数的整除性问题.docx
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数的整除性问题
数的整除性问题，内容丰富，应用广泛，它既是小学数学的重要学习内容，又因思维技巧性强而在数学竞赛中频频出现。
在这一讲里，我们主要介绍整除的基本概念和性质，为后面的学习做好准备。
1．整除的概念
在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数（或者说余数为零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15；也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：
（1）被除数是整数，除数是自然数；
（2）商是整数；（3）没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2．整除的性质
（1）如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差（大减小）也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差（大减小）仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除；即从6│18及6│42可知6│（18+42）、6│（42－18）。
（2）如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
（3）如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
（4）如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差（大减小）都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83（48+35=83），也不整除13（48－35=13）。
3．数的整除特征
（1）个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。
（2）个位数字是0或5的数都能被5整除；反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除；反过，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。
（3）末两位数能被49或25）整除的数，必能被4（或25）整除；反过来，末两位数不能被4（或25）整除的数，必不能被4（或25）整除。
（4）末三位数能被8（或125）整除的数，必须被8（或125）整除；反过来，末三位数不能被8（或125）整除的数，必不能被8（或125）整除。
上述各条可以综合推广成一条：
末n位数能被2（或5）整除的数，本身必能被2（或5）整除；反过来，末n位数不能被2（或5）整除的数，本身必不能被2（或5）整除。
例如，364789056能不能被16整除？
因为16=2，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。
从16整除9056就可知16整除364789056。
（5）各位数字之和能被3（或9）整除的数，本身也能被3（或9）整除；反过来，各位数字之和不能被3（或9）整除的数，本身也不能被3（或9）整除。
我们通过具体例子来说明其中的道理：
83256
=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6
=8×（9999+1）+3×（999+1）+2×（99+1）+5×（9+1）+6
=（8×9999+3×999+2×99+5×9）+（8+3+2+5+6），
因为第一个括号内的结果是3的倍数，所以如果第二个括号内的结果是3的倍数，那么根据整除的性质
（1），原数就是3的倍数；如果第二个括号内的结果不是3的倍数，那么根据整除的性质（4），原数就不是3的倍数。
现在第二个括号内的结果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍数，所以原数是3的倍数。
完全类似，因为第一个括号内的结果是9的倍数，第二个括号内的结果不是9的倍数。
所以根据整除的性质（4），原数不是9的倍数。
（6）能被（7（11或13）整除的数的特征：
这个数的末三位数字所表示数与末三位以前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。
例如判断1265817能否分别被7、11、13整除？
把1265817分成两段：
1265与817，因为1265－817=448，而7整除448，所以7整除1265817；11不整除448，所以11不整除1265817；同样，13不整除448，所以13不整除1265817。
这是什么道理呢？
因为7×11×13=1001，所以凡是001的倍数都能被7、11、13整除。
1265817=1265×1000+817
=1265×1001－1265＋817
=1265×1001－（1265－817），
因为1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。
如果（1265－817）能被7整除，那么1265817也能被7整除；反过来，如果1265817能被7整除，那么（1265－817）也能被7整除。
这就说明，1265817能否被7整除，完全取决于（1265－817）能否被7整除。
而817与1265正是1265817的末三位数字与末三位以前的数字所表示的数。
对于11和13来说，情形完全一样。
如果把1265817换成其它数，上述推导过程可以照样进行，所以我们能用上述方法来判断一个数能否被7（11或13）整除。
由此整除特征可以看到，把一个三位数连写两遍所得的六位数必能同时被7、11、13整除。
例如382382就能同时被7、11、13整除。
实际上，这样的数是1001的倍数，而1001=7×11×13。
（7）能被11整除的数的特征二：
这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
我们利用92587来说明其中的道理。
92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7
=9×（909×11+1）+2×（91×11－1）+5×（9×11+1）+8×（11－1）+7
=（9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11）+（9－2+5－8+7）
因为第一括号内的结果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取决于第二个括号内的结果能否被11整除。
第二个括号内恰好就是奇位数字之和与偶位数字之和的差。
现在9－2+5－8+7=11，所以原数92587能被11整除。
（8）能被11整除的数的特征三（割尾减尾法）：
这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差被11整除。
例如：
7249=724×10+9=724×11－724+9=724×11－（724－9）。
因为724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取决于（724－9）能否被11整除，而（724－9）正是这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差。
从此例就可看出这种方法为什么是正确的。
（9）如果一个数能被互质的两个自然数整除，那么它一定能被这两个互质数的积整除。
把这一性质与前边所学数的整除特征相联系，我们就可以得到一大批数的整除特征。
例如，因为2和3互质，并且2×3=6，所以一个数能被6整除的特征是这个数既能被2整除又能被3整除。
又如，因为3和5互质，并且3×5=15，所以一个数能被15整除的特征是这个数既能被3整除又能被5整除。
〖请你读一读〗
例1.在□处填入适当的数字，使四位数23□□能被3整除。
问□□处可有多少种不同的填法？
【分析与解答】根据23□□能被3整除的条件知：
2+3+a+b=5+a+b能被3整除，则a+b=3n+1，又每个□中数字a，b最大只能填9，所以3n+1<18。
0，1
当n=0时，3n+1=1 即有2种填法。
1，0
0，1，2，3，4
当n=1时，3n+1=4 即有5种填法。
4，3，2，1，0
当n=2时，3n+1=7，有8种填法。
当n=3时，3n+1=10，有9种填法。
当n=4时，3n+1=13，有6种填法。
当n=5时，3n+1=16，有3种填法。
当n=6时，3n+1=19>18，不合题意。
2+5+8+9+6+3=33（种）
因此□□中有33种不同的填法。
答：
共有33种不同的填法。
试一试：
有一个四位数3aa1，它能被9整除，则a代表多少。
例2.从数字1、2、3、4、5中任意挑选四个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的四位数，共有多少个？
【分析与解答】因为组成的数能被5整除，所以挑选时5必须包括在内，其他四个数中任取三个，这样共有四种不同的挑选方法：
1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4、和5。
每种挑选方法5肯定在个位上，其余3个数子位置可以交换，能组成六个能被5整除的四位数，例如：
1、2、3、5四个数字可组成1235、1325、2135、2315、3125和3215。
因此四种选法一共可组成6×4=24个能被5整除的四位数。
答：
共有24个。
试一试：
从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的五位数，共有多少个？
（提示：
本题解题思路与例3相似，但注意数字0不能摆在自然数的最高位上。
）
例3.173□是个四位数字。
数学老师说：
“我在这个□中先后填入3个四位数，依次可被9、11、6整除”。
问：
数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【分析与解答】解这道题的关键是：
怎样的自然数，才能被9整除？
被11整除？
被6整除？
这里，要注意：
被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。
因为能被9整除的数的各位数字之和是9的倍数，并且四位数173□的数字和是1+7+3+□=11+□而□内的数字最大不超过9。
所以□内只能填7。
因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数，即
（7+□）－（1+3）=3+□应是11的倍数。
所以□内只能填8。
因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而1+7+3+□=11+□，所以□内只能填4。
故数学老师先后填入的3个数字的和是7+8+4=19。
答：
数学老师先后填入的3个数字的和是19。
例4.用0~9这十个数字组成能被11整除的最大十位数是多少，最小十位数是多少？
【分析与解答】因为0~9这十个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，这个十位数的奇数位数字和与偶数位数字和之差是11的倍数，所以这个差只能是0、11、22、33和44五种情况。
由于各位数字之和是45，根据数的奇偶性可知，十位数的奇数位数字之和与偶数位数字之只能是一奇一偶。
所以他们的差为奇数，不可能是0、22和44。
若差是33，而和是45，根据和差问题数量关系可知奇数位数字之和与偶数位数字之和只能分别为39和6，则于所给十个数字中最小五个数字和都超过6，所以差不可能是33。
这样差必定是11。
根据差为11，和为45，可得奇数位数字之和与偶数位数字之和分别是（45+11）÷2=28和（45－11）÷2=17。
而若十位数且最大，则其高位数字应尽可能大，经凑数后者，最大十位数是9876524130。
想一想：
最小十位数是多少？
试一试：
用1、2、3、4四个数字，组成能被11整除的四位数共有多少个？
例5.将1、2、3、……30从左往右依次排成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？
【分析与解答】此题是求这个51位数被11除的余数是几，显然不可用这个数去除以11找它的余数的方法。
同样可根据“一个数被11除的余数与这个数其奇数位数字和减去偶数位数字和的差被11除的余数是相等的”这一性质解答。
依题意排成的51位数的奇数位上的数字依次是1、3、5、7、9、0、1、2、3……8、9、0、1、2、3、……8、9、0。
奇数位数字和是：
1+3+5+7+9+2×（1+2+3+……+8+9）=115
这个数的偶数位上的数字和是：
2+4+6+8+1×10+2×10+3=53
而115－53=62，62÷11=5……7
所以这个数被11除的余数是7。
答：
这个数被11除的余数是7。
注意：
运用这一性质时，必须是奇数位数字和减去偶数位数字和，不可反之。
由于这个题目恰巧是奇数位上的数字和大，偶数位上的数字和小，所以计算起来比较方便。
如果有一个这样的题，奇数位上的数字和小，偶数位上的数字和大，即不够减时，又应该怎样计算呢？
如：
919293949596979899这个18位数被11除，问余数是多少？
此题奇位上的和是45，偶位上的和是81，即45减81则不够减，那么应该怎样计算呢？
可先将奇数位数字和加上11的倍数，再减去偶数位数字和。
或者先将偶数位数字和减去11的倍数，然后再用奇数位数字和来减。
所得到的差被11除的余数就是原数被11除的余数。
试一试：
求出上面18位数被11除的余数是多少？
例6.把整除由1开始按顺序写下去，一直写到第87位为止，即。
那么这个数用9除的余数是多少？
写出你的想法。
【分析与解答】一个整数被9除的余数与这个数各位数字和被9除的余数相同。
根据这一性质，将该数各位数字之和被9除，其余数即为所求。
解一：
因为（87－9）÷2=39。
则87位数里所写的两位数有39个，即从10－48。
所以这个87位数是12345……4748。
该数的前9位数的数字之和是1+2+3+4+5……+9=45
第10~29位数各数字之和是
10+11+12+……+19=1×10+45=55
第30~49位数各数字之和是
20+21+22+……+29=2×10+45=65
第50~69位数各数字之和是
30+31+32+……+39=3×10+45=75
第70~87位数各数字之和是
40+41=42+……+48=4×9+36=72
这个数的各位数字之和是45+55+65+75+72=312
312÷9=34……6
因此这个数用9除的余数是6。
结论：
一个整数被9除的余数，只需将这个数的各位数字之和求出，若和大于9则再次求各位数字之和，直到和不大于9为止，而最后的和数即为被9除的余数。
解二：
因为1+2+3+……+8=36，1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，则这个数的前8位和前9位数都能被9整除。
又因为1011121314151617的各位数字和是1+2+3+……+8=36，能被9整除：
101112131415161718的各位数字和是1+2+3+……+9=45，能被9整除。
由此不难发现，从1开始按顺序写数，当写到的自然数其数字和为8或9时，所组成的数能被9整除，即写到的自然数为8、9、17、18、26、27、35、36、44、45、53……。
根据题意1234……这个87位数是1234……4748，当写到45时所组成的81位数能被9整除，所以我们只需考虑464748这个六位数被9除的余数。
4×3+7×3=33，3+3=6
因此，这个数被9除的余数是6。
答：
这个数被9除的余数是6。
例7．一个六位数是23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商得多少？
【分析与解答】设六位数为，因为六位数是88的倍数，88=8×11，且8与11互质，所以六位数既是8的倍数又是11的倍数。
由是8的倍数的条件，可知能被8整除，则B是0或是8两种可能。
由是11的倍数的条件，可知奇位数字之和与偶位数字之和的差（B+5+3）－（6+A+2）=（B－A）能被11整除，而且只有B－A=0（11、22、……不可能）一种可能。
由于B是0或是8，那么A也是0或是8。
根据上述，这个六位数就是230560或是238568，它们除以88的商是2620或是2711。
答：
这个数除以88的商是2620或是2711。
试一试：
42□28□是99的倍数，这个数除以99的商是多少？
例8．将自然数1、2、3、4、5……依次写下去组成一个数：
12345678910111213……。
如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？
【分析与解答】因为72=8×9，8与9互质，所以能被72整除的数一定能被8和9整除。
若是被9整除，则各位数字之和能被9整除，而1+2+3+……+8=36，1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，所以从自然数1依次写到8或9所组成的八位数或九位数都能被9整除。
又1011121314151617的各位数字和也是1+2+3……+8=36，能被9整除；101112131415161718的各位数字和也是1+2+3+……+9=45，能被9整除。
由此不难发现，依题意写到的自然数其数字之和是8或9的时，所组成的数能被9整除，即写到的自然数为：
8、9、17、18、26、27、35、36、44、45……。
若要被8整除，则末三位数必须能被8整除，而被8整除的数一定能被2整除，即末位数必为偶数。
因此写到的自然数只能是8、18、26、36、44、54……。
经过试算，写到这些自然数时所组成的数的末三位678、718、526、536、344、……，得到第一次能被8整除的末三位数是536，即写到的自然数是36。
所以，写到36时所组成的数恰好第一次能被72整除。
答：
这个自然数是36。
例9．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3……13。
如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？
【分析与解答】设两个口袋分别为a和b，则a=1,2,3,……13；b=1,2,3……13。
因为6=2×3，所以，能被6整除的乘积的因数中至少含有2和3。
当a=6时，b=1，2，3……13时均成立，有13个。
当a=7，8，9，10，11，12，13时b=12时成立，有7个。
当a=10，b=9时成立，有1个。
所以，不相等的乘积中能被6整除的共有13+7+1=21（个）
答：
能被6整除的乘积共有21个。
试一试：
用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数，要求前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，前六位数是6的倍数，满足条件的六位数是多少？
例10．七位数175□62□的末位数字是多少的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
【分析与解答】设这个七位数是。
由能被11整除的数的特征可知12+B与9+A的差是0或11两种可能。
12+B之和有12，13，14，15，16，17，18，19，20，21十种可能，9+A之和有9，10，11，12，13，14，15，16，17，18十种可能。
根据上述，将12+B与9+A配对如下表：
12+B
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
9+A
12
13
14
15
16
17
18
9
10
之差
0
0
0
0
0
0
0
11
11
由此可知，19与9+A的十种可能的差不是11的倍数。
又因为19=12+7，所以这个七位数的末位数字是7时，不管千位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
答：
这个七位数的末位数字是7时，不管千位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
试一试：
七位数的千位数字是多少的时候，不管个位上填任何数字，这个七位数都不是11的倍数。
〖请你试一试〗
1.有0,1,4,7,9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中的能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是多少?
2.任取一个四位数乘6543，用A表示其积的位数有两种可能，即七位数或八位数。
3.用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
4.123456789□□，这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数最小是多少？
5.如果六位数1992□□能被105整除，那么它最后两位数是多少？
6.下面这个四十一位数
55……5□99……9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
7.某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？
8.如果将数字0，1，2，3，……9以任意的次序填入下列一排数字中的空位上。
8（ ）396（ ）9（ ）（ ）5（ ）383（ ）23（ ）5（ ）28（ ）0（ ）7（ ）36构成一个28位数，请你写出3个可整除这个28位数的两位数。
（ ）、（ ）、（ ）。
9.四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？
10.首位数字是9，各位上的数字互不相同，并且能同时被2、3整除的七位数中，最小的是几？
11.一个四位数，减去它各位数字之和，其差还是一个四位数，试求出A。
12．用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。
这个六位数是多少？
13.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中的1的个数最少有多少？
〖参考答案〗
1.解：
因为组成的数能被3整除,所以选出的四位数字之和必是3的倍数,这样共有二种不同选法:
0、1、4、7和1、4、7、9。
第一种选法组成的四位数从小到大排列为：
1047、1074、1407、1470、1704……。
综上所述，不难得出，满足条件的第五个数是1479。
所以这样的第五个数的末位数字是9。
2.解：
因为6543+727×9的被数，所以任何一个四位数乘6543的积一定能被9整除。
根据能被9整除的数的特征可知，其积的各各位数字之和A也能被9整除。
由于积是一个七位数或八位数，因此A之值为9、18、27、36、45、54、63、72这八种可能。
由此可知、A之值的各位数字之和B的值总是9，B之值的各位数字之和C的值也一定是9，所以C是9。
3.解：
用1、9、8、8四个数组成的四位数排列如下：
1988，1898，1889；
9188，9818，9881；
8918，8981，8891，8819，8198，8189。
而除以11余8的四位数，其个位上数字与百位上数字的和减去十位上数字与千位上数字的和，所得的差必须等于8。
通过试算，不难得出满足此条件的四位数有1988，1889，8918和8819。
因此，用1、9、8、8四个数字排成除以11余8的四位数共有四个。
4.解：
因为36=4×9，且4与9互质，由数的整除性可知这个十一位数既能被4整除又能被9整除。
又因为1+2+3+……+8+9=45，由能被9整除的数的特征可知□+□之和是0（0+0），9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）。
再由能被4整除的数的特征可知□□是00，04，08，12，……36，……，72，……96。
这样，□□应有00，36，72三种可能情况，则这十一位数是12345678900，12345678936，12345678972三种情况。
因此，能被36整除的十一位数的个位数最小值是0。
5.解：
因为105=3×5×7，且3、5和7两两互质
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