可靠度的例题和习题.docx
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可靠度的例题和习题
结构可靠性分析例题和习题
1.图示桁架在荷载F作用下，杆a,b,c的破坏概率分别为0.05,0.04,0.03，假设各杆破坏
是统计独立的，求桁架的破坏概率。
解：
用A，B，C分别表示杆a,b,c各自破坏的事件。
有
P（A）=0.05,P（B）=0.04,P（C）=0.03
桁架破坏概率P（E）=P（AÈBÈC）
=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）
-P（BC）-P（AC）+P（ABC）
因为A，B，C相互独立，有
P（AB）=P（A）P（B）=0.002,P（BC）=0.0012,P（AC）=0.0015,P（ABC）=0.00006
所以桁架破坏概率P（E）=0.11536
或者P（E）=1-P（
）=1-P（
）
P（
）=P（
）P（
）P（
）
=（1-0.05）（1-0.04）（1-0.03）=0.88464
即得:
P（E）=1-0.88464=0.11536
2.由二杆组成的系统如图。
若杆1，杆2的破坏概率都是0.03，求系统的破坏概率。
解：
杆1，杆2的破坏事件分别记为A1，A2。
有
P（E）=P（A1ÈA2）=P（A1）+P（A2）-P（A1A2）=0.03+0.03-P（A2｜A1）P（A1）
可见，P（E）取决于条件概率P（A2｜A1），表示二杆破坏的相关性。
若A1，A2相互独立，P（A2｜A1）=P（A2）,
P（E）=0.06-0.03×0.03=0.0591
若A1，A2完全相关，P（A2｜A1）=1，P（E）=0.06-1×0.03=0.03
一般可有0.03£P（E）£0.0591
3.某提升机由电机、减速器、卷筒三部分组成，可靠度分别为0.98，0.94，0.92。
求
提升机（视为三部分串联系统）的可靠度。
4.钢制拉杆强度r--N（600,48）N/mm2，试计算1）荷载S=450N/mm2时的失效概率。
2）可
靠度为R=0.99时，拉杆可承受的最大应力Smax。
（Pf=0.00089,Smax=489N/mm2）
5.某弹簧的恒幅疲劳寿命N服从对数正态分布y=lnN--N（16.118,0.485），工作中规定在
5×106次循环后应立即更换。
试问1）弹簧工作的可靠度多大？
2）若要求可靠度为
99%，弹簧应在多少次工作循环前更换？
（R=0.924,N0.99=3.24×106）
6.拉杆直径D—N（40,0.8）mm，长L—N（6000,60）mm，弹性模量E—N（21×104,3150）MPa.
载荷F—N（80000,1200）N，求其伸长（=FL/AE）。
（-（1.83,0.084）mm）
注：
对于独立正态变量有Z=XY时,mZ=mxmy,sZ=（mx2sy2+my2sx2+sx2sy2）1/2;
Z=X/Y时,mZ=mx/my,sZ=[（mx2sy2+my2sx2）/（my2+sy2）]1/2/my.
7.某杆半径r,（r=30mm,r=1.5mm），求截面积A的A和A。
[（2833,283）mm]
8.拉杆直径D（D=30mm,D=0.3mm），材料屈服限s（s=290N/mm2,s=52N/mm2），求其所
能承受的拉力F（F,F）。
（204990,18140）N
注：
对于函数y=f（x1,x2,…,xn）,在均值点作泰勒级数展开有:
y=f（m1,m2,…,mn）+
+…
取线性近似有:
y»f（m1,m2,…,mn）;sy2»
9.在外力S作用下，线弹性杆的应变能为U=SL/2=S2L/2AE，若S服从标准正态分布，
试求U的概率密度。
（假设L/2AE=Const）
解：
U=CS2,S=
.
FU（u）=P（U£u）=P（CS2£u）=P（S2£u/C）（注意0£u）
FU（u）=P（S2£u/C）=P（-
S
）=
=
fU（u）=FU'（u）=
=
（注意
）
10.设随机变量X的概率密度函数为
求其数学期望和方差。
解：
E（X）=
=1500
Var（X）=
=…+…
11.某结构支承在A，B，C三个支点上。
假定支点的沉降量A，B，C都是独立正态变
量，均值分别为2,2.5,和3cm,变异系数分别为0.2,0.2,和0.25。
问
1）最大沉降量超过4cm的概率是多少？
2）如果支点A和B分别沉降了2.5和3.5cm，求最大沉降差不超过1.5cm的概率。
解：
1）P（Dmax>4）=1-P（Dmax£4）=1-P（DA£4ÇDB£4ÇDC£4）=1-P（DA£4）P（DB£4）P（DC£4）
=1-F[（4-2）/2×0.2]F[（4-2.5）/2.5×0.2]F[（4-3）/3×0.25]
=1-F（5）F（3）F（1.33）=1-1×0.9986×0.9082=0.0931
2）P（Dmax£1.5）=P（2£DC£4）=F[（4-3）/3×0.25）-F[（2-3）/3×0.25）
=F（1.33）-F（-1.33）=0.9082-0.0918=0.8164
12.已知服从正态分布N（,2），x1,x2,…,xn为的一组样本观察值，试用最大似然法
求,2的估计量。
解：
似然函数为
取对数
求偏导
解似然方程组
得到
13.设某车间生产的螺栓直径X服从正态分布，2=0.05，某日随机抽取六件产品量得直
径为14.9，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1mm,求均值的95%置信区间。
解：
样本均值为
=xi/n=15mm.由a=1-0.95=0.05,查得Ka/2=1.96
则均值m的95%置信区间为［
］n=6,=
即［14.8215.18］
14.已知M10标准螺栓静强度的标准差=21.5N/mm2,今测得40个螺栓的强度样本均值为
=511N/mm2,求置信度为95%的螺栓强度置信区间。
（504.34，517.66）
15.设某混凝土抗压强度服从正态分布，测得六个立方试块的抗压强度为22.0，18.5，
18.0，21.5，19.0，21.0MPa,求母体均值的95%置信区间。
（未知方差）
解：
由a=1-0.95=0.05，a/2=0.025；n-1=5，查得t0.025（5）=2.571
样本均值为
=xi/n=20MPa
样本方差为s2=S（xi-
）2/（n-1）=2.9
则均值m的95%置信区间为:
［
]
［18.21321.787］
16.由材料试验测得25个钢试件屈服极限均值为
=667N/mm2，s=27.5N/mm2,求置信度为
95%的材料屈服极限的置信区间。
（655.65,678.35N/mm2）
17.某零件的应力和强度都服从对数正态分布，已知s=60MPa,s=20MPa;r=100MPa,
r=10MPa，求零件的可靠度。
（=1.64,R=0.9495）
18.拉杆直径D，（D=30mm,D=3mm），屈服强度r（r=290N/mm2,r=25N/mm2），拉
力F=105N，在功能函数为1）Z=（d2/4）r-F;2）Z=r-4F/d2二种情况下，试用中心点
法求其可靠指标和可靠度。
（0.9906；0.9999）
19.某钢梁承受确定性弯矩M=128.8kN.m,抗弯截面模量W—N（W=884.9×10-6m3,
VW=0.05）;钢材强度f服从对数正态分布（f=262MPa,Vf=0.1）。
试用中心点法和验
算点法求可靠指标及梁的失效概率Pf。
解：
中心点法
1）由抗力写功能函数为:
Z=fW-M=fW-128800（N.m）
mZ»mfmW-128800=262×106×884.9×10-6-128800=103043
sZ»
=25920.9
»mZ/sZ=3.975
2）由应力写功能函数为
Z=f-M/W（MPa）
mZ»mf-M/mW=262-0.1288/（884.9×10-6）=116.45MPa
sZ»
=27.19
»mZ/sZ=4.283
验算点法
W为正态变量mW=884.9×10-6m3,sW=VWmW=44.245×10-6m3,
f为对数正态变量mf'=f*（1-lnf*+ln
）=f*（6.5634-lnf*）（MPa）
sf'=f*
=0.09975f*.
初值取f*=mf,W*=mW,b=0.迭代结果如下表
次数
b
Xi
xi*
sf'
mf'
ai
b
b
1
0
f
W
262.00×106
884.90×10-6
26.13×
44.25×
260.70×
884.90×
-0.895
-0.446
4.269
4.269
2
4.269
f
W
160.86×106
800.66×10-6
16.05×
44.25×
238.53×
884.90×
-0.803
-0.596
5.161
0.892
3
5.161
f
W
172.01×106
748.80×10-6
17.16×
44.25×
243.54×
884.90×
-0.816
-0.579
5.169
0.008
20.某钢制薄壁容器筒体，筒体壁厚t,（t=2.6mm，t=0.043mm）;半径r,（r=280mm，
r=4.7mm）;工作压力p,（p=7.84MPa，p=0.133MPa）;轴向焊缝处有一表面裂纹，
深度a=1.30.006mm,焊缝断裂韧性K1c,（K1c=1951N/mm3/2,K1c=58.8N/mm3/2）,
试计算焊缝强度的可靠性。
（当r/t很大时，有K1=s
=（pr/t）
且由3原则知a=0.002）
（R=0.9992）
21.某钢梁承受弯矩M—N（M=1300kN.cm,M=91kN.cm）,抗弯截面模量W—N（W=54.72,
W=2.74）cm3,钢材强度f--N（f=380MPa,f=30.4MPa）,极限状态方程为Z=fW-M=0,
求可靠指标及梁的失效概率Pf。
（=3.8，Pf=1-F（b）=7.235×10-5）
解：
1）由极限状态方程求得（注意单位统一，1MPa=100N.cm/cm3.）
-
=-2.74f*,-
=-30.4W*,-
=910
即W=-2.74f*/
---（a）
f=-30.4W*/
M=910/
设计验算点为：
W*=mW+aWbsW,f*=mf+afbsf,M*=mM+aMbsM,----（b）
2）假定初值为W*0=54.72，f*0=380,代入（a）,得aW,af,aM。
再将（b）之P*代入极限状态方程得：
f*W*-M*=（380-23.378b）（54.72-1.32b）-（13000+382.837b）=0
解上述方程得：
b=3.81,（另一根b=66.3舍去）
若b=3.81，由（b）有f*1=209.93,W*1=49.69,M*1=14458.61,与初值相差很大。
3）假设f*0=209.93,W*0=49.69,M*0=14458.61,作第二次迭代得：
aW=-0.412,af=-0.781,aM=0.4702
f*=380-23.742b,W*=54.72-1.129b,M*=13000+427.882b,
代入极限状态方程得
b=3.79，由（b）有f*2=290.02,W*2=50.44,M*2=14621.67。
4）假设f*0=290.02,W*0=50.44,M*0=14621.67；作第二次迭代得：
b=3.80，由（b）有：
f*=289.23,W*=50.51,M*=14608.3；迭代收敛。
5）失效概率Pf=1-F（b）=7.235×10-5.
22.某拉杆承受的轴向拉力NG—服从正态分布，NG=142.9kN,VNG=0.07.截面抗力R也为
正态分布，R=kRRk=1.08Rk,VR=0.08.钢材强度标准值fyk=240MPa,设计可靠指标
=3.2,试确定拉杆所需的截面面积。
解极限状态方程为Z=R-NG=0,对于正态变量、线性方程有：
mR-mNG-
=0解得R=204.18kN
则抗力标准值为:
Rk=mR/kR=204.18/1.08=189.1kN
拉杆截面积为:
A=Rk/fyk=788mm2.
23.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g（R,NG,NL）=R-NG-NL=0.抗力R服从对数正
态分布，R=4560kN,R=729.6kN.恒载NG--N（NG=1159.1kN,NG=81.1kN）,活载NL
服从极值1型分布，NL=765.5kN,NL=222kN,求可靠指标。
解：
1）当量正态化
抗力R为对数正态，有mlnR=ln
=8.4124,lnR=
=0.159
R'=R*（1-lnR*+mlnR）,sR'=R*slnR,
若取R*0=mR=4560,则mR'=4503,sR'=725
活载NL为极值1型，有a=0.78sNL=172.9,k=mNL-0.5772a=665.6
若取N*L0=mNL=765.5则：
fNL（N*L）=
=0.001851
FNL（N*L）=exp[-exp（-[x-k]/a）]=0.5704
sNL'=f{F-1[FNL（N*L）]}/fNL（N*L）=212.2
mNL'=NL*-F-1[FNL（N*L）]sNL'=727.7
2）计算公式及第一次迭代
=1
=-1
=-1；
R=-sR'/
=-0.9543
NG=sNG/
=0.10675
NL=sNL'/
=0.2793
因为是线性方程，故有：
=（R'-mNG-mNL'）/
=3.443
验算点为：
R*=mR'+baRsR'=2120.7
NG*=mNG+baNGsNG=1188.9
NL*=mNL'+baNLsNL'=931.78
3）第二次迭代：
（取第一次结果为验算点初值）
mR'=R*（1-lnR*+mlnR）=3717.8,sR'=R*slnR=337.19
fNL（N*L）=0.001,FNL（N*L）=0.80786
sNL'=f{F-1[FNL（N*L）]}/fNL（N*L）=273.7
mNL'=NL*-F-1[FNL（N*L）]sNL'=694.2
aR=-0.76322,aNG=0.18357,aNL=0.61951;b=4.22
验算点为：
R*=2631.8,NG*=1221.9,NL*=1410。
4）五次迭代后的结果为：
b=3.96,Pf=3.747×10-5。
R*=3009.8,NG*=1194.1,NL*=1815.6
24.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g（R,NG,NL）=R-NG-NL=0。
抗力R服从对数正
态分布，VR=0.17；恒载NG-N（NG=636kN,VNG=0.07）,活载NL服从极值1型分布，
NL=840kN,VNL=0.29,求可靠指标=3.7时的截面抗力均值R。
解：
恒、活载标准差分别为：
sNG=mNGVNG=44.52,sNL=mNLVNL=243.6
当量正态化（公式同前题）。
对于极值1型荷载NL，有：
a=0.78sNL=190.08,k=mNL-0.5772a=730.37。
1）第一次计算假定初值为NL*=mNL=840,NG*=mNG=636.
有：
fNL（N*L）=0.001686,FNL（N*L）=0.57037
sNL'=f{F-1[FNL（N*L）]}/fNL（N*L）=232.9
mNL'=NL*-F-1[FNL（N*L）]sNL'=798.66
由极限状态方程得R*=NG*+NL*=1476,且有：
sR'=R*slnR=R*
=249.13
=1
=-1
=-1
R=-sR'/
=-0.7243
NG=sNG/
=0.1294
NL=sNL'/
=0.6772
验算点为：
NG*=mNG+baNGsNG=657.32（b=3.7）
NL*=mNL'+baNLsNL'=1382.2
R*=NG*+NL*=2039.5
2）以后各次迭代结果
迭代
次数
变
量
验算点初值X*
fx（x*）
Fx（x*）
sx'
mx'
ax
验算点
X*
DR*
1
R
NG
NL
1476.0
636.0
840.0
0.001686
0.57037
249.13
44.52
232.9
636.0
798.66
-0.7243
0.1294
0.6772
2039.5
657.32
1382.2
563.5
2
R
NG
NL
2039.5
657.32
1382.2
0.0001648
0.9682
344.2
44.52
433.3
636.0
578.43
-0.6198
0.0802
0.7805
2478.9
649.2
1829.7
439.4
3
R
NG
NL
2478.9
649.2
1829.7
0.00001602
0.9970
418.42
44.52
570.97
636.0
260.67
-0.5899
0.06277
0.8050
2607.6
646.34
1961.3
128.7
4
R
NG
NL
2607.6
646.34
1961.3
0.00000803
0.9985
440.14
44.52
607.03
636.0
159.63
-0.5860
0.05927
0.8081
2620.39
645.76
1974.63
12.79
5
R
NG
NL
2620.39
645.76
1974.63
0.00000751
0.9986
442.3
44.52
610.02
636.0
151.3
-0.5860
0.05898
0.8081
2620.95
645.71
1975.24
0.56
3）结果为：
R*=mR'+baRsR'=2620.95；注意到抗力R为对数正态，有：
mlnR=ln
R'=R*（1-lnR*+ln
）,
R'=R*
故得：
mR=R*
exp（-R
）=3833.5kN
式中，R*=2620.95,VR=0.17,b=0.17,aR=-0.586（由表中结果知）。
25.悬臂木梁跨长L=3.6m,允许挠度为1/200。
允许失效概率Pf=0.115（=1.2）.已知均布
载荷q为极值1型变量，q=3kN/m,Vq=0.17,木料弹性模量E—N（E=17000MPa,VE=
0.21）,截面惯性矩I—N（I未知，VI=0.20），试确定I。
解：
功能函数为Z=D-qL4/8EID=L/200=0.018m
计算公式D-q*L4/8E*I*=0ÞI*=q*L/8E*D
q*=mq’+aqbsq',E*=mE+aEbsE',I*=mI+aIbsI'=mI（1+aIbVI）
mI=I*/（1+aIbVI）,
aq=sq’/W,aE=-（q*/E*）sE/W,aI=-（q*/I*）sI/W.
极值1型变量q当量正态化,有a=0.78sq=0.78×3000×0.17=397.8（N/m）,
k=mq-0.5772a=2770（N/m）
fq（q*）=
Fq（q*）=exp[-exp（-[q-k]/a）]
sq'=f{F-1[Fq（q*）]}/fq（q*）,mq'=q*-F-1[Fq（q*）]sq'.
迭代求解结果为mI=3.0675×10-4m4=30675cm4.
26.图中结构体系由二拉杆组成，各杆抗力R为随机变量，密度函数如图。
承受拉力S=
1.1kN,VS=0.求系统破坏概率。
解设二杆统计独立，各杆抗力分布函数为
FR（r）=（r-1）/21£r£3
破坏概率为:
Pf1=FR（r=1.1）=0.05
系统破坏概率为:
Pf=1-P（1-Pfi）=0.0975（上限）
若设二杆完全相关，则系统破坏概率为:
Pf=max（Pfi）=0.05（下限）
27.图中所示桁架之各杆失效概率为：
Pf1=Pf2=0.002,Pf3=Pf4=0.0012,Pf5=0.003,假
定各杆独立，求桁架的破坏概率Pf。
解桁架是静定的，为串联系统，
任一杆破坏即为系统破坏。
故系统破坏概率为
Pf=1-P（1-Pfi）=1-（100.02）2（1-0.0012）2×0.003
=0.0094
由于各杆破坏概率很小，系统破坏概率可近似为:
Pf=1-P（1-Pfi）»SPfi=2×0.002+2×0.0012+0.003=0.0094
28.由三根钢丝组成的超静定系统如图。
拉力S，S=60kN，变异系数VS=0.25。
单根钢丝
抗拉力为R，R=37.5kN，变异系数VR=0.15.假定R，S均服从对数正态分布，求系统
损坏概率及其中一根钢丝拉断后的损坏概率。
解：
假定拉力S由三根钢丝均匀承受，
mSi=20kN，VSi=0.25
每根钢丝的破坏概率为:
Pfi=1-F（bfi）=1-F
=1-（2.16）=1-0.9846=0.0154
体系的损坏概率为:
0.0154Pf£3×0.0154=0.0462
如果体系中一根钢丝已断，剩余二根钢丝的荷载为:
mSi=30kN，VSi=0.25
此时，钢丝的破坏概率为：
Pfi=1-F（bfi）=1-F
=1-（0.77）=1-0.7794=0.2206
由剩余二根钢丝组成的体系的损坏概率为：
0.2206Pf£[1-（1-0.2206）2]=0.3925（P不能视为小量，故用此式）
29.图示体系中若已知S
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