九年级数学上册44解直角三角形的应用442坡度与坡角方向角相关问题教案新版湘教版.docx
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九年级数学上册44解直角三角形的应用442坡度与坡角方向角相关问题教案新版湘教版
第4章 锐角三角函数
4.4解直角三角形的应用
第2课时坡度与坡脚、方位角相关问题
课题
第2课时 坡度与坡脚、方位角相关问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.弄清铅垂高度、水平宽度、坡度(或坡比)、坡角等概念,并会解答相应的实际问题.
2.能应用解直角三角形的知识,解答综合的实际问题.
数学思考
把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决.
问题解决
通过阅读教材、结合看图、讨论交流、例题学习来了解坡高、坡度、坡角及其关系,并获得解答应用题的一些经验.
情感态度
通过本节课的学习一方面增强学生对解直角三角形的应用意识,另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度.
教学重点
理解坡度和坡角的概念.
教学难点
利用坡度和坡角等条件,解决有关的实际问题.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如图4-4-51,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=6米,若∠B的余弦值是,上底AD的长是2米,求它的高AE和四边形ABCD的面积.
图4-4-51
[答案:
AE=2米,四边形ABCD的面积是12平方米]
学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
为了防汛,要修一段长为a千米的河堤,需要多少土石方,多少劳动力,多少资金,都要先计算筹备,如何计算?
首先要知道河堤的横断面是什么形状.修好后如何检验是否符合设计标准并进行经费的决算,这些都取决于河堤的横断面的面积如何测算.那么究竟如何测算呢?
这就需要我们探究坡度、坡角等问题.
鼓励学生思考,让学生初步知道坡角、坡度等在实际生活中的应用.
活动
二:
实践
探究
交流新知
【探究1】(多媒体出示)有关概念
1.铅垂高度h.
2.水平宽度l.
图4-4-52
3.坡度(坡比)i:
坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比.
i==tanα.
4.坡角α:
坡面与水平面的夹角.
显然,坡度i越大,坡角α就越大,坡面就越陡.
【探究2】(多媒体出示)求坝高
某水坝的坡度i=1∶,坡长AB=20米,求水坝的高度.如图4-4-53:
图4-4-53
∵坡度i=1∶,∴设AC=x,BC=x,
根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,则x2+(x)2=202,解得x=10.即水坝的高度为10米.
【探究3】(多媒体出示)求斜坡长
如图4-4-54所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶,堤高BC=5米,求坡面AB的长.
河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶,即==,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×5=10(米).
图4-4-54
【探究4】(多媒体出示)探究坡角
某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶,坝外斜坡的坡度i=1∶1,求坝内斜坡的坡角α及坝外斜坡的坡角β.
坝内斜坡的坡度i=1∶,说明tanα=,则α=30°.
坝外斜坡的坡度i=1∶1,说明tanβ=1,β=45°.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生能从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生的问题意识;提高学生的抽象思维能力.
2.四个探究主要是师生共同探究坡度、坡角、斜坡长的求法与简单的应用.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图4-4-55,小明从点A出发,沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B,sinα=,然后又沿着坡度为i=1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米(结果保留根号)?
图4-4-55
变式 如图4-4-56,在山坡上植树,已知山坡的倾斜角α是20°,小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米.要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3~5.7米范围内,问小明种植的这两棵树是否符合这个要求?
(参考数据:
sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
[答案:
小明种植的这两棵树符合要求]
图4-4-56
例2 [益阳中考]益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图4-4-57,新大桥的两端位于A,B两点,小张为了测量A,B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据:
∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82米.求AB的长(精确到0.1米).
参考数据:
sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0,sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5.
[答案:
AB的长约为546.7米]
图4-4-57
例3 [十堰中考]如图4-4-58,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时观测到灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是__24__海里.(结果保留整数,参考数据:
≈1.4,≈1.7,≈2.4)
图4-4-58
例1考查了学生对解直角三角形的应用,解题的关键是通过作垂线构造直角三角形.同时引导学生作辅助线的思路和方法.
例2主要是利用解直角三角形,求河宽.使学生在不同知识背景下灵活运用解直角三角形的知识解决问题.
【拓展提升】
1.利用坡度求缆绳长
例4 [山西中考]如图4-4-59,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一竖直平面内,它们的海拔高度AA′,BB′,CC′分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i=1∶2,钢缆BC的坡度i=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?
(注:
坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
图4-4-59
[答案:
钢缆AC的长度为1000米]
2.构造直角三角形求坡高和坡宽
例5 [宿迁中考]如图4-4-60是某通道的侧面示意图,已知AB∥CD∥EF,AM∥BC∥DE,AB=CD=EF,∠AMF=90°,∠BAM=30°,AB=6m.
(1)求FM的长;
(2)连接AF,若sin∠FAM=,求AM的长.
图4-4-60
[答案:
(1)9m
(2)18m]
例3考查了解直角三角形的应用——方位角,解题的关键是添加辅助线,将三角形分割为含特殊角的直角三角形.
例4,例5主要考查解直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形.此类问题容易出错的地方是构造不出直角三角形.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P129练习中的T1,T2.
2.教材P129习题4.4中的T1,T2.
当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力,激发他们的好奇心,体会数学来源于生活并服务于生活,诱发学生对新知识的渴求.教师在新课引入时借助多媒体展示河堤的相关图片,边讲解边观看,最后落入到探究坡度、坡角等问题上.
②[讲授效果反思]
新课进行中主要有两个环节:
一是师生共同探究简单的、单一的坡度、坡角、坡长和坡高之间的关系;二是以近年的中考题为例展示坡度、坡角、方位角的应用.通过四道不同类型、不同角度的例题展示,学生对这类问题会有比较全面的认识.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
反思,更进一步提升.
第4章 锐角三角函数
4.3解直角三角形
课题
4.3 解直角三角形
授课人
教
学
目
标
知识技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
数学思考
通过实际问题的情境,让学生感受到在生活中解直角三角形知识的实际意义.
问题解决
通过学习解直角三角形,归纳出解直角三角形的两种类型.
情感态度
发展学生的数学应用意识,提高归纳能力,感受解直角三角形的策略.
教学重点
解直角三角形的有关知识.
教学难点
选择恰当的边角关系,解直角三角形.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
Rt△ABC中的关系式.(∠C=90°)
图4-3-5
两锐角的关系:
∠A+∠B=90°.
三边之间的关系:
a2+b2=c2.
边角关系:
sinA=,cosA=,tanA=.
学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一:
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10cm,那么a=__5__cm,b=__5___cm.
2.若∠A=40°,c=10cm,那么由sinA=,得a=c·sinA=__10·sin40°__,由cosA=,得b=c·cosA=__10·cos40°__.
3.清明节时,某中学的近千名师生到
龙山烈士陵园祭奠抗战烈士.如图4-3-6,山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,该山坡的高BC为多少米?
[答案:
100米]
图4-3-6
鼓励学生独立解决问题,让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边.
活动
二:
实践
探究
交流新知
【探究1】(多媒体出示)
1.涉“斜”选“弦”的策略:
当已知和所求涉及直角三角形的斜边时,应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦.我们把它叫作涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)的策略.
[滨州中考]在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sinA=,则BC的长为( A )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
[解析] 如图4-3-7,∵∠C=90°,
∴sinA=.
图4-3-7
∴BC=AB·sinA=10×=6.
【探究2】(多媒体出示)
2.无“斜”选“切”的策略:
若已知和所求均未涉及斜边,则要选择与斜边无关的边角关系式——正切,这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略.
图4-3-8
如图4-3-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=20m,则BC的长大约为(结果精确到0.1m)( B )
A.34.4mB.34.6m
C.28.3mD.17.3m
[解析]直接利用tanA=,得BC=AC·tanA.
∴BC=AC·tanA=20≈34.6(m).
[活动总结]涉“斜”选“弦”,无“斜”选“切”.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,恰当地选择边角关系式,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生能从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生发现问题的意识,提高学生的抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程提供材料.
2.还可以根据∠A=60°,可得∠B=30°,利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可求出斜边长40m,再利用勾股定理求出BC.
活动
三:
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 在△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形.
解:
AB===2.
∵tanA===,∴∠A=30°,∠B=60°.
例2 在△ABC中,∠C=90°,AC=10,∠A=30°,解这个直角三角形.
解:
∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°.
而cosA=,∴AB===.
∵tanA=,∴BC=tanA·AC=tan30°×10=.
变式 在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)( C )
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
[解析]在Rt△ABC中,cosA=,∴AC=AB·cosA=10·cos72°≈3.1.所以选C.
例1主要是已知两边解直角三角形,注意已知两边解直角三角形的方法技巧.
例2及其变式主要是已知一边及一锐角解直角三角形.注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧.
【拓展提升】
例3 [南昌中考]在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为__2_或4_或6__.
[解析]
(1)如图①,∠ABP=30°,∵∠ABC=60°,∴∠ACB=30°.∵BC=6,∴AB=3,∴AC=3,在Rt△BAP中,tan30°=,AP=AB·tan30°=3×=,∴CP=3-=2.
(2)如图②,由图①知AB=3,又∠ABP=30°,∴AP=,∴CP=3+=4.
(3)如图③,∵∠ABC=∠ABP=30°,∠BAC=90°,∴∠C=∠P,∴BC=BP.∵∠C=60°,∴△CBP是等边三角形,∴CP=BC=6.
图4-3-9
例3是需要画图后解直角三角形的问题,画图时需要分类讨论,注意解答时不要漏解.
活动
四:
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P123练习中的T1,T2,T3.
2.教材P123习题4.3中的T1,T2,T3.
3.补充练习.
(1)在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,点D在BC边上,连接AD,若tan∠CAD=,则BD的长为__6__.
图4-3-10
(2)如图4-3-11,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为__+1__.
图4-3-11
当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课采用清明节登山、测山高作为新课导入,题型新颖,深受学生喜爱,有利于调动学生学习解直角三角形的积极性.
②[讲授效果反思]
解直角三角形是重点,而选择恰当的边角关系式则是难点,为了突破此难点,本节课选择了两个例题让学生探究、讨论,总结出选择边角关系式的策略:
有“斜”选“弦”,无“斜”选“切”;避“除”就“乘”,能“正”不“余”.由于有这些例题的引导,学生对于两类型的解直角三角形问题的掌握,应该没有问题,建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.
③[师生互动反思]
___________________________________________
___________________________________________
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号____________________________________
反思,更进一步提升.