相似三角形中考题题型类.docx

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相似三角形中考题题型类

相似三角形

1•如图，已知

AB//CD//EF,那么下列结论正确的是

a.ADBC

B.

BC

CE

DF

AD

C.竺吏D.CD

EFBEEF

AD

AF

①BACD;②ADCACB;

③CCBC；④AC2ADgAB

A

其中单独能够判定

△ABCACD的个数为

A.1B.2C.3D.4

3.已知△ABCDEF，且AB:

DE=1:

2,则厶ABC的面积与厶DEF的面积之比为（）

A.1:

2B.1:

4C.2:

1D.4:

1

4•如图，已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1，

（2）^CDECAB，（3）^CDE的面积与厶CAB的面积之比为1:

4.

其中正确的有：

（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【参考答案】

1.A

2.C

3.B

4.D

♦考点聚焦

1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.

2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，？

并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.

4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，？

会根据坐标描岀点的位置或由点的位置写岀它

的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置.

♦备考兵法

1•证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A

型”“X型”“母子型”等.

2•用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作岀相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意.

3•用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练.

♦考点链接

一、相似三角形的定义

三边对应成，三个角对应的两个三角形叫做相似三角形.

二、相似三角形的判定方法

1.若DE//BC（A型和X型）则.

2.射影定理：

若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

贝URt△ABSRt△ACSRt△CBD且AC=，CD=，BC=_.

3.两个角对应相等的两个三角形.

4.两边对应成且夹角相等的两个三角形相似.

5.三边对应成比例的两个三角形.

三、相似三角形的性质

1.相似三角形的对应边，对应角.

2.相似三角形的对应边的比叫做，一般用k表示.

3.相似三角形的对应角平分线，对应边的线，对应边上的?

线的比等于比，周长之比也

等于比，面积比等于.

♦典例精析

例1（2009山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，

发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部•已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米.

甲小华乙

【答案】9.

155

——，解得X9，所以路灯甲的高为9米，故填9.

x30

例2（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4X4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个

顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A,B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是

【答案】Pi（1，4），P2（3，4）

点拨：

这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性.

拓展变式在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有条.

【答案】3

例3如图，已知平行四边形

ABCD中,E是AB边的中点，DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四

部分的面积分别为S1,S2,

S3,S4.下面结论：

①只有一对相似三角形；②EF:

ED-1:

2;③S1:

S:

S:

S-1:

2:

4:

5•其中正确的结论是（

）

A.①③B•③

C•①D•①②

【答案】B

【解析】TAB//DC,「.AAEFQACDF；?

但本题还有一对相似三角形是厶ABC?

^^CDA（全等是相似的特

例）.

•••①是错的.

AEEF1

T，•②EF:

ED=1:

2是错的.

CDDF2

•-SAEF：

&CDF=1:

4，&AEF：

ADF=1:

2.

•S:

S2：

S3：

S4=1:

2:

4:

5，③正确.

点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）

②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角

三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段

和平行线，注意从复杂的图形中分离岀基本的相似三角形.

CD相交于点G

拓展变式点E是YABCD的边BC延长线上的一点，AE与则图中相似三角形共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

【答案】C

♦迎考精练

、选择题

1.（2009年江苏省）如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②

中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）

A.

先向下平移

3格,

再向右平移

1格

B.

先向下平移

2格,

再向右平移

1格

C.

先向下平移

2格,

再向右平移

2格

D.

先向下平移

3格，

再向右平移

2格

2.

6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是

（2009年浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是

3和4及x,那么x的值（）

3.（2009年浙江宁波）如图，菱形

ABC［中，对角线ACBD相交于点O,MN分别是边ABAD的中点，连接OM

ONMN则下列叙述正确的是（）

A.AAOM^AAONB是等边三角形

B.四边形MBO和四边形MODI都是菱形

C.四边形AMOI与四边形ABCD是位似图形

D.四边形MBC（和四边形NDC（都是等腰梯形

4.（2009年浙江义乌）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

已知这本书的

长为20cm,则它的宽约为（）

5.（2009年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O准

星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A',若OA=0.2米,

OB=40米，AA=0.0015米，则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'为

（）

A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米

6.（2009年甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗

杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m与旗杆相距22m,则旗杆的高为（）

A.12mB.10mC.8mD.7m7.（2009年天津市）在△ABC和厶DEF中，AB2DE,AC2DF,AD，如果△ABC的周长

是16,面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）

A.8,3

B.8,6C.4,3D.4,6

、填空题

1.（2009年山东滨州）在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2,3），若以原点O为位似中心，画厶ABC

1

的位似图形△ABC，使△ABC与厶ABC的相似比等于一，则点A的坐标为

2

2.（2009年黑龙江牡丹江）如图，Rt△ABC中，ACB90°直线EF//BD,交AB于点E,交AC于点G,交

3s四边形EBCG，则AD

3.

AD于点F，若Saaeg

（2009年湖北孝感）如图，点抽是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三

角形△?

、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49•则△ABC的面积是.

4.（2009年山东日照）将三角形纸片（△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕

5.

三、解答题

为EF.已知AB=AC=3,BC=4，若以点B',F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是

DB=8,DE=3,

1.（2009年湖南郴州）如图，在DABC中，已知DE//BCAD=4,

ad

（1）求的值，

（2）求BC的长

AB

2.（2009年湖南常德）如图，△ABC内接于O0,AD>^ABC勺边BC上的高，是OO的直径，连接BE,AABE

与厶AD（相似吗？

请证明你的结论.

3.（2009年湖北武汉）如图1在Rt△ABC中，BAC90°,AD丄BC于点D，点O是AC边上一点,

连接BO交AD于F,OE丄OB交BC边于点

4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,/DM匡/A=ZB=a，且DM交AC于F,ME

交BC于G

（1）写岀图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG如果a=45°,AB=4近,AF=3，求FG的长.

6.（2009年吉林省）如图3,OO中，弦AB、CD相交于AB的中点E,连接AD并延长至点F，使DFAD,

D

E

E

F

C

B

第5题图

（1）求证：

ACBEAFB；

BE5CB站/士

（2）当时，求的值

FB8AD

6.（2009年广东梅州）如图，梯形ABCD中,AB//CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.

（1）求证：

ACDFBGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF//CD交AD于点E,若AB6cm,EF4cm，求CD的长.

【参考答案】

选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.A

填空题

1.（4,6）2.

3.144

4.或2;

7

5.40

解答题

1.解：

（1）丁AD=4,DB=8

•:

AB=AD+DB=4+8=12

AD41

——

■■

AB123

（2）vDE//BC,所以△ADEABC

:

DE_AD

BC=AB

•/DE=3

:

3=1

BC=3

•:

BC=9

2.△ABE-与^ADC目似•理由如下:

在厶ABE^AAD（中

:

丄ABE=90°,

•••AE是O0的直径,

•••人。

是厶ABC勺边BC上的高，

：

•/ADC90：

：

•/ABE：

/ADC

又•••同弧所对的圆周角相等，

：

•/BEA/DCA

：

•△ABE~AADC

QBAC90°BAFC.

QOE丄OB,BOACOE90°,

QBOAABF90°,ABFCOE.

△ABFCOE；

G

（2）解法一：

作OG丄AC，交AD的延长线于G.

QAC2AB,O是AC边的中点，ABOCOA.

由

（1）有△ABFCOE,△ABF◎△COE,

BFOE.

ABD,

QBADDAC90°,DABABD90°DAC

又BACAOG90°,ABOA.

△ABCOAG,OGAC2AB.

AB//OG,△ABFGOF,

解法二：

QBAC90°°AC2AB,AD丄BC于D,ADAC

RtABADsRtABCA.2.

BDAB

设AB1,则AC2,BC5,BO.2,

AD2BD丄AD1.

525

QBDFBOE90°°△BDFBOE,

BDBO

DFOE

3）OEn.

4.

AMiBGM

（1）证：

△AMF^ABGM^DM3ADBM△EMDAEAM（写岀两对即可）以下证明厶

•••/AFM=/DME-ZE=ZA+/E=ZBMOZA=ZB

二△AM"BGM

（2）解：

当

a=45°时，可得

AC^BCMAC=BC

•••M为AB的中点，•••

又•••AMF^ABGM•

...BGAM£BM

AF

又ACBC4.2cos45°4,•

•FG,CF厂CG2,12（；）2

5.

（1）证明：

QAEEB,AD

AM=BM=2「2

AFBM

AMBG

2、2228

33

84

CG4,CF431

33

5

3

DF,

ED是厶ABF的中位线,

又CA,

（2）解：

由

（1）知，

又AF2AD,

CB5

AD4•

6.

（1）证明：

•••梯形ABCD,AB//CD,

•CDFFGB,DCFGBF,

•ACDFBGF.

（2）由

（1）△CDFs\bgf,

又F是BC的中点，BFFC

•-△CDF◎△BGF,

•-DFFG,CDBG,

又•••EF//CD,AB//CD

•-EF//AG，得2EFBGABBG•

•-BG2EFAB2462,

6题图

二CDBG2cm•