质。2以角的平分线为轴,将图形翻折,在角的平分线两侧构造全等三角形。3当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交,构成等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”4过角的一边上的点，作另一边的平行线,构成等腰三角形“角平分线+平行，必出等腰 ”

5、例：如下图,在ABC中，A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CMAD交AD的延长线于点M. 垂直平分线：a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 例：如图,Rt ABC中,ACB=90,AD平分BAC, 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G,交AC于点H（1)依题意补全图形（2）求证：BAD=BFG （3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明相似模型平行A字型、8字型:斜交A字型、8字型： 共享型（母子型）: 双共享型:双A字型：一线三等角型:旋转之手拉手模型手拉手全等特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶

6、点 结论：（1）ABC ABC （2）BOB=BAB（3）OA平分BOC 例：如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明：（1） （2）（3）与之间的夹角为（4）（5）（6）平分（7）手拉手相似特点:由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点 结论：（1）AOCBOD （2）AEB=AOB例：如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结CE、AG,二者相交于点H.求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度？ （3）HD平分AHE旋转之对角互补模型对角互补，邻边相等。 （全等型-90）【条件】:AOB=DCE=90；OC平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC

7、;当DCE的一边交AO的延长线于D时： 以上三个结论：CD=CE；OE-OD=OC；(全等型-120） （全等型任意角）【条件】:AOB=2DCE=120;OC平分AOB【结论】：CD=CE；OD+OE=OC；对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线;初始条件“角平分线与“两边相等的区别；注意OC平分AOB时， CDE=CED=COA=COB如何引导？旋转之半角模型角含半角要旋转：构造两次全等【条件】:正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE；CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形ABCD；EF=DF+

8、BE；【结论】：EAF=45；【条件】:正方形ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DFBE；【条件】：RtABC；DAE=45；【结论】:； 若DAE旋转到ABC外部时，结论仍然成立旋转之构造等边三角形等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键。例:在四边形ABCD中，ABC=60，AB=BC，ADC=30证明:。分析:待证结论让我们联想到勾股定理,需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。例: 如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD =

9、 CE，连接BD，AE相交于点F（1）BFE的度数是 （2）如果,那么 （3)如果时，请用含n的式子表示AF,BF的数量关系，并证明例： 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60,得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F(1）求AFB的度数(2）求证:BF=EF(3）连接CF，直接用等式表示线段 AB,CF，EF的数量关系旋转之费马点模型“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形ABC 的话,从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.问题：如图 1，如何找

10、点 P 使它到ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？图文解析:如图 1,把APC 绕 C 点顺时针旋转 60得到APC，连接 PP 则CPP为等边三角形，CP= PP，PA =PA，PA+PB+PC= PA+ PB+ PP B C点 A可看成是线段CA 绕 C 点顺时针旋转60而得到的定点，BA为定长。当 B、P、P、A 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。APC=A PC=180-CPP=18060=120，BPC=180PPC=180-60=120，APC=360BPC-APC=360-120-120=120.因此,当ABC 的每一个内角都小于 120时，所求的点 P

11、 对三角形每边的张角都是 120，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。当有一内角大于或等于 120时，所求的 P 点就是钝角的顶点费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换例：四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 600 得到 BN,连接 EN、AM、CM。（1）求证：AMBENB；(2)当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 最短距离问题三角形-两边之和大于第三边型1。直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小

12、。2。直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.3。点P是MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B.使PAB的周长最小。两点之间的距离-线段最短型4.点P,Q为MON内的两点,分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小。点到直线的距离-垂线段最短型5. .如图，点A是MON内的一点,在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。典例精讲【2018西城期末】如图1，在RtAOB中，AOB=90,OAB=30,点C在线段OB上， OC=2BC，AO边上的一点D满足OCD=30将OCD绕点O逆时针旋转度(90180）得到，C，D两点的对应点分别

13、为点，连接，,取的中点M，连接OM（1）如图2,当AB时，=_，此时OM 和之间的位置关系为_；（2)画图探究线段OM和之间的位置关系和数量关系,并加以证明 【2018海淀期末】在ABC中，A90,ABAC （1）如图1，ABC 的角平分线BD，CE交于点Q,请判断“”是否正确：_（填“是”或“否”）；（2）点P是ABC所在平面内的一点,连接PA，PB，且PBPA 如图2,点P在ABC内，ABP30，求PAB的大小； 如图3，点P在ABC外，连接PC，设APC,BPC，用等式表示，之间的数量关系，并证明你的结论 图1 图2 图3【2018昌平期末】已知，ABC中，ACB=90,AC=BC，点D

14、为BC边上的一点. （1）以点C为旋转中心，将 ACD逆时针旋转90，得到BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AFBE； （3）若AC= ，BF=1，连接CF，则CF的长度为 . 【2018丰台期末】如图,BAD=90，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F,连接AC。（1）在FCE旋转的过程中,当FCA=ECA时，如图1，求证：AE=AF； (2）在FCE旋转的过程中，当FCAECA时,如图2，如果B=30，CB=2， 用等式表示线段AE，AF之间的数量关系,并证明.【2018门头沟期末】如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、