高等数学 习题册解答11线面积分青岛理工大学.docx
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高等数学习题册解答11线面积分青岛理工大学
第十一章曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称,1L表示L在x轴上侧的部分,当（yxf,关于y是偶函数时,
（=⎰L
dsyxf,
（⎰1
LdsyxfC.（⎰-1
2LdsyxfD.ABC都不对
2、设L是以点（（（（1,0,0,1,1,0,0,1--DCBA为顶点的正方形边界,
则+L
y
xds=
24D.22
3、有物质沿曲线L:
（103
2,3
2≤≤===ttztytx分布,其线密度为,2y=μ,则它
=m
++1
42dttttB.⎰++1
422dttttC.⎰++1
42dtttD.⎰++1
42dttt
4.求,⎰L
xds其中L为由2,xyxy==所围区域的整个边界
解:
（
2
2
155121241
1
1
+
-=
+
+⎰
⎰
xdxdyy
y5.,dsyL
⎰其中L为双纽线0（（（222222>-=+ayxayx
解:
原积分=（（
22sin4sin4420
2
2'21
-==+=⎰
⎰⎰ada
drrrdsyLχπ
π
θθθθθ
6.⎰+L
dsyx,22其中L为（022>=+aax
yx
原积分=222
2cos2aadtta==⎰π
7.,2⎰L
dsx其中L为球面2222azyx=++与平面0=-yx的交线
解:
将yx=代入方程2222azyx=++得2222azx=+于是L的参数方程:
t
aztaytaxsin,sin2
cos2
==
=
又adtds=
原积分=⎰
=π
π20
3222
cos2aadtta8、求均匀弧（0,sin,cos≤<∞-===tezteytexttt的重心坐标
3,0
==
=⎰
∞
-dteMdtedst
t
52cos10
0=
=
⎰
∞
-dteteM
xtt,2
1,5100=-=zy
§2对坐标的曲线积分一、选择题
1.设L关于x轴对称,1L表示L在x轴上侧的部分,当（yxP,关于y是偶函数时,（=⎰L
dxyxP,A.0B.（⎰1,2LdxyxPC.（⎰-
2LdxyxP都不对
2.设L为1=+yx的正向,则=++L
yxydy
xdx
3.L为222ayx=+的正向,=+--+L
yxdy
yxdxyx2
2（（A.2π
πC.0D.π
二、计算
1.（（
dyyxdxyxL
⎰-++2222,其中L由曲线（2011≤≤--=xxy从
（0,2A到（0,0O方向
解:
（1,1B01:
:
;12:
2:
___
____
→=→-=xxyBOxxyAB
=
I=
+
⎰
⎰____
___
BO
AB（（（
（
（（
3
41220
1
22
1
2
2
2
2
-
=++---+-+⎰⎰dxxx
dxxxdxxx
2.[]
dyyxxxyydxyxL
ln（（2222+++++其中L是正向圆周曲线
222ayx=+
解:
由奇偶对称性
022=+L
dxyx,L:
ππ→-==:
sin,costtaytax
=
I（（=
++⎰-
dttattadttta
cos1lncossincossin3
2
2
4
π
πππ
π
4
cossin4
2
2
4
adttta=⎰-
3.（⎰Γ
-+++dzyxydyxdx1其中为从点（1,1,1A到（4,3,2B的有向线段
解:
Γ方程:
13,12,1+=+=+=tztytx,
=I（136141
=+⎰dtt
三、过（0,0O和（
0,πA的曲线族（0sin>=axay,求曲线L使沿该曲线从（0,0O到（
0,πA的积分（
（dyyxdxyL
+++⎰213的值最小
解:
（（[]
30333
44cossin2sin1aadxxaxaxxaaI+
-=+++=⎰ππ
（（
（0811,014''2
'>=⇒=⇒=-=IaaaI。
1=a（aI最小,此时xysin=
四、空间每一点处（zyxP,,有力（zyxF,,→
其大小与（zyxP,,到z轴的距离成反比,方向垂直指向z轴,试求当质点沿圆周tzytxsin,1,cos===从点（0,1,1M到
（1,1,0N时,力（zyxF,,→
所作的功
解:
由已知（}0,,
{
,2
2
2
2
y
xkyy
xkxzyxF+-+-=
2ln2
cos1
cos
cos2
2
2
22
2
k
tdtt
kdyyxkydxyx
kx
WL
=
+-=
+-+
+-=
⎰⎰π
五、将积分yyxQxyxPLd,（d,（⎰+化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周
0222=-+xyx.0,2（0,0（BO到从
解:
22xxy-=xx
xxyd21d2
--=
xydsd12'+=
xx
xd212
-=
s
x
ddcos=
α,22xx-=xs
y
-==
1ddcosβ,于是=
+⎰
yyxQxyxPL
d,（d,（sxyxQxxyxPLd1（,（2,（2⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-
§3格林公式及其应用
一、选择题1.若L是上半椭圆⎩⎨
⎧==,
sin,
costbytax取顺时针方向,则
⎰-L
xdyydx=
A.0B.ab2
π
abπ.Dabπ2
2.设L为2
2
2
ayx=+的正向,则=+-
yxydyxdxxy2
222
A.2πB.-2ππ
3.设L为曲线922=+yx的正向,则（（=-+-dyxxdxyxyL
4222
A.9π
πC.-9πD.0
二、计算题
1.设L是圆1222=++xyx取逆时针方向,则（
=++++L
yx
yxdy
edxyx2ln22222
解:
将方程代入被积函数在由格林公式得
（=-=+-L
D
ydxdydyedxx000（21ln2
2.（（⎰+-+-L
dyyxxydxxyxy,3sin21cos23233其中L为点（0,0O到⎪⎭
⎫
⎝⎛1,2π
A的抛物线
xyπ
2
2=的弧段
解:
因
y
PxQ∂∂=∂∂故积分与路径无关,取⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2
πB
=
I4232sin21021
022πππ=
⎪⎪⎭⎫⎝
⎛⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+⎰
⎰
⎰dyyyBA
OB
3.求+-=L
y
xxdyydxI2
2
L为（1（（11122=-+-yx（2正方形边界1=+yx的正向
解:
（1直接用格林公式=0
（2设l为圆周:
2
22ryx=+取逆时针方向,其参数方程
π20:
sin,cos→==ttrytrx
原积分为
⎰⎰+=--
-+l
D
lL
ldxdy0所以
ππ
2cossin20
2
22222
2
2
2
-=--=
+-=
+-⎰
dtr
t
rtry
xxdyydxy
xxdyydxl
L
4、验证（（
dyexydxyey
xx+++22
在xoy面上是某函数（yxu,的全微分,求出（yxu,
解:
xeyy
P
xQ+=∂∂=∂∂2,（xyexyyxu+=2,,5、设曲线积分（⎰+dyxydxxyϕ2与路径无关,其中（xϕ具有连续的导数,且
（00=ϕ,计算
（（
（
⎰+1,10
02dyxydxxyϕ的值解:
取路径:
沿0=x从（0,0到（1,0;再沿1=y从（1,0到（1,1则
（2
1
01
1
=
+=
⎰
⎰
xdxdyyIϕ或
（（（2'00,2xxxy
P
xQ===⇒∂∂=∂∂ϕϕϕ得又
§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分⎰⎰∑
+
+dsyxz3
4
2（,其中∑是平面1432=++zyx在第一卦限的
部分解:
⎰⎰
⎰⎰
-==++--
=
xy
Dx
dydx
dxdyyxy
xI20
2
1（30
6143
61
.
43
61]342321（4[2、求曲面积分⎰⎰
∑++dsz
yx2
221
其中∑是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面2
22Ryx=+解:
⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
Ddyy
Rdzz
RRdydzy
Ryz
RIyz
2
2
2
2
2
2
22
2
1.1212
=2R
H
RyRzRR
Harctan2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++dszxyzxy（,其中∑是锥面22yxz+=
被柱面
axyx222=+所截得的有限部分
解:
dxdyyxyxxyIxy
D2]
（[2
2⎰⎰+++=
=
⎰
⎰-
++2
2
cos20
2
2].sin（cossincos[π
π
θ
θθθθθ
ardrrrr
d=
4215
64
a
§5对坐标的曲面积分一、选择题
1.设∑关于yoz面对称反向,1∑是∑在yoz面的前侧部分,若（zyxP,,关于x为偶函数,则（⎰⎰∑
=dydzzyxP,,（
（⎰⎰∑1
,2dydzzyxPC.（⎰⎰∑-1
,2dydzzyxPD.ABC都不对
2.设（0:
2222≥=
++∑zazyx取上侧,则下述积分不等于零的是（A⎰⎰∑
dydzx2∑
xdydzC⎰⎰∑
ydxdyD⎰⎰∑
zdxdz
3.设∑为球面122=++zyx取外侧,1∑为其上半球面,则有（
A.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
2zdszds⎰⎰∑∑
=1
2zdxdyzdxdyC.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
222dxdyzdxdyzD.0
二、计算
1.∑
++dxdyzdzdxydydzx222其中∑由1=++zyx及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
（（112
2
20
1
1112
14
xy
x
Dzdxdyxydxdydxxydy-∑
=--=--
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
由轮换对称性原式
2.（xydydz∑
+⎰⎰其中∑为锥面22yxz+=被平面1=z所截部分的外侧
（2221
22
2
cos3
xxyydydzxdydzxzdxdydr
drππ
θθ∑
∑
∑
+≤===-=
=
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰解:
由对称性原式
3.（（⎰⎰∑
-+-+-dxdyxzdzdxzydydzyx（其中∑为22yxz+=被平面1=z所截部
分,其法向量与z轴成锐角
（（（2222
2
21
21
320
22cos2
xyydydzzdzdxxyzxdxdyx
yxdxdydrrdrππ
θθ∑
∑
∑
+≤==⎡⎤=--+-=
+-⎣⎦=--=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
由对称性原式
三、用两类曲面积分之间的关系计算
1.求⎰⎰∑
++dSzyxcoscoscos（333γβα其中∑是柱面222ayx=+在hz≤≤0部分,
γ
βαcos,cos,cos是∑的外法线的方向余弦
（
322
3
3
2
2
4
4
40
3224cos4h
a
a
xdydzydzdxzdxdy
dxdyxdydzxdydzdzay
dyha
tdtahπ
π∑
∑
∑
-=++===-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
原式由奇偶对称性及=0得
原式
2.（（⎰⎰∑
+++++dxdyzzyxfdzdxyzyzfdydzxzyxf,,（,,（2,,（（其中,,（zyxf为连续函数,
∑为平面1=+-zyx在第四卦限部分的上侧
{1,1,1}n∑=-解:
的法向量为.1
cos,3
1cos,1cos=-==∴γβα
（xyzdS∑
=
-+原式⎰⎰⋅=xy
Ddxdy131
=21四、试求向量→
→
→
→
++
+=kyxejziAz2
2穿过由22yxz+=及1=z及2=z所围成圆台外侧
面（不含上下底的流量
（
22
1
021zz
rdydzzdzdxdydzzdzdxdedreeπ
θπ∑
∑∑∑Φ+⎛⎫===⎪⎪⎝⎭=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
=由奇偶对称性知§6高斯公式
1.设∑是抛物面（2
122yxz+=介于0=z及2=z之间部分的下侧,求
（
⎰⎰∑
-+zdxdydydzxz
2
8π
2.设∑为2221xyz++=取外侧,求
（（（222111xxdydzyydzdxzzdxdy∑
+++++=⎰⎰32
5
π
3.设∑为平面1xyz++=在第一卦限部分的上侧,则xydydzyzdzdxxzdxdy∑
++⎰⎰=1
8
4.求矢量场3
33Axiyjzk=++
穿过曲面
0zRRz=+>=与所
围成的闭曲面外侧的通量528
5
Rπ
5.求∑
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛zdxdydzdxyxfxdydzyxfy
11,其中（uf有连续的二阶导数,∑是22228,zxyzxy--=+=所围立体的外侧
（（（2222
2
2
2
4
828216xydVxydxdydrrdrπ
θπΩ
+≤==
-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
原式
6.求（（∑
++-+dxdyzyxydzdxzyxdydzxz2
322
2,其中∑是
222yxaz--=及0=z所围曲面的外侧
（22
222
4
5
2sin5
a
xyzdVddrdraπ
π
πθϕϕΩ
=++=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
原式7.∑
++++2
2
2
（zyxzdxdyydzdxxdydz,其中∑为2222xyzR++=取外侧
（3
311
34xdydzydzdxzdxdydVRRπ∑
Ω
=
++=
=⎰⎰⎰⎰⎰解:
原式§7斯托克斯公式
1、设L为依参数增大方向的椭圆:
（π20cos,cossin2,sin22≤≤===ttazttaytax,求（（（+++++dzyxdyxzdxzyL（0
2.设L为平面1=++zyx与坐标面交线,从z轴看去为逆时针方向,求（（（--+--+++dzzxydyzyxdxxzyL
（2
3.设L为圆周2222,0xyzRxyz++=++=若从ox轴正向看依逆时针方向,则（（（+++++dzxdyzdxyL3
21（2R
4、++Ldzxdyzdxy其中L为圆周2222,0xyzRxyz++=++=若从ox轴正向
看依逆时针方向。
（
2coscoscos3cosdSdSdSRαβγγ∑
∑
∑=-++=-==⎰⎰⎰⎰解:
5.++Ldzxdyzdxy2
2
2
其中L为曲线（222
222
0,0xyzazaxyax
⎧++=≥>⎨+=⎩从ox轴正向看依逆时针方向。
（（（
2222223.,,,,2coscoscos2224xyaxxyaxzxyaxxyzxyzaaax
yzIzxydSzxydS
aaaxydxdyxdxdyaydαβγπ
∑∑+≤+≤∑=+≤⎧⎫
∑⎨⎬⎩⎭
⎛⎫=-++=-++⎪⎝⎭⎛⎫=-+=-=-⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解1:
为球面被L所围部分取凸侧上点x,y,z处的法向量为,由斯托克斯公式
注:
由对称性0
D
D
xdy==⎰⎰22cos,cossin,sin,:
2
2
xayaza解:
参数L的方程ppqqqqq===-
6.-+-+-Ldzyxdyxzdxzy（（（,其中L为椭圆
222,1（0,0xz
xyaabab
+=+=>>若从x轴正向看,此椭圆依逆时针方向。
（
（
（
（222
0,2coscoscos22xyabadSdSabdxdyaabaαβγπ∑
∑
+≤∑=-++=-+=-
=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:
所围区域,其法向量为原积分
第十章自测题
一、填空（每题4分,共20分
1、设平面曲线L
为下半圆周y=-
=+Ldsyx_______（2
2（p
2、设L为椭圆
13
42
2=+yx,其周长为a,则（
⎰=
++L
dsyx
xy22
432（12a
3、设为正向圆周222xy+=在第一象限中的部分,则曲线积分
⎰=-Lydxxdy_________2（32
p
4、设W
是由锥面z=
z=域,∑是W的整个边界的外侧,则
⎰⎰⎰
=++W
zdxdyydzdxxdydz
_________（3
2Rp-5、设∑为球面2222（（（xRyRzRR-+-+-=外侧,则曲面积分_______
（2
/3222=++++⎰⎰
S
zyxzdxdy
ydzdxxdydz（0二、选择题（每题5分,共15分
1、设（12222,0:
∑≥=++∑zazyx是∑在第一卦限部分.则有A.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
4xdSxdSB.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
4ydSydS
⎰⎰∑∑
=1
4zdSzdSD.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
4xyzdSxyzdS
2（,0:
2222≥=++∑zazyx取上侧,则下述积分不正确的是
A.⎰⎰∑
=
2dydzx∑
=0dydzxC.⎰⎰∑
=02dydzyD.⎰⎰∑
=0ydydz
3、设L
是从点（0,0沿折线、y=1-|x-1|至点A（2,0的折线段,则曲线积分⎰+-=L
xdyydxI为（A0B-1C2D–2
三、计算（每题8分
1.计算曲面积分⎰⎰S
zds,其中S为锥面z=xyx222≤+
内的部分
⎰⎰⎰
⎰≤+-
==+=
x
yxdrrddxdyyxI22
2
cos20
2
2
2
2
2
29
32
2
.2π
π
θθ
2、过（0,0O和（0,πA的曲线族（0sin>=axay,求曲线L使沿该曲线从（0,0O到（0,πA的积分（（dyyxdxyL
+++⎰213的值最小
解:
（（[]3
03
3
3
4
4cossin2sin1aadxxaxaxxaaI+-=+++=
⎰ππ
（（（0811,014'
'2
'
>=⇒=⇒=-=IaaaI。
1=a（aI最小,此时xysin=
3、计算曲线积分I=ò4xLxdy-ydx2+y2，其中L是以（1,0）为中心，R（R>1为半径的圆周（取逆时针方向）222解：
设l为圆周：
4x+y=r取逆时针方向，其参数方程x=rcost,y=rsint,t:
0-2p2121rcos2t+
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