可靠度的例题和习题.docx

1、可靠度的例题和习题 结构可靠性分析例题和习题1.图示桁架在荷载F作用下，杆a,b,c的破坏概率分别为0.05,0.04,0.03，假设各杆破坏 是统计独立的，求桁架的破坏概率。解：用A，B，C分别表示杆a,b,c各自破坏的事件。有 P(A)=0.05,P(B)=0.04,P(C)=0.03 桁架破坏概率 P(E)=P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(BC)-P(AC)+P(ABC) 因为 A，B，C相互独立，有 P(AB)=P(A)P(B)=0.002,P(BC)=0.0012,P(AC)=0.0015,P(ABC)=0.00006 所以 桁架破坏概率 P(E)=0

2、.11536 或者 P(E)=1-P()=1-P() P()=P()P()P() =(1-0.05)(1-0.04)(1-0.03)=0.88464 即得: P(E)=1-0.88464=0.115362.由二杆组成的系统如图。若杆1，杆2的破坏概率都是0.03，求系统的破坏概率。 解：杆1，杆2的破坏事件分别记为A1，A2。有 P(E)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=0.03+0.03-P(A2A1)P(A1) 可见，P（E）取决于条件概率P(A2A1)，表示二杆破坏的相关性。 若A1，A2相互独立，P(A2A1)=P(A2), P(E)=0.06-0.030.03

3、=0.0591 若A1，A2完全相关，P(A2A1)=1， P(E)=0.06-10.03=0.03 一般可有 0.03P(E)0.0591 3.某提升机由电机、减速器、卷筒三部分组成，可靠度分别为0.98，0.94，0.92。求 提升机（视为三部分串联系统）的可靠度。4.钢制拉杆强度r-N(600,48)N/mm2，试计算1）荷载S=450N/mm2时的失效概率。2）可 靠度为R=0.99时，拉杆可承受的最大应力Smax。(Pf=0.00089,Smax=489N/mm2)5.某弹簧的恒幅疲劳寿命N服从对数正态分布y=lnN-N(16.118,0.485)，工作中规定在 5106次循环后应立

4、即更换。试问1）弹簧工作的可靠度多大？2）若要求可靠度为 99%，弹簧应在多少次工作循环前更换？ (R=0.924, N0.99=3.24106)6.拉杆直径DN(40,0.8)mm，长LN(6000,60)mm，弹性模量EN(21104,3150)MPa. 载荷FN(80000,1200)N，求其伸长 (=FL/AE)。( -(1.83,0.084)mm)注：对于独立正态变量有 Z=XY 时, mZ=mxmy, sZ=(mx2sy2+my2sx2+sx2sy2)1/2; Z=X/Y时, mZ=mx/my, sZ=(mx2sy2+my2sx2)/(my2+sy2)1/2/my.7.某杆半径r,

5、( r=30mm, r=1.5mm)，求截面积A的 A和 A。 (2833,283)mm8.拉杆直径D( D=30mm, D=0.3mm)，材料屈服限s( s=290N/mm2, s=52N/mm2)，求其所 能承受的拉力F( F, F)。 (204990,18140)N注：对于函数 y=f(x1,x2,xn),在均值点作泰勒级数展开有: y=f(m1,m2,mn)+ +取线性近似有: yf(m1,m2,mn); sy29.在外力S作用下，线弹性杆的应变能为 U=S L/2=S2L/2AE，若S服从标准正态分布， 试求U的概率密度。（假设L/2AE=Const)解： U=CS2, S=. FU

6、(u)=P(Uu)=P(CS2u)=P(S2u/C) (注意 0u) FU(u)=P(S2u/C)=P(- S )= fU(u)=FU(u)= = (注意 )10.设随机变量X的概率密度函数为 求其数学期望和方差。解：E(X)= =1500 Var(X)= =+11.某结构支承在A，B，C三个支点上。假定支点的沉降量 A， B， C都是独立正态变 量，均值分别为2,2.5,和3cm,变异系数分别为0.2,0.2,和0.25。问 1）最大沉降量 超过4cm的概率是多少？ 2）如果支点A和B分别沉降了2.5和3.5cm，求最大沉降差不超过1.5cm的概率。解：1)P(Dmax4)=1-P(Dmax

7、4)=1-P(DA4DB4DC4)=1-P(DA4)P(DB4)P(DC4) =1-F(4-2)/20.2F(4-2.5)/2.50.2F(4-3)/30.25 =1-F(5)F(3)F(1.33)=1-10.99860.9082=0.0931 2)P(Dmax1.5)=P(2DC4)=F(4-3)/30.25)-F(2-3)/30.25) = F(1.33)-F(-1.33)=0.9082-0.0918=0.816412.已知 服从正态分布N( , 2)，x1,x2,xn为 的一组样本观察值，试用最大似然法 求 , 2的估计量。解：似然函数为 取对数 求偏导 , 解似然方程组 得到 13.设

8、某车间生产的螺栓直径X服从正态分布， 2=0.05，某日随机抽取六件产品量得直 径为14.9，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1mm,求均值 的95%置信区间。解：样本均值为 = xi/n=15mm. 由 a=1-0.95=0.05,查得Ka/2=1.96 则均值m的95%置信区间为 n=6, = 即 14.82 15.1814.已知 M10标准螺栓静强度的标准差 =21.5 N/mm2,今测得40个螺栓的强度样本均值为 =511 N/mm2, 求置信度为95%的螺栓强度置信区间。（504.34，517.66）15.设某混凝土抗压强度服从正态分布，测得六个立方试块的抗压强度为22

9、.0，18.5， 18.0，21.5，19.0，21.0MPa,求母体均值 的95%置信区间。（未知方差）解： 由a=1-0.95=0.05，a/2=0.025； n-1=5，查得 t0.025(5)=2.571 样本均值为 = xi/n=20MPa 样本方差为 s2=S(xi-)2/(n-1)=2.9 则均值m的95%置信区间为: 18.213 21.78716.由材料试验测得25个钢试件屈服极限均值为 =667 N/mm2，s=27.5N/mm2,求置信度为 95%的材料屈服极限 的置信区间。 (655.65,678.35N/mm2)17.某零件的应力和强度都服从对数正态分布，已知 s=6

10、0MPa, s=20MPa; r=100MPa, r=10MPa，求零件的可靠度。 ( =1.64, R=0.9495)18.拉杆直径D，（ D=30mm, D=3mm），屈服强度r（ r=290N/mm2, r=25N/mm2），拉 力F=105N，在功能函数为1)Z=( d2/4)r-F;2)Z=r-4F/ d2二种情况下，试用中心点 法求其可靠指标和可靠度。 (0.9906；0.9999)19.某钢梁承受确定性弯矩 M=128.8kN.m, 抗弯截面模量 WN( W=884.910-6m3, VW=0.05);钢材强度 f服从对数正态分布( f=262MPa,Vf=0.1)。试用中心点法

11、和验 算点法求可靠指标 及梁的失效概率Pf。解：中心点法 1）由抗力写功能函数为: Z=fW-M=fW-128800 (N.m) mZmfmW-128800=262106884.910-6-128800=103043 sZ=25920.9 mZ/sZ=3.975 2)由应力写功能函数为 Z=f-M/W (MPa) mZmf-M/mW=262-0.1288/(884.910-6)=116.45MPa sZ=27.19 mZ/sZ=4.283 验算点法 W为 正态变量 mW=884.910-6 m3, sW=VWmW=44.24510-6 m3, f为 对数正态变量 mf=f*(1-lnf*+ln

12、)=f*(6.5634-lnf*) (MPa) sf=f*=0.09975f*. 初值取 f*=mf, W*=mW, b=0. 迭代结果如下表次数 b Xi xi* sf mf ai b b 1 0 f W 262.00106 884.9010-6 26.13 44.25 260.70 884.90 -0.895 -0.446 4.269 4.269 2 4.269 f W 160.86106 800.6610-6 16.05 44.25 238.53 884.90 -0.803 -0.596 5.161 0.892 3 5.161 f W 172.01106 748.8010-6 17.16

13、 44.25 243.54 884.90 -0.816 -0.579 5.169 0.00820.某钢制薄壁容器筒体，筒体壁厚t,( t=2.6mm， t=0.043mm);半径r,( r=280mm， r=4.7mm);工作压力p,( p=7.84MPa， p=0.133MPa);轴向焊缝处有一表面裂纹， 深度a=1.3 0.006mm,焊缝断裂韧性K1c,( K1c=1951N/mm3/2, K1c=58.8N/mm3/2), 试计算焊缝强度的可靠性。 (当r/t很大时，有K1=s=(pr/t) ,且由3 原则知 a=0.002) (R=0.9992)21.某钢梁承受弯矩 MN( M=13

14、00kN.cm, M=91kN.cm),抗弯截面模量 WN( W=54.72, W=2.74)cm3,钢材强度 f-N( f=380MPa, f=30.4MPa),极限状态方程为Z=fW-M=0, 求可靠指标 及梁的失效概率 Pf。（ =3.8， Pf=1-F(b)=7.23510-5）解：1）由极限状态方程求得 (注意单位统一，1MPa=100N.cm/cm3.) -=-2.74f*, - =-30.4W*, -=910 即 W=-2.74f*/ -(a) f=-30.4W*/ M=910/ 设计验算点为： W*=mW+aWbsW, f*=mf+afbsf, M*=mM+aMbsM, -(b

15、) 2）假定初值为 W*0=54.72， f*0=380,代入(a),得aW,af,aM。 再将(b)之P*代入极限状态方程得： f*W*-M*=(380-23.378b)(54.72-1.32b)-(13000+382.837b)=0 解上述方程得： b=3.81, (另一根b=66.3舍去） 若 b=3.81，由(b)有f*1=209.93,W*1=49.69,M*1=14458.61,与初值相差很大。 3）假设 f*0=209.93,W*0=49.69,M*0=14458.61,作第二次迭代得： aW=-0.412,af=-0.781,aM=0.4702 f*=380-23.742b,

16、W*=54.72-1.129b, M*=13000+427.882b, 代入极限状态方程得 b=3.79，由(b)有f*2=290.02, W*2=50.44, M*2=14621.67。 4）假设f*0=290.02, W*0=50.44, M*0=14621.67；作第二次迭代得： b=3.80，由(b)有：f*=289.23, W*=50.51, M*=14608.3；迭代收敛。 5）失效概率 Pf=1-F(b)=7.23510-5.22.某拉杆承受的轴向拉力NG服从正态分布， NG=142.9kN,VNG=0.07.截面抗力R也为 正态分布， R=kRRk=1.08Rk, VR=0.0

17、8.钢材强度标准值 fyk=240MPa,设计可靠指标 =3.2,试确定拉杆所需的截面面积。解 极限状态方程为 Z=R-NG=0,对于正态变量、线性方程有： mR-mNG-=0 解得 R=204.18kN 则抗力标准值为: Rk=mR/kR=204.18/1.08=189.1kN 拉杆截面积为: A=Rk/fyk=788mm2.23.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g(R,NG,NL)=R-NG-NL=0.抗力R服从对数正 态分布， R=4560kN, R=729.6kN.恒载NG-N( NG=1159.1kN, NG=81.1kN),活载NL 服从极值1型分布， NL=765.5kN,

18、 NL=222kN,求可靠指标 。解：1）当量正态化 抗力R为对数正态，有mlnR=ln=8.4124, lnR=0.159 R=R*(1-lnR*+mlnR), sR=R*slnR, 若取R*0=mR=4560, 则 mR=4503, sR=725 活载NL为极值1型，有 a=0.78sNL=172.9, k=mNL-0.5772a=665.6 若取N*L0=mNL=765.5 则： fNL(N*L)= =0.001851 FNL(N*L)=exp-exp(-x-k/a)=0.5704 sNL=fF-1FNL(N*L)/fNL(N*L)=212.2 mNL=NL*- F-1FNL(N*L)

19、sNL=727.7 2）计算公式及第一次迭代 =1 =-1 =-1 ； R=-sR/=-0.9543 NG=sNG/=0.10675 NL=sNL/=0.2793 因为是线性方程，故有： =( R-mNG-mNL)/ =3.443 验算点为： R*=mR+baRsR=2120.7 NG*=mNG+baNGsNG=1188.9 NL*=mNL+baNLsNL=931.78 3）第二次迭代： (取第一次结果为验算点初值) mR=R*(1-lnR*+mlnR)=3717.8, sR=R*slnR=337.19 fNL(N*L)=0.001, FNL(N*L)=0.80786 sNL=fF-1FNL(

20、N*L)/fNL(N*L)=273.7 mNL=NL*- F-1FNL(N*L) sNL=694.2 aR=-0.76322, aNG=0.18357, aNL=0.61951; b=4.22 验算点为： R*=2631.8, NG*=1221.9, NL*=1410。 4）五次迭代后的结果为： b=3.96, Pf=3.74710-5。 R*=3009.8, NG*=1194.1, NL*=1815.624.钢筋混凝土受压短柱，极限状态方程为Z=g(R,NG,NL)=R-NG-NL=0。抗力R服从对数正 态分布，VR=0.17；恒载NG-N( NG=636kN,VNG=0.07), 活载NL

21、服从极值1型分布， NL=840kN,VNL=0.29,求可靠指标 =3.7时的截面抗力均值 R。解：恒、活载标准差分别为： sNG=mNGVNG=44.52, sNL=mNLVNL=243.6 当量正态化（公式同前题）。 对于极值1型荷载NL，有：a=0.78sNL=190.08, k=mNL-0.5772a=730.37。 1）第一次计算 假定初值为 NL*=mNL=840, NG*=mNG=636. 有： fNL(N*L)=0.001686, FNL(N*L)=0.57037 sNL=fF-1FNL(N*L)/fNL(N*L)=232.9 mNL=NL*- F-1FNL(N*L) sNL

22、=798.66 由极限状态方程得 R*=NG*+NL*=1476, 且有： sR=R*slnR=R*=249.13 =1 =-1 =-1 R=-sR/=-0.7243 NG=sNG/=0.1294 NL=sNL/=0.6772 验算点为： NG*=mNG+baNGsNG=657.32 (b=3.7) NL*=mNL+baNLsNL=1382.2 R*= NG*+ NL*=2039.5 2）以后各次迭代结果迭代次数 变 量验算点初值 X* fx(x*) Fx(x*) sx mx ax验算点 X* DR* 1 R NG NL1476.0 636.0 840.00.0016860.57037249.

23、13 44.52232.9636.0798.66-0.7243 0.1294 0.67722039.5 657.321382.2 563.5 2 R NG NL2039.5 657.321382.2 0.00016480.9682344.2 44.52433.3636.0578.43-0.6198 0.0802 0.78052478.9 649.21829.7 439.4 3 R NG NL2478.9 649.21829.7 0.000016020.9970418.42 44.52570.97636.0260.67-0.5899 0.06277 0.80502607.6 646.341961

24、.3128.7 4 R NG NL2607.6 646.341961.30.000008030.9985440.14 44.52607.03636.0159.63-0.5860 0.05927 0.80812620.39 645.761974.63 12.79 5 R NG NL2620.39 645.761974.63 0.000007510.9986442.3 44.52610.02636.0151.3-0.5860 0.05898 0.80812620.95 645.711975.24 0.563）结果为： R*=mR+baRsR=2620.95； 注意到抗力R为对数正态，有： mlnR

25、=ln, R=R*(1-lnR*+ln), R=R*故得： mR=R*exp(- R)=3833.5kN式中，R*=2620.95, VR=0.17, b=0.17, aR=-0.586(由表中结果知）。25.悬臂木梁跨长 L=3.6m,允许挠度为1/200。允许失效概率 Pf=0.115( =1.2).已知均布 载荷q为极值1型变量， q=3kN/m, Vq=0.17,木料弹性模量 EN( E=17000MPa,VE= 0.21),截面惯性矩IN( I未知，VI=0.20)，试确定 I。解：功能函数为 Z=D-qL4/8EI D=L/200=0.018m 计算公式 D-q*L4/8E*I*=

26、0 I*=q*L/8E*D q*=mq+aqbsq, E*=mE+aEbsE, I*=mI+aIbsI=mI(1+aIbVI) mI=I*/(1+aIbVI), aq=sq/W, aE=-(q*/E*)sE/W, aI=-(q*/I*)sI/W. 极值1型变量q当量正态化, 有 a=0.78sq=0.7830000.17=397.8(N/m), k=mq-0.5772a=2770(N/m) fq(q*)= Fq(q*)=exp-exp(-q-k/a) sq=fF-1Fq(q*)/fq(q*), mq=q*- F-1Fq(q*) sq. 迭代求解结果为 mI=3.067510-4m4=30675

27、cm4. 26.图中结构体系由二拉杆组成，各杆抗力R为随机变量，密度函数如图。承受拉力S= 1.1kN,VS=0.求系统破坏概率。解 设二杆统计独立，各杆抗力分布函数为 FR(r)=(r-1)/2 1r3 破坏概率为: Pf1=FR(r=1.1)=0.05 系统破坏概率为: Pf=1-P(1-Pfi)=0.0975 （上限） 若设二杆完全相关，则系统破坏概率为: Pf=max(Pfi)=0.05 （下限）27.图中所示桁架之各杆失效概率为：Pf1=Pf2=0.002,Pf3=Pf4=0.0012,Pf5=0.003,假 定各杆独立，求桁架的破坏概率Pf。解 桁架是静定的，为串联系统， 任一杆破

28、坏即为系统破坏。 故系统破坏概率为 Pf=1-P(1-Pfi)=1-(100.02)2(1-0.0012)20.003 =0.0094 由于各杆破坏概率很小， 系统破坏概率可近似为: Pf=1-P(1-Pfi)SPfi=20.002+20.0012+0.003=0.009428.由三根钢丝组成的超静定系统如图。拉力S， S=60kN，变异系数VS=0.25。单根钢丝 抗拉力为R， R=37.5kN，变异系数VR=0.15.假定R，S均服从对数正态分布，求系统 损坏概率及其中一根钢丝拉断后的损坏概率。解：假定拉力S由三根钢丝均匀承受， mSi=20kN，VSi=0.25 每根钢丝的破坏概率为: Pfi=1-F(bfi)=1-F =1- (2.16)=1-0.9846=0.0154 体系的损坏概率为: 0.0154 Pf30.0154=0.0462 如果体系中一根钢丝已断，剩余二根钢丝的荷载为: mSi=30kN，VSi=0.25 此时，钢丝的破坏概率为： Pfi=1-F(bfi)=1-F =1- (0.77)=1-0.7794=0.2206 由剩余二根钢丝组成的体系的损坏概率为： 0.2206 Pf1-(1-0.2206)2=0.3925 （P不能视为小量，故用此式）29.图示体系中若已知 S