初中数学中考导练讲义第5讲一次方程组.docx

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初中数学中考导练讲义第5讲一次方程组

第5讲一次方程（组）

【章节知识清单】

知识点一：

方程及其相关概念

关键点拨及对应举例

1.等式的基本性质

（1）性质1：

等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.

（2）性质2：

等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，（c≠0）．

（3）性质3：

（对称性）若a=b,则b=a.

（4）性质4：

（传递性）若a=b,b=c,则a=c.

失分点警示：

在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.

例：

判断正误.

（1）若a=b,则a/c=b/c.（×）

（2）若a/c=b/c，则a=b.（√）

2.关于方程的基本概念

（1）一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．

（2）二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．

（3）二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．

（4）二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解．

在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.

例：

若（a-2）是关于x的一元一次方程，则a的值为0.

知识点二：

解一元一次方程和二元一次方程组

3.解一元一次方程的步骤

（1）去分母:

方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；

（2）去括号：

括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；

（3）移项：

移项要变号；

（4）合并同类项：

把方程化成ax=-b（a≠0）；

（5）系数化为1：

方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.

失分点警示：

方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.

4.二元一次方程组的解法

思路：

消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.

已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：

已知则x-y的值为x-y=4.

方法：

（1）代入消元法:

从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；

（2）加减消元法：

把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.

知识点三：

一次方程（组）的实际应用

5.列方程（组）

解应用题的一般步骤

（1）审题：

审清题意，分清题中的已知量、未知量；

（2）设未知数；

（3）列方程（组）：

找出等量关系，列方程（组）；

（4）解方程（组）；

（5）检验：

检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；

（6）作答：

规范作答，注意单位名称．

（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.

（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.

6.常见题型及关系式

（1）利润问题：

售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.

（2）利息问题：

利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.

（3）工程问题：

工作量=工作效率×工作时间.

（4）行程问题：

路程=速度×时间.①相遇问题：

全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及问题：

a.同地不同时出发：

前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：

前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

【章节典例解析】

【例题1】（2017湖北荆州）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？

（　　）

A．140元B．150元C．160元D．200元

【考点】8A：

一元一次方程的应用．

【分析】此题的关键描述：

“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．

【解答】解：

设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，

则有：

20+0.8x=x﹣10

解得：

x=150

即：

小慧同学不凭卡购书的书价为150元．

故选：

B．

【例题2】（2017黑龙江佳木斯）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（　　）

A．4种B．5种C．6种D．7种

【考点】95：

二元一次方程的应用．

【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．

【解答】解：

设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，

依题意得：

80x+120y=1000，

整理，得

y=．

因为x是正整数，

所以当x=2时，y=7．

当x=5时，y=5．

当x=8时，y=3．

当x=11时，y=1．

即有4种购买方案．

故选：

A．

【例题3】（2017广西）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．

（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；

（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？

【考点】C9：

一元一次不等式的应用；8A：

一元一次方程的应用．

【分析】

（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；

（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．

【解答】解：

（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：

2x+10﹣x=18，

解得：

x=8，

则10﹣x=2，

答：

甲队胜了8场，则负了2场；

（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：

2a+（10﹣a）≥15，

解得：

a≥5，

答：

乙队在初赛阶段至少要胜5场．

【例题4】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．

（1）求这种笔和本子的单价；

（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

【考点】B7：

分式方程的应用；95：

二元一次方程的应用．

【分析】

（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：

30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．

【解答】解：

（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：

=，

解得：

x=10，

经检验：

x=10是原分式方程的解，

则x﹣4=6．

答：

这种笔单价为10元，则本子单价为6元；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，

由题意得：

10m+6n=100，

整理得：

m=10﹣n，

∵m、n都是正整数，

∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；

∴有三种方案：

①购买这种笔7支，购买本子5本；

②购买这种笔4支，购买本子10本；

③购买这种笔1支，购买本子15本．

【章节典例解析】

1.（2017乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是　100　元．

2.（2017•新疆）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是　1000　元．

3.（2017四川眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（　　）

A．﹣2B．2C．3D．﹣3

4.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．

（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？

5.（2017湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？

6.（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．

（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：

“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？

【章节典例解析】参考答案

1.（2017乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是　100　元．

【考点】8A：

一元一次方程的应用．

【分析】此题的等量关系：

实际售价=标价的六折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求解即可．

【解答】解：

设进价是x元，则（1+20%）x=200×0.6，

解得：

x=100．

则这件衬衣的进价是100元．

故答案为100．

2.（2017•新疆）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是　1000　元．

【考点】8A：

一元一次方程的应用．

【分析】可以设该商品的进价是x元，根据标价×6折﹣进价=进价×20%列出方程，求解即可．

【解答】解：

设该商品的进价为x元，根据题意得：

2000×0.6﹣x=x×20%，

解得：

x=1000．

故该商品的进价是1000元．

故答案为：

1000．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要明确6折及利润率的含义．

3.（2017四川眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（　　）

A．﹣2B．2C．3D．﹣3

【考点】97：

二元一次方程组的解．

【分析】把代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．

【解答】解：

把代入方程组得：

，

解得：

，

所以a﹣2b=﹣2×（﹣）=2，

故选B．

4.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．

（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过1