九年级数学上册44解直角三角形的应用442坡度与坡角方向角相关问题教案新版湘教版.docx
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九年级数学上册44解直角三角形的应用442坡度与坡角方向角相关问题教案新版湘教版
第4章 锐角三角函数
4.4解直角三角形的应用
第2课时坡度与坡脚、方位角相关问题
课题
第2课时 坡度与坡脚、方位角相关问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.弄清铅垂高度、水平宽度、坡度（或坡比）、坡角等概念，并会解答相应的实际问题.
2.能应用解直角三角形的知识，解答综合的实际问题．
数学思考
把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．
问题解决
通过阅读教材、结合看图、讨论交流、例题学习来了解坡高、坡度、坡角及其关系，并获得解答应用题的一些经验．
情感态度
通过本节课的学习一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度．
教学重点
理解坡度和坡角的概念．
教学难点
利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如图4－4－51，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝6米，若∠B的余弦值是，上底AD的长是2米，求它的高AE和四边形ABCD的面积.
图4－4－51
[答案：
AE＝2米，四边形ABCD的面积是12平方米]
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
为了防汛，要修一段长为a千米的河堤，需要多少土石方，多少劳动力，多少资金，都要先计算筹备，如何计算？
首先要知道河堤的横断面是什么形状．修好后如何检验是否符合设计标准并进行经费的决算，这些都取决于河堤的横断面的面积如何测算．那么究竟如何测算呢？
这就需要我们探究坡度、坡角等问题．
鼓励学生思考，让学生初步知道坡角、坡度等在实际生活中的应用.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】（多媒体出示）有关概念
1.铅垂高度h.
2.水平宽度l.
图4－4－52
3.坡度（坡比）i：
坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比.
i＝＝tanα.
4.坡角α：
坡面与水平面的夹角.
显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
【探究2】（多媒体出示）求坝高
某水坝的坡度i＝1∶，坡长AB＝20米，求水坝的高度.如图4－4－53：
图4－4－53
∵坡度i＝1∶，∴设AC＝x，BC＝x，
根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，则x2＋（x）2＝202，解得x＝10.即水坝的高度为10米.
【探究3】（多媒体出示）求斜坡长
如图4－4－54所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC＝5米，求坡面AB的长.
河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，即＝＝，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×5＝10（米）.
图4－4－54
【探究4】（多媒体出示）探究坡角
某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，求坝内斜坡的坡角α及坝外斜坡的坡角β.
坝内斜坡的坡度i＝1∶，说明tanα＝，则α＝30°.
坝外斜坡的坡度i＝1∶1，说明tanβ＝1，β＝45°.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识；提高学生的抽象思维能力.
2.四个探究主要是师生共同探究坡度、坡角、斜坡长的求法与简单的应用.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图4－4－55，小明从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα＝，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
图4－4－55
变式 如图4－4－56，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米．要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？
（参考数据：
sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
[答案：
小明种植的这两棵树符合要求]
图4－4－56
例2 [益阳中考]益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图4－4－57，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：
∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长（精确到0.1米）.
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
[答案：
AB的长约为546.7米]
图4－4－57
例3 [十堰中考]如图4－4－58，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测到灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__24__海里．（结果保留整数，参考数据：
≈1.4，≈1.7，≈2.4）
图4－4－58
例1考查了学生对解直角三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．同时引导学生作辅助线的思路和方法.
例2主要是利用解直角三角形，求河宽．使学生在不同知识背景下灵活运用解直角三角形的知识解决问题.
【拓展提升】
1.利用坡度求缆绳长
例4 [山西中考]如图4－4－59，点A，B，C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一竖直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i＝1∶2，钢缆BC的坡度i＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？
（注：
坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
图4－4－59
[答案：
钢缆AC的长度为1000米]
2.构造直角三角形求坡高和坡宽
例5 [宿迁中考]如图4－4－60是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6m．
（1）求FM的长；
（2）连接AF，若sin∠FAM＝，求AM的长.
图4－4－60
[答案：
（1）9m
（2）18m]
例3考查了解直角三角形的应用——方位角，解题的关键是添加辅助线，将三角形分割为含特殊角的直角三角形.
例4，例5主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．此类问题容易出错的地方是构造不出直角三角形.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P129练习中的T1，T2.
2.教材P129习题4.4中的T1，T2.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．教师在新课引入时借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上.
②[讲授效果反思]
新课进行中主要有两个环节：
一是师生共同探究简单的、单一的坡度、坡角、坡长和坡高之间的关系；二是以近年的中考题为例展示坡度、坡角、方位角的应用．通过四道不同类型、不同角度的例题展示，学生对这类问题会有比较全面的认识.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
反思，更进一步提升.
第4章 锐角三角函数
4.3解直角三角形
课题
4.3 解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
数学思考
通过实际问题的情境，让学生感受到在生活中解直角三角形知识的实际意义．
问题解决
通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．
情感态度
发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略．
教学重点
解直角三角形的有关知识．
教学难点
选择恰当的边角关系，解直角三角形．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
Rt△ABC中的关系式．（∠C＝90°）
图4－3－5
两锐角的关系：
∠A＋∠B＝90°.
三边之间的关系：
a2＋b2＝c2.
边角关系：
sinA＝，cosA＝，tanA＝.
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10cm，那么a＝__5__cm，b＝__5___cm.
2.若∠A＝40°，c＝10cm，那么由sinA＝，得a＝c·sinA＝__10·sin40°__，由cosA＝，得b＝c·cosA＝__10·cos40°__.
3.清明节时，某中学的近千名师生到
龙山烈士陵园祭奠抗战烈士．如图4－3－6，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，该山坡的高BC为多少米？
[答案：
100米]
图4－3－6
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】（多媒体出示）
1.涉“斜”选“弦”的策略：
当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫作涉斜（涉及斜边）选弦（选正弦、余弦）的策略.
[滨州中考]在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为（ A ）
A.6 B．7.5 C．8 D．12.5
[解析] 如图4－3－7，∵∠C＝90°，
∴sinA＝.
图4－3－7
∴BC＝AB·sinA＝10×＝6.
【探究2】（多媒体出示）
2.无“斜”选“切”的策略：
若已知和所求均未涉及斜边，则要选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”（斜边）选“切”（正切）的策略.
图4－3－8
如图4－3－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝20m，则BC的长大约为（结果精确到0.1m）（ B ）
A.34.4mB．34.6m
C.28.3mD．17.3m
[解析]直接利用tanA＝，得BC＝AC·tanA.
∴BC＝AC·tanA＝20≈34.6（m）.
[活动总结]涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切”．
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，恰当地选择边角关系式，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生发现问题的意识，提高学生的抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料.
2.还可以根据∠A＝60°，可得∠B＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出斜边长40m，再利用勾股定理求出BC.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形.
解：
AB＝＝＝2.
∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.
解：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.
而cosA＝，∴AB＝＝＝.
∵tanA＝，∴BC＝tanA·AC＝tan30°×10＝.
变式 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为（精确到0.1）（ C ）
A.9.1 B．9.5 C．3.1 D．3.5
[解析]在Rt△ABC中，cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝10·cos72°≈3.1.所以选C.
例1主要是已知两边解直角三角形，注意已知两边解直角三角形的方法技巧.
例2及其变式主要是已知一边及一锐角解直角三角形．注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧.
【拓展提升】
例3 [南昌中考]在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为__2_或4_或6__.
[解析]
（1）如图①，∠ABP＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵BC＝6，∴AB＝3，∴AC＝3，在Rt△BAP中，tan30°＝，AP＝AB·tan30°＝3×＝，∴CP＝3－＝2.
（2）如图②，由图①知AB＝3，又∠ABP＝30°，∴AP＝，∴CP＝3＋＝4.
（3）如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.
图4－3－9
例3是需要画图后解直角三角形的问题，画图时需要分类讨论，注意解答时不要漏解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P123练习中的T1，T2，T3.
2.教材P123习题4.3中的T1，T2，T3.
3.补充练习.
（1）在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝，则BD的长为__6__.
图4－3－10
（2）如图4－3－11，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为__＋1__．
图4－3－11
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课采用清明节登山、测山高作为新课导入，题型新颖，深受学生喜爱，有利于调动学生学习解直角三角形的积极性.
②[讲授效果反思]
解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系式则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生探究、讨论，总结出选择边角关系式的策略：
有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”；避“除”就“乘”，能“正”不“余”．由于有这些例题的引导，学生对于两类型的解直角三角形问题的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
反思，更进一步提升.
升级会员 