高等数学 习题册解答11线面积分青岛理工大学.docx

1、高等数学 习题册解答11线面积分青岛理工大学第十一章 曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分1设 L 关于 x 轴对称, 1L 表示 L 在 x 轴上侧的部分,当 (y x f , 关于 y 是偶函数时,(=Lds y x f , (1, L ds y x f C. (-1, 2L ds y x f D.ABC都不对2、设 L 是以点 (1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1-D C B A 为顶点的正方形边界 ,则 +Lyx ds =24 D. 22 3、有物质沿曲线 L :(103, 2, 32=t t z t y t x 分布,其线密度为 , 2y =,则它=m+1 42dt t

2、 t t B.+1422dt t t t C.+142dt t t D.+142dt t t4.求 , Lxds 其中 L 为由 2, x y x y =所围区域的整个边界解:(2215512124111+-=+xdx dy yy 5. , ds y L其中 L 为双纽线 0( (222222-=+a y x a y x解:原积分 =(22sin 4sin 442022 21-=+=a d ad r r r ds y L 6. +Lds y x , 22 其中 L 为 (022=+a axy x原积分 =2222cos 2a adt t a =7. , 2Lds x 其中 L 为球面 2222

3、a z y x =+与平面 0=-y x 的交线解:将 y x =代入方程 2222a z y x =+得 2222a z x =+于是 L 的参数方程:ta z t a y t a x sin , sin 2, cos 2=,又 adt ds =原积分 =203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧 (0, sin , cos =a x a y ,求曲线 L 使沿该曲线从 (0, 0O 到 (0, A 的积分 (dy y x dx y L+213的值最小解:(3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+=(0811, 014

4、2 =-=I a a a I 。 , 1=a (a I 最小,此时 x y sin =四、空间每一点处 (z y x P , , 有力 (z y x F , , ,其大小与 (z y x P , , 到 z 轴的距离成反 比,方向垂直指向 z 轴,试求当质点沿圆周 t z y t x sin , 1, cos =从点 (0, 1, 1M 到(1, 1, 0N 时,力 (z y x F , , 所作的功解:由已知 (0, , , 2222yx ky yx kx z y x F +-+-=2ln 2cos 1coscos 222222kt d t tk dy y x ky dx y xkxW L=

5、+-=+-+-=五、将积分 y y x Q x y x P L d , (d , (+化为对弧长的积分 , 其中 L 沿上半圆周0222=-+x y x . 0, 2( 0, 0(B O 到 从解:, 22x x y -=x xx x y d 21d 2-=x y ds d 12+=x xx d 212-=sxd d cos =, 22x x -=x sy-=1d d cos , 于是 =+y y x Q x y x P Ld , (d , (s x y x Q x x y x P L d 1( , (2 , (2-+-3 格林公式及其应用一、 选择题 1. 若 L 是上半椭圆 =,sin ,

6、cos t b y t a x 取顺时针方向 , 则-Lxdy ydx =A.0 B.ab 2ab . D ab 2 2. 设 L 为 222a y x =+的正向,则 =+-y x ydy x dx xy 2222A. 2 B.-2 3. 设 L 为曲线 922=+y x 的正向,则 (=-+-dy x x dx y xy L4222A . 9 C. -9 D.0二、计算题 1. 设 L 是圆 1222=+x y x 取逆时针方向,则 (=+Ly xy x dye dx y x 2ln 22222解:将方程代入被积函数在由格林公式得(=-=+-LDy dxdy dy e dx x 0 00(

7、21ln 22. (+-+-Ldy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中 L 为点 (0, 0O 到 1, 2A 的抛物线x y 22=的弧段解:因yP x Q =故积分与路径无关,取 0, 2B=I 4232sin 21021022= +-+=+dy y y BAOB3.求 +-=Lyx xdy ydx I 22, L 为 (1(11122=-+-y x (2 正方形边界 1=+y x 的正向解:(1直接用格林公式 =0(2 设 l 为圆周:222r y x =+取逆时针方向,其参数方程20:, sin , cos =t t r y t r x原积分为

8、+=-+lDl Ll dxdy 0所以2cos sin 20222222222-=-=+-=+-dt rtr t r yx xdy ydx yx xdy ydx lL4、验证 (dy e xy dx ye yx x +22在 xoy 面上是某函数 (y x u , 的全微分,求出 (y x u ,解:x e y yPx Q +=2, (x ye xy y x u +=2, , 5、设曲线积分 (+dy x y dx xy 2与路径无关,其中 (x 具有连续的导数,且(00=,计算(+1, 10, 02dy x y dx xy 的值 解:取路径:沿 0=x 从 (0, 0到 (1, 0;再沿 1

9、=y 从 (1, 0到 (1, 1则(21011=+=xdx dy y I 或(2 00, 2x x x yPx Q =得 又4 对面积的曲面积分 1、计算曲面积分 +ds y x z 342(,其中 是平面 1432=+z y x 在第一卦限的部分 解:-=+-=xyD xdy dxdxdy y x yx I 2021(30614361.4361342 321(4 2、求曲面积分 +ds zy x 2221,其中 是界于平面 z=0和 z=H之间的圆柱面 222R y x =+ 解:-+=-+=RRHD dy yR dz zR R dydz yR y zR I yz2222222221. 1

10、212=2RHR y R z R RH arctan 2.arcsinarctan0=-3、求曲面积分 +ds zx yz xy ( ,其中 是锥面 22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分解:dxdy y x y x xy I xyD 2(22+=-+22cos 2022. sin (cossin cos a rdr r r rd =421564a 5 对坐标的曲面积分 一、选择题1. 设 关于 yoz 面对称反向, 1是 在 yoz 面的前侧部分,若 (z y x P , , 关于 x 为偶函 数,则 (=dydz z y x P , , ( (1, , 2dyd

11、z z y x P C. (-1, , 2dydz z y x P D.ABC都不对2. 设 (0:2222= +z a z y x 取上侧 , 则下述积分不等于零的是( A dydz x 2xdydz C ydxdy D zdxdz3. 设 为球面 122=+z y x 取外侧 , 1为其上半球面 , 则有( A.=12zds zds =12zdxdy zdxdy C.=1222dxdy z dxdy z D. 0二、计算1. +dxdy z dzdx y dydz x 222其中 由 1=+z y x 及三个坐标面所围成闭曲面的外侧(1122201111214xyxD z dxdy x y

12、 dxdy dx x y dy -=-=- =解:由轮换对称性原式2. (x y dydz +其中 为锥面 22y x z +=被平面 1=z 所截部分的外侧(2221222cos 3x x y ydydz xdydz x z dxdy d rdr +=-=解:由对称性 原式3. (-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x (其中 为 22y x z +=被平面 1=z 所截部分,其法向量与 z 轴成锐角(22222212132022cos 2x y ydydz zdzdx x y z x dxdy xy x dxdy d r r dr +=-+-=+-=-=-解:由对称

13、性 原式三、用两类曲面积分之间的关系计算1. 求 +dS z y x cos cos cos (333其中 是柱面 222a y x =+在 h z 0部分,cos , cos , cos 是 的外法线的方向余弦(322332244403224cos 4haax dydz y dzdx zdxdydxdy x dydz x dydz dz a ydy hatdt a h -=+=-=解:原式 由奇偶对称性 及 =0 得原式2. (+dxdy z z y x f dzdx y z y z f dydz x z y x f , , ( , , (2 , , (其中 , , (z y x f 为连续

14、函数,为平面 1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧1, 1,1n =- 解:的法向量为 . 1cos , 31cos , 1cos =-= ( x y z dS =-+原式 =xyD dxdy 131=21 四、试求向量 +=k y x e j z i A z 22穿过由 22y x z +=及 1=z 及 2=z 所围成圆台外侧面(不含上下底的流量 (221021z zr dydz zdzdx dydz zdzdx d e dr e e += =-=-解:=由奇偶对称性知 6 高斯公式1. 设 是抛物面 (2122y x z +=介于 0=z 及 2=z 之间部分的下侧,求(-+zdxd

15、y dydz x z282.设 为 2221x y z +=取外侧 , 求(222111x x dydz y y dzdx z z dxdy += 3253. 设 为平面 1x y z +=在第一卦限部分的上侧,则 xydydz yzdzdx xzdxdy +=184. 求矢量场 333A x i y j z k =+ 穿过曲面 0z R R z =+=与 所围成的闭曲面外侧的通量 5285R 5. 求 + zdxdy dzdx y x f x dydz y x f y11,其中 (u f 有连续的二阶导数, 是 22228, z x y z x y -=+=所围立体的外侧(222222248

16、28216x y dV x y dxdy d r rdr +=-+=-= 解:原式6.求 (+-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz 23222,其中 是222y x a z -=及 0=z 所围曲面的外侧(22222452sin 5ax y z dV d d r dr a =+= 解:原式 7. +222(z y x zdxdy ydzdx xdydz ,其中 为 2222x y z R +=取外侧(331134xdydz ydzdx zdxdy dV R R =+= 解:原式 7 斯托克斯公式1、设 L 为依参数增大方向的椭圆:(20cos , cos sin 2

17、, sin 22=t t a z t t a y t a x ,求 (+dz y x dy x z dx z y L (02.设 L 为平面 1=+z y x 与坐标面交线,从 z 轴看去为逆时针方向,求 (-+-+dz z x y dy z y x dx x z y L(23. 设 L 为圆周 2222, 0x y z R x y z +=+=若从 ox 轴正向看依逆时针方向,则 (+dz x dy z dx y L 3 21 (2R 4、 +L dz x dy z dx y 其中 L 为圆周 2222, 0x y z R x y z +=+=若从 ox 轴正向 看依逆时针方向。 ( 2co

18、s cos cos 3cos dS dS dS R =-+=-=解:5. +L dz x dy z dx y 222, 其中 L 为曲线 (2222220, 0x y z a z a x y ax+=+=从 ox 轴正 向看依逆时针方向。 ( 2222223. , , , , 2cos cos cos 2224x y ax x y ax z x y ax x y z x y z a a a xy z I z x y dS z x y dSa a a x y dxdy xdxdy a yd +=+=-+=-+ =-+=-=- 解 1:为球面被 L 所围部分 取凸侧 上点 x,y,z 处的法向量为

19、 ,由斯托克斯公式 注:由对称性 0DDxdy =22cos , cos sin , sin , :22x a y a z a 解 :参数 L的 方程 p p q q q q q =-6. -+-+-L dz y x dy x z dx z y ( ( (, 其中 L 为椭圆222, 1(0, 0 x zx y a a b a b+=+=若从 x 轴正向看,此椭圆依逆时针方向。( (222,0, 2cos cos cos 22x y a b a dS dS a b dxdy a a b a +=-+=-+=-=-+解:所围区域 ,其法向量为 原积分第十章 自测题一、填空(每题 4分,共 20分

20、1、设平面曲线 L 为下半圆周 y =-=+L ds y x _ (22 (p2、设 L 为椭圆13422=+y x ,其周长为 a , 则 (=+Lds y xxy 22432(12a 3、设为正向圆周 222x y +=在第一象限中的部分,则曲线积分=-L ydx xdy _2(32p 4、设 W是由锥面 z = z =域, 是 W 的整个边界的外侧,则=+Wzdxdy ydzdx xdydz_(3 2R p - 5、设 为球面 2222( ( ( x R y R z R R -+-+-=外侧,则曲面积分 _(2/3222=+Sz y x zdxdyydzdx xdydz (0 二、选择题

21、(每题 5分,共 15分1、 设 (12222, 0:=+z a z y x 是 在第一卦限部分 . 则有 A . =14xdS xdS B.=14ydS ydS =14zdS zdS D.=14xyzdS xyzdS2(, 0:2222=+z a z y x 取上侧,则下述积分不正确的是 A . =2dydz x =0dydz x C.=02dydz y D.=0ydydz3、设 L是从点 (0,0沿折线、 y=1-|x-1|至点 A(2,0的折线段,则曲线 积分 +-=Lxdy ydx I 为( A 0 B -1 C 2 D 2三、计算(每题 8分1.计算曲面积分 Szds ,其中 S 为

22、锥面 z =x y x 222+ 内的部分+-=+=xy x dr r d dxdy y x I 222cos 202222229322. 22、过 (0, 0O 和 (0, A 的曲线族 (0sin =a x a y ,求曲线 L 使沿该曲线从 (0, 0O 到 (0, A 的积分 (dy y x dx y L+213的值最小解:(3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+=(0811, 014 2=-=I a a a I 。 , 1=a (a I 最小,此时 x y sin =3、计算曲线积分 I = 4x L xdy - ydx 2 + y2 ，其中 L 是以 (1,0 ) 为中心， R ( R 1 为半 径的圆周（取逆时针方向） 2 2 2 解：设 l 为圆周： 4 x + y = r 取逆时针方向，其参数方程 x= r cost , y = r sint , t : 0 - 2p 2 1 2 1 r cos2 t +