第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案.docx

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第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案

3．8第一届北京市高中数学知识应用竞赛（1997）

　　第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行．

　　【初赛试题】

　　1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x（公里）满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t（分钟）满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题．

（1）若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？

（2）若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？

　　（3）若途中没有停车等候，所付车费y（元）就是行程x（公里）的函数y＝f（x），画出y＝f（x）（0＜x＜7）的图象．

　　2．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？

　　（你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果．）

　　3．中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：

　　现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用．若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？

最大收益是多少？

　　4．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3—111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？

（精确到0.1米）

　　5．“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：

　　试估计我国1999年的人口数．

　　6．如图3—107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米）．

　　请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．

　　7．一房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图3—108，问能否把此家具水平地移入房间内（说明理由）．

　　8．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1（长度单位：

米）．

　　某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？

如何切割？

此时材料的利用率是多少？

（计算到小数点后面3位）

　　9．改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题．

　　北京怀柔县某村一农民承包了100亩（中低产）地．土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：

10月份（秋天）收玉米后可种冬小麦，第二年6月（夏天）收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦．

　　有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示．

　　这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生．

　　试问：

这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？

　　（为了便于计算，不妨假定从1995～1997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同．）

　　10．1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况．截流从8∶55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米．11∶50时，播音员报告宽为34.4米，到13∶00时，播音员又报告水面宽为31米．这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙．从8∶55到11∶50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11∶50到13∶00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米．从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙．但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：

大江截流成功！

小明后来想明白了，他估算的方法不好．现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算结果更切合实际．

　　【初赛试题解答要点与参考答案】

　　1．

（1）行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为

　　　　10.4＋1.6×（12.5－4）＝24（元），

　　等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为

　　合计24＋0.8＝24.8（元）．………………………………（5分）

（2）行驶23.7公里，按24公里计价．车费为

　　　　10.4＋1.6×（15－4）＋2.4×（24－15）＝49.6（元），

　　等候7分钟，按5分钟计价．等候费为

　　合计49.6＋1.6＝51.2（元）．……………………………（10分）

　　（3）据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3—110．…………………………………（15分）

　　2．易知V＝πr2h，

　　设材料比重为ρ，侧面材料厚度为b，则用料为

　　　　A＝2πr×h×b×ρ＋2πr2×2b×p

　　　　　　…………………………………………………………（10分）

　　这样，r与h之比是1∶4时，用料最少．………（15分）

　　（市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果．）此段不计分．

　　3．解法一一年期存两次（按复利计算）获利金额为（四舍五入精确到分）

　　　　P1×2＝104（1＋5.67％）2－104

　　　　　＝1166.15元．

　　两年期存一次获利金额为

　　　　P2＝2×104×5.94％＝1188.00元．

　　∴P2＞P1×2……………………………………………（5分）

　　存一次一年期再存一次两年期的获利金额为

　　　　P1＋2＝104（1＋5.67％）（1＋2×5.94％）－104

　　　　　　＝1822.36元．

　　三年期存一次获利金额为

　　　P3＝3×104×6.21％＝1863．00元．

　　∴P3＞P1＋2．

　　又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为

　　　　P2+3＝104（1＋2×5.94％）（1＋3×6.21％）－104

　　　　　　＝3272.32元．

　　五年期存一次的获利金额为

　　　　P5＝5×104×6.66％＝3330.00元．

　　∴p5＞P2+3．

　　三年期存两次的获利金额为

　　　　P3×2＝P3+3＝104（1＋3×6.21％）2－104

　　　　　　＝4073.08元．

　　两年期存三次的获利金额为

　　　　P2×3＝104（1＋2×5.94％）3－104＝4004.17（元）

　　∴P3×2＞P2×3．

　　存一次五年期再存一次一年期的获利金额为

　　　　P5+1＝104（1＋5×6.66％）（1＋5.67％）－104

　　　　　　＝4085.81（元）．

　　∴P5+1＞P3+3．

　　∵Pn+m＝Pm+n，（m，n∈N）

　　∴由上述计算推知：

存一次五年期一次一年期所获收益最大．为4085.81（元）．

……………………………………………………（15分）

　　解法二直接计算P1×6，P1×4+2，P1×2+2×2，P2×3，P1×3+3，P1+2+3，P3×2，P1+5进行比较，得出P1+5最大．

　　4．以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P（4，2），Q（0，6）的抛物线在该坐标系中的方程为

　　令x＝3，得

　　因此货车限高＝3.75－0.5＝3.25≈3.2（米）．

　　答：

货车的限高为3.2米．………………………………………（15分）

　　（注：

答3.3米也算对）

　　5．第一步：

在直角坐标系上做出人口数的图形．

　　　…………………………………………………………………（5分）

　　第二步：

估计出这图形近似地可以看做一条直线．

　　　　…………………………………………………………………（8分）

　　第三步：

用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.4～12.6亿之间均算正确答案．……………………………………………………………………（15分）

　　方法一：

选择能反映直线变化的两个点，例如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为：

　　　　N＝14.088t－26915.842

　　代入t＝1999，N＝1246.07≈12.46（亿）．

　　方法二：

可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t＝1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值．

　　方法三：

可采用最通用的“最小二乘法”求出直线方程．

　　这里简单地介绍一下最小二乘法．

　　设（x1，y1），（x2，y2），…（xk，yk）是平面直角坐标系下给出的一组数据，若x1＜x2＜…＜xk，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数．根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y＝bx＋a，使得它能最好地反映出这组数据的变化．

　　这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函

　　由于系数是常数，不妨令l1＝Σ（xi－x）2，l2＝Σ（yi－y）（xi－x），l3＝Σ（yi－y）2，通过配方有

　　用最小二乘法可以求出N＝14.51006t－27753.54649，代入t＝1999，得N≈12.52亿．…………………………………………（15分）

　　6．常见有两种测量方案．

　　方案1P位于开阔地域，则测量方案如下图3—112所示，被测量的数据为PC（测角器的高）和PQ（Q为在PA水平直线上选取的另一测量点）的长度，仰角α和β．……………………………………（5分）

　　设AB为x，PA为y，则计算公式为

　　方案2若P处也是一可攀登建筑物（如楼房），则可在同一垂线上选两个测量点（见图3—113），被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．……………………………………………………………（5分）

　　设AB＝x，PA＝y，则计算公式为

　　说明：

无论哪个方案都至少要测4个数据．

　　7．解法一如图3—114，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB

中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．………（5分）

　　从图中可见h＝AEsinθ，又AE＝AG＋GF＋FE，其中AG＝0.48，GF＝CDcosθ＝0.28cosθ，FE＝FCctgθ＝0.48ctgθ．因此

　　h＝AEsinθ＝（0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ）sinθ

　　………………………………………………………………（10分）

　　＝0.48（sinθ＋cosθ）＋0.28cosθsinθ

　　…………………………………………………………………（15分）

　　解法二在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、KN紧贴C、D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周，A点到CD的距离始终不大于AK＋KO（O是CD中点）．

　　而AK＋KO≈0.82＜0.9．…………………………………（15分）

　　8．把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图3—115（Ⅰ）和（Ⅱ）．切法（Ⅰ）切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法（Ⅱ）切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体．…………………………………………………………………（6分）

　　取3块原料，2块按切法（Ⅰ）切割，1块按切法（Ⅱ）切割．得到29个第一种长方体和30个第二种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法（Ⅰ）切割，30块按切法（Ⅱ）切割，共得到870个第一种长方体和900个第二种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法（Ⅲ）切割（见图），得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各900个，至少需90＋2＝92块原料．…………………………………………………………………（13分）

　　此时，材料的利用率为

　　………………………………………………………………………（15分）

　　9．第一步：

承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税费为

　　　　　2×（50＋60）×100＝12000元．

　　第二步根据给定数据计算出每种作物收支费用表如下：

　　第三步：

两年内只能有以下两种种植模式．………………（5分）

　　Ⅰ1995年秋种冬小麦→夏收完种玉米→秋收完再种冬小麦→夏收完再种玉米→1997年秋收玉米．

　　Ⅱ1995年不种→1996年春种花生→秋收后种冬小麦→夏收后再种玉米→1997年秋收玉米．

　　按模式Ⅰ每亩地两年纯收入1096元/亩，按模式Ⅱ每亩地两年纯收入1153元/亩．

　　第四步：

设按模式Ⅰ种x1亩，模式Ⅱ种x2亩，总收入应该为

　　y＝f（x1，x2）＝1096x1＋1153x2－12000－2×1.68×1000．

　　其中x1和x2应受到如下条件的限制：

（1）x1≥0，x2≥0，

（2）x2≤20，

　　（3）x1＋x2＝100，

　　（4）300x1≥21000（缴纳公粮和口粮）．………………（12分）

　　第五步：

由于模式Ⅱ获利多，所以在满足条件（3）和（4）的前提下应该尽量多地采用模式（Ⅱ）．所以只要计算一下x2＝20时，能否满足条件（4）即可．

　　∵300×80＞21000，

　　∴令x1＝80，x2＝20可取得最大收益．

　　ymax＝1096×80＋1153×20－12000－1680×2

　　　＝87600＋23060－12000－1680×2＝95300（元）．

　　………………………………………………………………………（15分）

　　（像第8题，第9题这类问题在数学上称做规划问题或整数规划问题．）

　　10．说明：

建模的合理性有以下两个评价要点：

（1）回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点．

（2）注意到回填速度是在逐渐加快；水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快．在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点．

　　下面的计算模型可供参考．

　　为简便计，回填体积可用龙口水流的截面面积代替，假设截面为等

　　经175分钟回填后，龙口宽为34.4米．设此时截面与原截面相似（如图3—109）．则此时的水深h1满足

　　故h1＝51.6（m）．此时尚待回填的面积A1＝17.2×51.6＝887.52（m2）

　　到13∶00尚待回填的面积A2＝15.5×（15.5×3）＝720.75（m2）．

　　从11∶50到13∶00回填的平均速度为

　　比以前的速度加快了．在回填过程中，回填速度是越来越快的．可建立各种模型进行计算，下面举出两种算法．

　　下午1∶00～2∶00，回填面积为143×1.336＝191.048．

　　2∶00～3∶00　　回填面积为143×1.3362＝255.24．

　　此时，待填面积为720.75－（191.048＋255.24）＝274.462．需

个小时，即在下午3点48分龙口即可合龙．……………………（15分）

　　方法二：

假设回填速度v与水深l成反比．因为水深与待填面积S

m2/小时，故回填面积为224.67m2．

　　所以下午4∶00，待填面积仅为720.75－192.36－224.67－296.33＝7.39，可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估算，下午4点龙口即可合龙．………………………………………………………（15分）

　　【复赛试题】

　　1．（14分）年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货．每月月底可售出全部货物，获得毛利（当月销售收入与投入资金之差）是该月月初投入资金的20％．每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60％．此外小王每月还要支出生活费300元．余款作为下月投入资金用于进货．如此继续，问到年底小王拥有多少资金？

若贷款年利率为10.98％，问小王的纯收入为多少？

　　2．（14分）某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形（如图3—116的阴影部分）．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒．（接缝用料忽略不计）

　　问：

（1）包装盒的最大直径是多少？

（精确到0.01厘米）

（2）画出你设计的剪裁图．

　　3．（14分）一底面积为S（分米）2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水．设容器的质地是均匀的且薄厚相同（包括盖），问h为多少时使容器和水整体的重心最低．

　　4．（12分）中国邮政贺年（有奖）明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，97、98年公布的获奖号码（其尾数）如下：

　　97年　　　　　　　　　　　　　　　　　98年

　　特等奖400656　　　　　　　　　　　一等奖963639

　　一等奖877175　　　　　　　　　　　二等奖07594

　　二等奖50725，20460　　　　　　　　三等奖7655，6839，4754

　　三等奖2463，5502　　　　　　　　　四等奖090，433

　　四等奖626　　　　　　　　　　　　　　　　803，796

　　五等奖84　　　　　　　　　　　　　　　　　624

　　纪念奖3　　　　　　　　　　　　　　五等奖9

　　试问：

（1）哪一年获奖的概率大？

（注：

发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5％）

（2）若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？

　　5．（12分）家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架．主要有四道工序：

打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：

贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．

　　6．（12分）现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？

　　7．（污水处理问题）（12分）沿河有三城镇1、2和3，其地理位置如图3—117所示，污水需处理后方可排入河中．用Q表示污水量（吨/秒），L表示管道长度（公里），按照经验公式，建污水处理厂的费用为P1＝73Q0.712（千元），铺设管道的费用为P2＝0.66Q0.51L（千元），已知三城镇的污水量分别为Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5，L的数值如图所示．三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送．试问：

（1）从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；

（2）如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：

联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担．试计算在上述建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；

　　（3）请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议．并计算各城镇的费用．

　　8．（10分）中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：

12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：

（1）胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；

（2）球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；

　　（3）积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球（踢进球数减被踢入球数）多的队排名在前．

　　（4）若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前．

　　以下是甲B联赛（共赛22轮）第19轮后的形势：

　　队名　　　　胜　　平　　负　　得失球　　积分

　　武汉雅琪　　10　　6　　　3　　29/18　　　36

　　深圳平安　　9　　5　　　5　　34/27　　　32

　　深圳金鹏　　8　　　5　　　6　　32/38　　　29

　　河南建业　　8　　　5　　　6　　20/18　　　29

　　广州松日　　7　　　7　　　5　　27/19　　　28

　　沈阳海狮　　7　　　7　　　5　　28/23　　　28

　　佛山佛斯弟　8　　　2　　　9　　26/28　　　26

　　辽宁双星　　7　　　4　　　8　　20/19　　　25

　　上海浦东　　7　　　4　　　8　　28/23　　　25

　　上海豫园　　6　　　5　　　8　　23/29　　　23

　　天津万科　　5　　　7　　　7　　22/23　　　22

　　火车头杉杉　2　　　3　　　14　　14/48　　　9

　　还剩三轮，对阵表如下：

　　上海浦东——深圳平安　　　　广州松日——河南建业

　　深圳平安——辽宁双星　　　　河南建业——上海浦东

　　深圳平安——沈阳海狮　　　　上海豫园——河南建业

　　深圳金鹏——上海豫园　　　　武汉雅琪——佛斯弟

　　沈阳海狮——深圳金鹏　　　　天津万科——佛斯弟

　　辽宁双星——深圳金鹏　　　　佛斯弟——杉杉

　　杉杉——广州松日

　　广州松日——天津万科

　　辽宁双星——天津万科

　　沈阳海狮——杉杉

　　上海豫园——武汉雅琪

　　武汉雅琪——上海浦东

　　试问：

武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？

说明理由．

　　【复赛试题解答要点与参考答案】

　　1．设第n个月月底的