故a的取值范围为（0，2）．
5．（2017·山西5月联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
解析
（1）由已知，得圆心C的直角坐标为（1，），半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－）2＝4，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（－θ）．
（2）由
（1）知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，
（2＋tcosφ）2＋（＋tsinφ）2－2（2＋tcosφ）－2（＋tsinφ）＝0，
整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝＝，
∵φ∈[0，]，∴cosφ∈[，1]，∴|MN|∈[，4]．
极坐标与参数方程专练
（二）·作业（二十八）
1．（2017·长沙六校联考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos（θ－）．
（1）写出曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点P，Q分别在C1，C2上运动，若|PQ|的最小值为1，求m的值．
解析
（1）ρ＝4cos（θ－），即ρ＝2cosθ＋2sinθ，
所以ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，
将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2代入得C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
（2）将x2＋y2－2x－2y＝0化为（x－）2＋（y－1）2＝4，
所以C2是圆心为（，1），半径为2的圆，
将C1的参数方程化为普通方程为x－y＋m＝0，
所以|PQ|min＝－2＝－2＝1，
由此解得m＝4或m＝－8.
2．（2017·福州质检）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．
（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．
解析
（1）将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12化为直角坐标方程，得＋＝1，则其左焦点F（－2，0），则m＝－2.
将直线l的参数方程（t为参数）与曲线C的方程＋＝1联立，
化简可得t2－2t－2＝0，
由直线l的参数方程的几何意义，令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝2.
（2）由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为（2cosθ，2sinθ）（0<θ<），
则以P为顶点的内接矩形的周长为
4×（2cosθ＋2sinθ）＝16sin（θ＋），
因此当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.
3．（2017·石家庄质检二）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a>0，β为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ－）＝.
（1）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；
（2）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．
解析
（1）由题意知，曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，
直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.
由直线l与圆C只有一个公共点，可得＝a，
解得a＝1，a＝－3（舍）．
所以a＝1.
（2）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.
又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos≥|OA|·|OB|，
所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
4．已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ－）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．
（1）求直线l被曲线C截得的弦长；
（2）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．
解析
（1）直线l的直角坐标方程是y＝x，曲线C的普通方程是x2＋（y－2）2＝4.
易得圆心到直线l的距离d＝1，所以所求的弦长为2＝2.
（2）从极点作曲线C的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
5．（2017·兰州实战模拟）在平面直角坐标系中，已知点B（1，1），曲线C的参数方程为（θ为参数）；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ－）＝a，且l过点A；过点B与直线l平行的直线为l1，l1与曲线C相交于M，N两点．
（1）求曲线C上的点到直线l距离的最小值；
（2）求|MN|的值．
解析
（1）因为A（4，），且A∈l，所以4cos（－）＝a，即a＝4，
所以直线l的极坐标方程为ρcos（θ－）＝4，
所以ρcosθcos＋ρsinθsin＝4，
即直线l的直角坐标方程为x＋y＝8，
设曲线C上的点到直线l的距离为d，则
d＝＝（其中tanφ＝，
所以曲线C上的点到直线l的距离的最小值为＝＝.
（2）设l1的方程为x＋y＋m＝0，由于l1过点B，所以m＝－2，所以l1的方程为x＋y－2＝0，
故l1的参数方程为（t为参数），曲线C的普通方程为＋＝1，
所以3（1－t）2＋4（1＋t）2＝12，即有7t2＋2t－10＝0，
所以t1＋t2＝－，t1·t2＝－，
所以|MN|＝|t1－t2|＝＝＝.
1．（2017·云南统一检测二）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，直线l交曲线C于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为（－2，－4），求点P到A，B两点的距离之积．
解析
（1）由直线l的参数方程为（t为参数），得l的普通方程为x－y－2＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0.
由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.
（2）∵直线l：
x－y－2＝0经过点P（－2，－4），
∴直线l的参数方程为（T为参数）．
将直线l的参数方程代入y2＝2x，化简得T2－10T＋40＝0.设A，B两点对应的参数为T1，T2，
∴|PA|·|PB|＝|T1T2|＝40.
2．（2017·湖北4月调研）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（，）．
（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线C2：
x2＋y2＝4上运动，求|PB|2＋|PC|2的取值范围．
解析
（1）点A（，）的直角坐标为（1，1）．
由A，C关于y轴对称，则C（－1，1）．
（2）易知B（0，2），C（－1，1）．
曲线C1：
ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋（y－1）2＝1.
设P（x，y），x＝2cosθ，y＝2sinθ，
则|PB|2＋|PC|2＝x2＋（y－2）2＋（x＋1）2＋（y－1）2
＝2x2＋2y2－6y＋2x＋6
＝14＋2（x－3y）
＝14＋2（2cosθ－6sinθ）
＝14＋4（cosθ－3sinθ）
＝14＋4cos（θ＋φ）．
所以|PB|2＋|PC|2∈[14－4，14＋4]．
3．（2017·百校联盟二模）已知椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
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