五年级奥数a.docx

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五年级奥数a

定义新运算

例1对于任意数a,b,定义新运算“ж”：

aжb＝a×b―a―b

求12ж4的值。

例2规定：

4⊙2＝4＋44，

2⊙3＝2＋22＋222，

1⊙4＝1＋11＋111＋1111。

求3⊙5＝？

例3对于任意自然数，定义：

N!

＝1×2×…×n。

例如4！

＝1×2×3×4。

那么1!

＋2!

＋3!

＋…＋100!

的个位数字是几？

例4对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为

a☆b,即a☆b＝[a,b]－（a,b）

（1）求12☆21的值

（2）已知6☆χ＝27，求χ的值。

例5对任意的数a,b,定义：

f（a）＝2a＋1,g（b）＝b×b.

（1）求f（5）－g（3）的值；

（2）求f（g

（2））＋g（f

（2））的值；

（3）已知f（x＋1）＝21,求x的值。

练习：

1、对于任意的两个数a和b,规定aжb＝3×a－b÷3。

求8ж9的值。

2、对于任意的两个数p,q,规定p☆q＝（p×q）÷4。

已知x☆（8☆5）＝10,求x的值。

3、已知：

2⊙3＝2×3×4，

4⊙5＝4×5×6×7×8，

……

求（4⊙4）÷（3⊙3）的值。

4、定义两种运算“※”和“△”如下：

a※b表示a,b两数中较小的数的3倍，

a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍。

计算：

[（0.6※0.5）＋（0.3△0.8）]÷[（1.2※0.7）－（0.64△0.2）]。

5、已知一种运算“◎”使下列算式成立：

3◎4＝16，7◎2＝30，9◎11＝47，21◎10＝94。

求5◎13的值。

6、对于任意的自然数a,b,定义：

f（a）＝a×a－1,g（b）＝b÷2＋1。

（1）求f（g（6））－g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））＝8，求x的值。

位值原则

我们知道，在数学中，abc表示a×b×c,那么一个数的百位是a,十位是b,个位是c，又该怎么表示呢？

我们通常把它写作,表示a个百，b个十，c个一，即＝100a＋10b＋c。

这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。

例1表示多少？

又表示多少？

计算－，你发现了什么？

例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。

求原来的两位数。

例3a,b,c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a＋b＋c）的多少倍？

例4用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。

例6将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

练习：

1、有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。

求原来的两位数。

2、有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。

3、一个三位数减去它的各个数位的数字之和得

，求χ。

4、

5、从1～9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。

这六个三位数中最小的能是几？

最大的能是几？

6、一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。

7、一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。

最大最小

例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？

（排排看，你发现了什么？

）

如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。

（当这两个数相等时，它们的乘积最大）。

例2比较下面两个乘积的大小：

a＝57128463×87596512

b＝57128460×87596515

例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

我们发现，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

（排排看，你发现了什么？

）

两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

例5要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

练习：

1、试求和是91，乘积最大的两个自然数。

最大的积是多少？

2、比较下面两个乘积的大小：

123456789×987654321，

123456788×987654322。

3、现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？

4、1～８这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。

那么这两个四位数各是多少？

5、在数123456789101112…9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？

最小是多少？

☆6、把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？

最不利原则

在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个球才能保证至少有4个小球颜色相同？

例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？

例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

问：

在乐乐之前已就座的最少有多少人？

例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？

例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

练习：

1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：

一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？

2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。

问：

一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？

3、口袋里有三种颜色的筷子各10根。

问：

（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？

（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？

（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？

4、一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。

问：

最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？

5、一把钥匙开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？

抽屉原理

抽屉原理1：

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉的物品不少于2件。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

例3在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

练习：

1、某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？

2、在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？

3、幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？

4、用红、黄、蓝三种颜色涂方格，每个方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。

是否存在两列，它们的小方格涂的颜色完全相同？

抽屉原理2：

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m＋1。

例1某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。

问：

一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

例3六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。

问：

至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？

例4篮子里有苹果、梨、桃和橘子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿出两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

练习：

1、礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？

2、把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？

3、体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。

问：

至少有几名同学拿球的情况完全一样？

4、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。

要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？

5、10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场？

逻辑问题a

列表法求解逻辑问题。

例1小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：

小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。

问：

谁是工人？

谁是农民？

谁是教师？

工人

农民

教师

小王

小张

小李

例2刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。

事先规定：

兄妹二人不许搭伴。

第一盘：

刘刚和小丽对李强和小英；

第二盘：

李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。

问：

三个男孩的妹妹分别是谁？

小丽

小英

小红

刘刚

马辉

李强

试一试1：

甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。

此外：

（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；

（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；

（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；

（5）乙向大作家借过书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家。

你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

试一试2：

张明、席辉和刘刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：

（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教师；

（3）在上海工作的是工人；（4）席辉不是农民。

问：

这三人各住哪里？

各是什么职业？

逻辑问题b

用假设法解逻辑问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。

如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，那么符合题意，假设成立。

例1甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。

赛前甲、乙、丙分别作了预测。

甲说：

“丙第1名，我第3名。

”

乙说：

“我第1名，丁第4名。

”

丙说：

“丁第2名，我第3名。

”

成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

2、甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。

甲说：

“我和乙都住在北京，丙住在天津。

”

乙说：

“我和丁都住在上海，丙住在天津。

”

丙说：

“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。

”

丁说：

“甲和乙都住在北京，我住在广州。

”

假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。

问：

不在场的何伟住在哪儿？

3、一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去，小马虎见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。

现在知道：

（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；

（2）乙拿的不是丙的，也不是丁的；

（3）丙拿的不是乙的，也不是戊的；（4）丁拿的不是丙的，也不是戊的；

（5）戊拿的不是丁的，也不是甲的。

另外，没有两人相互拿错。

问：

丙拿的是谁的本？

丙的本被谁拿走了？

4、甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：

“我最高。

”乙说：

“我不最矮。

”

丙说：

“我没甲高，但还有人比我矮。

”丁说：

“我最矮。

”实际测量的结果表明，只有一人说错了。

请将他们按身高次序从高到矮排列出来。

逻辑问题小练习

1、甲、乙、丙、丁四名学生猜测自己语文成绩

甲说：

“如果我得优，那么乙也得优。

”

乙说：

“如果我得优，那么丙也得优。

”

丙说：

“如果我得优，那么丁也得优。

”

结果大家都没说错，但是只有两个人得优，那么得优的是谁？

2、A、B、C、D四位同学的运动衫上印上了不同的号码。

甲说：

“A是2号，B是3号。

”乙说：

“C是4号，B是2号。

”

丙说：

“D是2号，C是3号。

”丁说：

“D是1号，B是3号。

”

又知道甲、乙、丙、丁四人每人都只说对了一半，那么C的号码是多少？

3、某人的电话号码是五位数，下面有10个五位数：

17560443534109225731786972217190389795005397086275

其中每一个数与电话号码都恰好在同一位上有一个相同的数字，这个电话号码是多少？

4、甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语，根据下面的已知条件：

（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；

（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。

问：

丙教什么学科？

5、有A、B、C三个足球队，两两比赛一场，共赛了三场，A队两胜，进6球失2球；B队一胜一负，进4球失4球；C队两负，进2球失6球。

请写出三场比赛的具体比分。