第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案.docx

1、第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案38 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997)第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行【初赛试题】1乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12x12.5时，按12.5公里计价；当12.5x13时，按13公里计价等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满

2、足2.5t5时，按2.5分钟计价；当5t7.5时，按5分钟计价请回答下列问题(1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数yf(x)，画出yf(x)(0x7)的图象2某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？(你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果)3中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年1

3、0月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？4有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米)5“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：

4、试估计我国1999年的人口数6如图3107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少7一房间的门宽为0.9米， 墙厚为0.28米今有一家具其水平截面如图3108，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)8现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为1233.1(长度单位：米)某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为32.41，第二种为41.50.7若这两种长方

5、体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)9改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题北京怀柔县某村一农民承包了100亩(中低产)地 土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份(秋天)收玉米后可种冬小麦，第二年6月(夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，

6、每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？(为了便于计算，不妨假定从19951997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同)101997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况截流从855开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米1150时，播音员报告宽为34.4米，到1300时，播音员又报告水面宽为31米这时，电

7、视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙从855到1150，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从1150到1300，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算，使你的计算结果更切合实际【初赛试题解答要点与参考答案】1(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.41.6(12.54)24(元)，等候3分钟，由题设按

8、2.5分钟计价，等候费为合计 240.824.8(元)(5分)(2)行驶23.7公里，按24公里计价车费为10.41.6(154)2.4(2415)49.6(元)，等候7分钟，按5分钟计价等候费为合计 49.61.651.2(元)(10分)(3)据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3110(15分)2易知Vr2h， 设材料比重为，侧面材料厚度为b，则用料为A2rhb2r22bp (10分)这样，r与h之比是14时，用料最少(15分)(市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果)此段不计分3解法一 一年期存两次(按复利计算)获利金额为(四舍五入精确到分)P12104(15.6

9、7)2104 1166.15元两年期存一次获利金额为P221045.941188.00元 P2P12(5分)存一次一年期再存一次两年期的获利金额为P12 104(15.67)(125.94)104 1822.36元三年期存一次获利金额为 P331046.21186300元 P3P12又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为P2+3104(125.94)(136.21)1043272.32元五年期存一次的获利金额为P5510 46.663330.00元 p5P2+3三年期存两次的获利金额为P32P3+3104(136.21)21044073.08元两年期存三次的获利金额为P23104(125.9

10、4)31044004.17(元) P32P23存一次五年期再存一次一年期的获利金额为P5+1104(156.66)(15.67)1044085.81(元) P5+1P3+3 Pn+mPm+n，(m，nN) 由上述计算推知：存一次五年期一次一年期所获收益最大为4085.81(元)(15分)解法二 直接计算P16，P14+2，P12+22，P23，P13+3，P1+2+3，P32，P1+5进行比较，得出P1+5最大4以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P(4，2)，Q(0，6)的抛物线在该坐标系中的方程为令x3，得因此货车限高3.750.53.253.2(米)答：货车的限

11、高为3.2米(15分)(注：答3.3米也算对)5第一步：在直角坐标系上做出人口数的图形 (5分)第二步：估计出这图形近似地可以看做一条直线(8分)第三步：用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.412.6亿之间均算正确答案(15分)方法一：选择能反映直线变化的两个点，例如 (1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为：N14.088t26915.842代入t1999，N1246.0712.46(亿)方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值方法三：可采用最通用的“最小二乘法”求出直线

12、方程这里简单地介绍一下最小二乘法设(x1，y1)，(x2，y2)，(xk，yk)是平面直角坐标系下给出的一组数据，若x1x2xk，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线(不是直线)，我们的问题是确定一条直线ybxa，使得它能最好地反映出这组数据的变化 这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函由于系数是常数，不妨令l1(xix)2，l2(yiy)(xix)，l3(yiy)2，通过配方有用最小二乘法可以求出N14.51006t27753.54649，代入t1999，得N12.52亿(15分)6常见有两种测量方案方案1 P位于开阔地域，则

13、测量方案如下图3112所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角和(5分)设AB为x，PA为y，则计算公式为 方案2 若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角和(5分)设ABx，PAy，则计算公式为说明：无论哪个方案都至少要测4个数据7解法一 如图3114，墙厚CD0.28米，家具的一边AB中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内(5分)从图中可见hAEsin，又AEAGGFFE，其中AG0.48，GFCDcos0.28cos，FEFCctg0.48ctg因

14、此hAEsin(0.480.28cos0.48ctg)sin (10分)0.48(sincos)0.28cossin(15分)解法二 在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、 KN紧贴C、 D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周， A点到CD的距离始终不大于AKKO(O是CD中点)而AKKO0.820.9(15分)8把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图3115()和()切法()切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法()切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体(6分)取3块原料，2块按切法()切割，1块按切法()切割得到29个第一种长方体和30个第二种长

15、方体因此，取90块原料，其中60块按切法()切割， 30块按切法()切割，共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体再取2块原料，按切法()切割(见图)，得30个第一种长方体每块原料剩下1230.1的余料因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90292块原料(13分)此时，材料的利用率为(15分)9第一步：承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税费为2(5060)10012000元第二步 根据给定数据计算出每种作物收支费用表如下：第三步：两年内只能有以下两种种植模式(5分) 1995年秋种冬小麦夏收完种玉米秋收完再种冬小麦夏收完再种

16、玉米1997年秋收玉米 1995年不种1996年春种花生秋收后种冬小麦夏收后再种玉米1997年秋收玉米按模式每亩地两年纯收入1096元/亩，按模式每亩地两年纯收入1153元/亩第四步：设按模式种x1亩，模式种x2亩，总收入应该为yf(x1，x2)1096x11153x21200021.681000其中x1和x2应受到如下条件的限制：(1)x10，x20，(2)x220，(3)x1x2100，(4)300x121000(缴纳公粮和口粮)(12分)第五步：由于模式获利多，所以在满足条件(3)和(4)的前提下应该尽量多地采用模式()所以只要计算一下x220时，能否满足条件(4)即可300802100

17、0，令x180，x220可取得最大收益ymax1096801153201200016802 8760023060120001680295300(元) (15分)(像第8题，第9题这类问题在数学上称做规划问题或整数规划问题)10说明：建模的合理性有以下两个评价要点：(1)回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点(2)注意到回填速度是在逐渐加快；水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点下面的计算模型可供参考为简便计，回填体积可用龙口水

18、流的截面面积代替，假设截面为等经175分钟回填后，龙口宽为34.4米设此时截面与原截面相似(如图3109)则此时的水深h1满足故h151.6(m)此时尚待回填的面积A117.251.6887.52(m2)到1300尚待回填的面积A215.5(15.53)720.75(m2)从1150到1300回填的平均速度为比以前的速度加快了在回填过程中，回填速度是越来越快的可建立各种模型进行计算，下面举出两种算法下午100200，回填面积为1431.336191.048200300 回填面积为1431.336 2255.24此时，待填面积为720.75(191.048255.24)274.462需个小时，即

19、在下午3点48分龙口即可合龙(15分)方法二：假设回填速度v与水深l成反比因为水深与待填面积S m2/小时，故回填面积为224.67m2所以下午400，待填面积仅为720.75192.36224.67296.337.39，可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估算，下午4点龙口即可合龙(15分)【复赛试题】1(14分)年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货每月月底可售出全部货物，获得毛利(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60此外小王每月还要支出生活费300元余款作为下月投入资金用于进货如此继续，问到年

20、底小王拥有多少资金？若贷款年利率为10.98，问小王的纯收入为多少？2(14分)某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形(如图3116的阴影部分)为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(接缝用料忽略不计)问：(1)包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)(2)画出你设计的剪裁图3(14分)一底面积为S(分米)2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水设容器的质地是均匀的且薄厚相同(包括盖)，问h为多少时使容器和水整体的重心最低4(12分)中国邮政贺年(有奖)明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，9

21、7、98年公布的获奖号码(其尾数)如下：97年 98年特等奖 400656 一等奖 963639一等奖 877175 二等奖 07594二等奖 50725，20460 三等奖 7655，6839，4754三等奖 2463，5502 四等奖 090，433四等奖 626 803，796五等奖 84624纪念奖 3五等奖 9试问：(1)哪一年获奖的概率大？(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5)(2)若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？5(12分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架主要有四道工序：打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂

22、名标签按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行已知：贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短6(12分)现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是21，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是32若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？7(污水处理问题)(12分)沿河有三城镇1、2和3，其地理位

23、置如图3117所示，污水需处理后方可排入河中用Q表示污水量(吨/秒)，L表示管道长度(公里)，按照经验公式，建污水处理厂的费用为P173Q0.712(千元)，铺设管道的费用为P20.66Q0.51L(千元)，已知三城镇的污水量分别为Q15，Q23，Q35，L的数值如图所示三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送试问：(1)从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；(2)如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担试计算在上述

24、建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；(3)请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议并计算各城镇的费用8(10分)中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：(1)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；(2)球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；(3)积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球(踢进球数减被踢入球数)多的队排名在前(4)若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前以下是甲B联赛(共赛22轮)第19轮后的形势：队名 胜 平 负 得失球 积分武汉雅琪

25、10 6 3 29/18 36深圳平安 9 5 5 34/27 32深圳金鹏 85 6 32/38 29河南建业 85 6 20/18 29广州松日 77 5 27/19 28沈阳海狮 77 5 28/23 28佛山佛斯弟 82 9 26/28 26辽宁双星 74 8 20/19 25上海浦东 74 8 28/23 25上海豫园 65 8 23/29 23天津万科 57 7 22/23 22火车头杉杉 23 1414/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东深圳平安 广州松日河南建业深圳平安辽宁双星 河南建业上海浦东深圳平安沈阳海狮 上海豫园河南建业深圳金鹏上海豫园 武汉雅琪佛 斯 弟沈阳海狮深圳金鹏 天津万科佛 斯 弟辽宁双星深圳金鹏 佛 斯 弟杉 杉杉 杉广州松日广州松日天津万科辽宁双星天津万科沈阳海狮杉 杉上海豫园武汉雅琪武汉雅琪上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由【复赛试题解答要点与参考答案】1设第n个月月底的