命题与证明的知识点.docx

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命题与证明的知识点

命题与证明的知识点

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．若a＞b，则a2＞b2

B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边一定能组成三角形

C．两直线平行，同旁内角相等

D．三角形的外角和为360°

【答案】D

【解析】

【分析】

利用特例对A进行分析，利用三角形三边关系、平行线的性质、三角形外角的性质分别对B、C、D进行分析判断．

【详解】

A、若a＞b，则不一定有a2＞b2，比如a＝0,b＝﹣1，故本选项错误；

B、若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a、b、c为边不一定能组成三角形，故本选项错误；

C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；

D、三角形的外角和为360°，故本选项正确；

故选：

D

【点睛】

本题考查真假命题的判断，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断．

2．下列定理中，逆命题是假命题的是（　　）

A．在一个三角形中，等角对等边

B．全等三角形对应角相等

C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

D．等腰三角形两个底角相等

【答案】B

【解析】

【分析】

先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．

【详解】

解：

A、逆命题为：

在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；

B、逆命题为：

对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；

C、逆命题为：

如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；

D、逆命题为：

两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；

故选：

B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．

3．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）

A．两条直线B．相交

C．只有一个交点D．两条直线相交

【答案】D

【解析】

【分析】

任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．

【详解】

“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．

故选D．

【点睛】

本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.

4．下列命题中是真命题的是（）

A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角

C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．

【详解】

A.多边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3），故该选项是假命题，

B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，

C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，

D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．

5．下列命题的逆命题不成立的是（）

A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等

【答案】B

【解析】

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；

选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；

选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；

选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；

故选B．

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

6．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．将函数y＝

x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝

x

B．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1

C．对函数y＝

，其函数值y随自变量x的增大而增大

D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行

【答案】A

【解析】

【分析】

利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：

A、将函数y＝

x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝

x，正确，符合题意；

B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；

C、对函数y＝

，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；

D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了判断命题真假的问题，掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键．

7．下列命题是真命题的是（）

A．方程

的二次项系数为3，一次项系数为-2

B．四个角都是直角的两个四边形一定相似

C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖

D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

【详解】

A、正确．

B、错误，对应边不一定成比例．

C、错误，不一定中奖．

D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.

故选：

A．

【点睛】

此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．

8．下列语句中不正确的是（）

A．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直

C．如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等

D．角是轴对称图形，它的角平分线是对称轴

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，正确；

B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；

C、如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，正确；

D、角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故错误；

故选：

D．

【点睛】

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形，难度不大．

9．下列命题中:

①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若

与

成轴对称，则

一定与

全等；④有一个角是

度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解:

等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确；

等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确:

若

与

成轴对称，则

一定与

全等；正确；

有一个角是

度的等腰三角形是等边三角形；不正确；

等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．

正确命题为:

个；

故选：

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．

10．下列命题是真命题的是（）

A．若x＞y，则x2＞y2B．若|a|=|b|，则a=bC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＜1，则a＞

【答案】C

【解析】

【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．

【详解】A.x＞y，如x=0，y=-1，02<（-1）2，此时x2

B.|a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b，故B选项错误；

C.若a＞|b|，则a2＞b2，正确；

D.a＜1，如a=-1，此时a=

，故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．

11．下列四个命题中，其正确命题的个数是（　　）

①若ac＞bc，则a＞b；

②平分弦的直径垂直于弦；

③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；

④反比例函数y＝

．当k＜0时，y随x的增大而增大

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：

①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；

③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；

④反比例函数y＝

．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；

正确命题有1个，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.

12．下列命题中，是真命题的是（）

A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补

C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．

【详解】

A、两直线平行，同位角相等，是假命题；

B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；

C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；

D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；

故选：

D．

【点睛】

此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

13．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）

A．a=3，b=2B．a=﹣3，b=2C．a=3，b=﹣1D．a=﹣1，b=3

【答案】B

【解析】

试题解析：

在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

故选B．

考点：

命题与定理．

14．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（）

A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角

B．四边形中所有内角都是锐角

C．四边形的每一个内角都是钝角或直角

D．四边形中所有内角都是直角

【答案】B

【解析】

【分析】

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法.

【详解】

假设命题中的结论不成立，即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立，即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”，即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.

【点睛】

本题考查反证法，要注意命题“至少有一个是”不成立，对应的命题应为“都不是”.

15．下列命题是真命题的是（）

A．同旁内角相等，两直线平行

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．相等的两个角是对顶角

D．圆内接四边形对角相等

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；综上，即可得出答案.

【详解】

A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；

C.相等的两个角是对顶角；假命题；

D.圆内接四边形对角相等；假命题；

故选：

B.

【点睛】

本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.

16．下列命题的逆命题不正确的是（）

A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补

C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分

【答案】C

【解析】

【分析】

首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．

【详解】

A、逆命题是：

对顶角相等．正确；

B、逆命题是：

同旁内角互补，两直线平行，正确；

C、逆命题是：

对角线相等的四边形是矩形，错误；

D、逆命题是：

对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．

故选：

C．

【点睛】

本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．

17．下列正确说法的个数是（）

①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．

【详解】

解：

∵两直线平行，同位角相等，故①错误；

∵等角的补角相等，故②正确；

∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；

∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．

∴正确说法的有②④．

故选B．

【点睛】

此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．

18．下列五个命题：

①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；

②内错角相等；

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④两个无理数的和一定是无理数；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．

其中真命题的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.

【详解】

①正确；

②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；

③正确；

④反例：

两个无理数π和-π，和是0，④错误；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；

故选：

B．

【点睛】

本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．

19．下列命题的逆命题成立的有（）

①勾股数是三个正整数②全等三角形的三条对应边分别相等

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④平行四边形的两组对角分别相等

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】

【分析】

先写出每个命题的逆命题，再分别根据勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定逐个判断即可．

【详解】

①逆命题：

如果三个数是正整数，那么它们是勾股数

反例：

正整数

，但

，即它们不是勾股数，则此逆命题不成立

②逆命题：

三条对应边分别相等的两个三角形全等

由

定理可知，此逆命题成立

③逆命题：

如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等

反例：

，但

，则此逆命题不成立

④逆命题：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

由平行四边形的判定可知，此逆命题成立

综上，逆命题成立的有2个

故选：

B．

【点睛】

本题考查了命题的相关概念、勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．

20．下列命题中：

①若

＝﹣

，则

＝﹣

；②在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；③若ab＝0，则P（a，b）表示原点；④

的算术平方根是9．是真命题的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可．

【详解】

解：

①若

，则

，而

≥0，﹣

≤0，则

＝﹣

不一定成立，错误；

②在同一平面内，若

，

，则

，正确；

③若

，则

表示原点或坐标轴，错误；

④

的算术平方根是3，错误；

故选：

A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．