7车辆随机振动基础.docx
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7车辆随机振动基础
§9车辆随机振动
车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是
由于轨道不平顺的随机激励而引起的。
本章主要介绍随机振动以及相关的概念，以及单轴车模型在随机激励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善车辆运行平稳性的途径。
所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。
对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的
构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用
（对柴油机）；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。
对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映这些作用。
第一节随机过程的统计特性
一、随机过程的统计特性
1.随机过程的基本概念
一切物理现象可分为两类：
在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象；
如在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的振动，激励力是已知的简谐力F=Fosi，车体受激励而产生的振动
规律由x（t）-/sin（7「）来描述。
车体在任意时间t的振幅和加速度都可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引
起。
反之在给定时间t物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。
如在任意时间t的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方
法对其进行整体描述，这种振动称为随机振动。
在随机振动中的一些量如振幅和加速度称为随机变量。
随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。
随机过程：
不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称为随机过程。
随机过程是一簇n个随机变量的总集合。
其中任一个元素称为随机过程的样本。
振动的时间历程：
以时间t横坐标，以振动量（位移、速度和加速
X
1（t）
t
x
2（t）
x
n（t）
「t
1t1+1
t2tm
度）为纵坐标的线图，常称为振动波形图
n
在研究许多随机过程时通常作如下徦设:
1）平稳性假设
若一随机过程x（t）在任何时间11时的概念统计规律与ti+i时的一样，即过程的概率统计规律不因时间的推移而改变，则称x（t）为平稳随机过程；
2）各态历经性徦设
随机振动的统计特性是考虑全部子样而得到的。
如果在任一
时间ti跨越总集合的统计特性与单个子样Xi（t）的统计特性相等，则称这个随机过程为各态历经的。
3）随机振动过程的概率分布符合正态（高斯）分布规律。
二、随机变量的概率密度和均值
为了描述随机过程的特性，采用时域上的各种参数和频域上的参数来进行。
先了解如下概念。
1.幅值概率密度
（概率的定义：
E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一实数，记为P（A）,称为事件A的概率，如果它满足下列条件：
1。
对于每一事件A有OWP（A）<1,
2。
P（S）=1
3。
对于两两互不相容的事件Ak（k=1,2-）有
P（aA2An■■-）=P（A）+P（A）+P（An））
幅值概率密度用p（x）表示.
幅值概率密度p（x）是随机变量瞬时值出现于某一单位幅值区间内的
概率。
随机振动幅值处于x到X+Ax之间的概率是p（x）…x
在振动时间历程上
0幅值Tit2t3t
x+厶x
p（x）
:
1（t1t2
tn）
p（x）
1
Tx
X
•
t
V►
概率密度曲线p（x）
xi与X2对应的面积就是之间的幅值出现的概率
p（x）愈精确
xi与X2
其值为P（x）=°p（x）dx
2.统计平均值与概率分布
随机振动的幅值特性由时间域内的下列均值来描述:
1）平均值
Ex】=xp（x）dx或Ex1=x（t）dt
2）平均绝对值
E〔x】=Jxp（x）dx或E〔x|】=1Jx（t）dt
o
3）均方值
EI2】=f^x2p（x）dx或Ex^=丄［x2（t）dt
4）均方根值
Xrms=｛【I2p（x）dx或X^s=0X.t）dt
平均值EX为T时间内x（t）的算术平均值，代表了随机变量的稳态量当平均值EX1=0时，EX2和Xrms就分别等于统计学中的方差、二2和标
准离差匚。
方差的定义为二2=-（X—Ex）2p（x）dx
匚2表示随机变量在其平均值两边的分布特性。
均方值和均方根值能表征随机振动所含的能量，是个重要的描述量。
对于振幅为X0的正弦波，平均值EX1=0
_2
均方值EX2x2p（x）dx=（x-EX）2p（x）dx=c2=卫
2
随机振动的概率分布通常服从正态分规律，若振动瞬时值为x，幅值
的平均值E'x=m
其幅值概率密度p（x）=1e-^^mL
2二2二
m值的改变将使p（x）曲线沿x轴平移而不改变其形状
、二改变时将使p（x）曲线形状改变，但曲线和x轴之间所围的面积
仍然不变而等于1。
-愈小，则该面积愈集中于平均值m的附近。
随机振动幅值的概率主要分布在士3二之间。
占到99.7%
+x
因此常把m+3作为随机振动的最大幅值正态分布的均方值可由这两式求得，
2乂2
E（x）=.二xp（x）dx,
ex2]=m+-三、随机过程的相关函数与功率谱密度函数
（一）相关函数
1.自相关函数
随机过程的自相关函数定义为x（t）x（t••）的平均值
即RxC）=EX（t）x（t.）1
对于各态历经随机过程，每个样本函数的自相关函数定义为
幅值的关联程度。
T小，X（t+T）与X（t）关系密切；
T大，X（t+T）与X（t）关系不密切。
X（t）所决定
的成分减少。
Rx（）也就小。
当T>：
：
X（t+T）与X（t）无关，此时,
Rx（）就衰减到随机变量平均值的平方，或衰减到零。
当二=0时，自相关函数为
上式表明，自相关函数的最大值即等于该随机变量的均方值。
如果X（t）是周期性函数，则其自相关函数也是周期性的。
2.互相关函数
两个不同的平稳随机函数X（t）与y（t）之间的互相关函数定义为：
和RyX（）二E〔y（t）x（t）1
对各态历经过程，可以用样本函数的互相关函数来表示，即对于大多数随机过程，时差T越大则相关性越弱，当T很大时，可以认为X与y互不相关，此时有
互相关函数的图线形状和自相关函数相类似，但其左右的对称轴不象
后者是在T=0时，而是在某一一To时互相关函数达到最大值。
（二）、功率谱密度函数
1.功率谱密度函数
1）从频域上，用功率谱密度函数来描述。
功率谱密度函数用Wx（f）表示。
用谱密度的均方值对随机变量的频率结构进行描述。
对随机振动而言，表示振动能量在频率域上的分布。
其定义为随机变量x（t）在微小频带宽度：
f内的均方值除以带宽
Wx（f）
f:
某一窄频的带宽;
xf（t）:
在甘范围内的变量，即经过带宽为f的窄带滤波器后的变
量，如振动量。
（位移、加速度、速度等）
Wx（f）中含有x2（t）项，表示了系统的能量如振动系统的位能。
（动能，
粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。
故Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”来命名，
实际上Wx（f）本身并不包含功率的意思，故称其为均方谱密度函数更确切。
还被称为：
功率谱（powerspectraldensityPSD
自功率谱
谱密度
宽频带的随机功率谱图
频谱图可通过将实测的随机振动的时间历程记录经频谱分析仪得到。
功率谱密度函数的单位：
（随机变量单位）2/单位频率。
如当x（t）是振动位移的时间历程时，其谱密度单位为（位移）2/Hz。
当x（t）是振动加速度的时间历程时，其谱密度单位为（g）2/Hz。
当x（t）是轨道不平顺波形时，其谱密度单位为（mm）2•m倜。
功率谱图形的意义：
上式左边为上图中以阴影表示的微面积；
右边为微小宽带f内的均方值。
于是在整个频带范围内由Wx（f）和横坐标所围的面积就等于全
部宽带内的相应的均方值之和。
即等于x（t）的总的均方值E〔xT
功率谱的作用：
通过对它的分析，有助于了解随机振动的机理，有助于进行振动模拟。
如已测得轨道不平顺的功率谱，就可对其进行谱型模拟，用它作激励函数在室内对车辆进行振动模拟试验，由此而得到试
验结果和车辆在实际线路上运行的结果具有相同的特性。
在随机过程理论的推理中，常用傅里叶变换来表明自相关函数和功率谱密度函数间的关系：
s（）Rx（）e“d.
（1）
Rx（）="SxC）ej
（2）
SxC）称为自相关函数Rx（）的傅里叶变换，而RxC）则称为Sx（）的傅里叶逆变换。
在
（2）式中令t=0则得Rx（0）=：
Sx（）d■
因Rx（0）=EX2，故EX2」"Sx（）d■
-=0
这样，又得到了均方值EX21等于SxC）曲线与横坐标3轴之间面积的关系式。
上式中的Sx（）称为双边功率谱
Sx（）
-（，dJ33（，d「）
两种功率谱的关系式为
2Sx（）d®=Wx（f）df
而f=3/2ndf=d3/2n
所以，有Wx（f）=4nSxC）
2.互功率谱密度函数
两个随机过程的互谱密度函数定义为这两个过程的互相关函数的
傅里叶变换。
即
互谱密度的一个重要性质是两者为共轭复数，即
Sxy（）=Syx（•）
Syx（J=Sxy（■）
第二节线性系统随机响应的基本特性
当系统的激励与响应可以用线性微分方程描述时，成为线性系统。
若系统方程中的系数不随时间而变，则称为常系数线性系统。
一、线性系统的基本特性
常系数线性系统具有如下特性：
1）叠加性：
若系统的激励函数Xi（t）单独作用下，对应于某一响应为yi（t）,在Xn（t）作用下的响应为yn（t）,则在xi（t）X2（t）、。
。
。
Xn（t）的同时作用下总的响应y（t）为yi（t）、y2（t）。
。
。
yn（t）之和；
2）齐次性当激励的输入项按某一倍数变化时，输出量也按同一
倍数变化；
3）频率保存性系统在频率为3的谐和函数激励下，其响应也具
有相同的频率3,不会引起频率的转换，而只能改变相位和振幅。
线性系统适用于叠加原理，可使问题简化。
这样可将系统分解为一个输出对应于一个输入来研究，然后将响应进行叠加即得系统总的响应。
二、频率响应函数
线性振动系统受到谐和函数x（t）=x°sin3t激励时，其响应也具有同频率的简谐波，但存在相位差©，即y（t）=yosin（31+©）.因此，用振幅比y。
/X。
和相角©就可确定系统的传递特性。
频率响应函数或传递函数用H（3）表示
H（3）的定义：
该函数的模等于输出与输入的振幅比，虚部与实部之比等于相角的正切。
即
H（3）=A（3）—jB（3）注意：
输出量并不一定就是振幅，是广义的幅值。
yo具有不同的意义时，H（3）值也不同。
应用复数表示法中的ej^=cose>t+jsincot的关系，可将上面输入和输出写为
y（t）=H（）x（t）=H（）x0ejt
随然是系统对谐和输入的频第响应函数，但在随机输入所引起的随机振动响应中有十分重要的应用，它决定了系统的响应特性。
（一）单自由度系统受单一激励时的频率响应函数
求HC）的方法M
系统受到轨道不平顺Zv（t）的激励其动动方程为
取Zv（t）为单位振幅的谐和函数
ejt
F（t）
则响应z（t）=H0）ej1
Hi（■）=
K+jCo
K-M2jC■
为求出H（•‘）的模令E=K,F=Cw,G=K—m3,H=Cw
则HQ）=
EjF
GjH
（EjF）（G-jH）_（EGFH）j（FG-EH）
（GjH）（G-jH）G2H2
H1C）的模为:
『EG+FH卡
Lg2+h2丿
‘FG-EH
lG2+H2
e2+f2
.G2H2
22
K+（g）
222
（K-M■）（C）
将z（t）代入上面方程|Zv（t）
再进行下面代换：
令系统的自振频率为P,减振因素为D，频率比为r,则有
DJKDC⑷
P=——D=r=—
\M2MPP
将上式分子分母各除以K，经演算后得
上式为车体振幅与线路波形振幅之比的扩大倍率。
（二）、单自由系统受多个激励时的频率响应函数
仍以上图为例，除有轨不平顺产生的激励外，簧上部分还作用有垂向激振力F（t）
系统的方程为MZCZKZ=CZv-KZV-F（t）
该系统的Hi（‘）已求得，以下求F（t）作用的频率响应函数H2（T
现令乙（t）=0,F（t）=ejt5代入上式得
1
H2（）=K-M.2jC.
2
为求其模'将上式写成H2（J=（KKMM2）2「j（；）2=A（'）-jB（）
于量有
H2@）|YA2@）+B2®（Krug）：
Y【（K-MB2）2+（8）2]2
当系统受到多个激励时，便会有多个频率响应函数，其中每一个都可按求H2（「）的方法单独求出。
以上讨论的是系统输出位移的频率响应函数，对于输出的是振动速度和加速度时可如下处理；
若系统输出的是y（t）=yosin（31+©），输入的是x（t）=xgsin®t，贝S
有y（t）=y0®cos（3t+©）y（t）=—yo®2sin（®t+©）
于是，振动速度和加速度的频率响应函数分别为
三、系统响应的谱密度
随机过程理论表明：
对于线性系统，如果输入的函数是平稳随机过程而且是各态历经的和呈正态分布的，则输出的振动响应也是平稳的、各态历经的和呈正态分布的。
如单个输入函数x（t）的谱密度为Sx（3）,输出函数y（t）的相应谱密度为Sy（3），则有下列重要关系存在：
2
Sy（⑷）=|HSx（eo）
（1）
当有两个输入函数时有：
Sy（3）=
HiC）Hi（.）SxiHiC）H2C）Sx1x2C）H2C）Hi（.）SX2xie.）H2C■）H2（■）Sx2（■）
（2）
式中Hi（'）,H2（J分别为Hi（‘）,H2「）的复数共轭；
SxiC）,Sx2C）分别为Xi（t）,X2（t）输入的谱密度；
Sx1x2（）,Sx2x（）分别为xi（t）,X2（t）输入的互谱密度。
当有n个输入函数时，则相应的式子为：
nn
Sy（JHrC'）HSC'）SxrxsC'）（3）
r=1sz!
对于单个输入的情况
有Sy（■）=H；（）Hi（）Sx（）
因复数和它的复共轭的乘积等于该复数模的平方，故有
（1）式对于互不相关的各个输入，其互谱密度均为零，由式（3）可得
n
Sy（豹）=区Hr®）|Sxr®）（4）
r=1
由3式与4式比较，互谱密度为零时，计算响应的谱密度要简单得多。
因此，只要互谱密度很小，在工程计算中往往略运河不计。
四、系统响应的均方值
若已知系统的响应谱密度Sy（），则其均方值可按下式求得:
（5）
EfL..SyfOd■
对于单个输入，有
对于多个互不相关的输入，有
即此时系统总的均方响应值为各个输入产生的响应均方值之总和。
如多个输入之间存在着相关关系时，就需用（3）式求出相应的谱密度SyC），然后再用式（5）求出响应的均方值。
（6）
对于单个输入的响应加速度均方值有:
=Sy（）d■
式中的Sy”=•S（）
即导出得到，过程加速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍
同样有振动速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍。
有此重要关系，就可从已知的输入谱密度Sx（）通过以上关系式
计算出响应速度和加速度的均方值。
而后者正是计算车辆响应和评定平稳性所必须的。
例由上图系统为例计算其响应的均方值。
Sf（■）
这里仅考虑由F（t）的激励引起的响应。
设F（t）的谱密度为常数，即Sf（）=So。
输入谱密度
利用H2C）=
1
K-M2jC■
—3n0+3n3
频响函数
可得出输出的谱密度为：
见图_J
—3n0+3n
输出谱密度
输出的均方值为：
这种形式的定积分可由查表得到，结果得：
由于谱密度曲线下面的面积等于响应的均方值，由图可见，系统
的振动能量集中在共振峰值附近。
这表明在宽带的输入作用下其输出是一个窄带过程。
第三节车辆简化模型的垂向随机振动一、具有一个自由度模型的响应减小振动响应的途径：
以简化模型为对象时车辆随机振动响应的一些重要特征：
1、车体的均方根加速度和轨道不平顺的大小有关，线路的等级和技术状态愈差，则振动加速度愈大；
2、振动加速度随运行速度的提高而明显增大，速度增加一倍时加速度要增大41%;
3、振动加速度随车辆自振频率的提高而急剧加大；
4、系统的阻尼和刚度比对振动响应有不同程度的影响。
途径：
1、降低车辆的自振频率其有效途径是增大弹簧装置的静挠度即降低刚度；
2、选取减振器最佳的阻尼值，可使振动加速度减小到最低程度，合适的刚度比卩值也有利于减小振动响应。
取极值得D=\[2
2\（1+^）
当卩=2时D=0.193〜0.2
对多个轮对存在激励时D值还可大一点，一般取0.2~0.3之间不同D值对
4
3—
2
1
00^0^0.60.8
思考题：
1.什么是随机过程？
什么是随机变量？
2.对随机振动过程特性的描述主要采用哪两个域？
3.当随机变量是振动的位移时，其谱密度的单位是什么？
4.自相关函数Rx（）取值的大小与t的取值有何关系？
5.双边功率谱与单边功率谱有何等量关系？
6.频率响应函数H（3）的定义是什么？
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