向量组与矩阵的秩.docx

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向量组与矩阵的秩

第三章向量与向量空间

§１n维向量

在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对

.一个

元方程

可以用一个

元有序数组

来表示.

矩阵和

矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组

来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.

定义1

个数组成的有序数组

（３.１）

或

（３.２）

称为一个

维向量,简称向量.

一般,我们用小写的粗黑体字母,如

等来表示向量,（3.1）式称为一个行向量,（3.2）式称为一个列向量.数

称为这个向量的分量.

称为这个向量的第

个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.

实际上,

维行向量可以看成

矩阵,

维列向量也常看成

矩阵.

下面我们只讨论实向量.设

和

为两个任意的常数.

和

为三个任意的

维向量,其中

.

定义2如果

和

对应的分量都相等,即

就称这两个向量相等,记为α＝β.

定义3向量

（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）

称为α与β的和,记为α＋β.称向量

（ka1,ka2,…,kan）

为α与k的数量乘积,简称数乘,记为kα.

定义4分量全为零的向量

（0,0,…,0）

称为零向量,记为0.α与-1的数乘

（-1）α＝（-a1,-a2,…,-an）

称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为

α－β＝α＋（－β）.

向量的加法与数乘具有下列性质：

（１）　α＋β＝β＋α；（交换律）

（２）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律）

（３）　α＋0＝α；

（４）　α＋（－α）＝0；

（５）　k（α+β）=kα+kβ；

（６）（k+l）α=kα+lα；

（７）　k（lα）=（kl）α；

（８）　１α＝α；

（９）　0α＝0；

（１０）　k0＝0.

在数学中,满足（１）～（８）的运算称为线性运算.我们还可以证明：

（１１）　如果k≠0且α≠0,那么kα≠0.

显然,n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质（１）～（１１）.

例1设

求

.

解

例2设

且

求

.

解由

得

通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行量组α１,α２,…,αs可以排列

成一个s×n分块矩阵

其中αi为由A的第i行形成的子块,α１,α２,…,αs称为Ａ的行向量组.n维列向量组β１,β２,…,βs可以排成一个n×s矩阵Ｂ＝（β１,β２,…,βs）,其中βj为Ｂ的第j列形成的子块,β１,β２,…,βs称为B的列向量组.这样,矩阵

就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.

§2线性相关与线性无关

定义5向量组α１,α２,…,αs称为线性相关的,如果有不全为零的数k１,k２,…,ks,使

=k１α１+k２α２+…+ksαs＝0.（3.3）

反之,如果只有在k１=k２=…=ks=0时（3.3）才成立,就称α１,α２,…,αs线性无关.

换言之,当α１,α２,…,αs是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵

（k１,k２,…,ks）使

.

当α１,α２,…,αs为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵（k１,k２,…,ks）′使

.

显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的.

例3判断向量组

的线性相关性.

解对任意的常数k１,k２,…,kn都有

k１ε1+k２ε2+…+knεn＝（k１,k２,…,kn）.

所以

k１ε1+k２ε2+…+knεn=0

当且仅当

k1=k2=…=kn=0.

因此ε1,ε2,…,εn线性无关.

ε1,ε2,…,εn称为基本单位向量.

例4判断向量组

α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６）

的线性相关性.

解对任意的常数k１,k２,k3都有

k１α１+k２α２+k3α3=（k１+k3,k１+2k２+3k3,k１+5k２+6k3）.

所以

k１α１+k２α２+k3α3=0

当且仅当

由于

k1=1,k2=1,k3=-1

满足上述的方程组,因此

１α１+1α２+（-1）α3=α１+α２-α3=0.

所以α１,α２,α3线性相关.

例5设向量组α１,α２,α3线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１,试证向量组β１,β２,β3也线性无关.

证对任意的常数都有

k１β１+k２β２+k3β3=（k１+k3）α１＋（k１+k２）α２+（k２+k3）α3.

设有k１,k２,k3使

k１β１+k２β２+k3β3=0.

由α１,α２,α3线性无关,故有

由于满足此方程组的k１,k２,k3的取值只有

k１=k２=k3=0,

所以β１,β２,β3线性无关.

定义6向量α称为向量组β１,β２,…,βt的一个线性组合,或者说α可由向量组β１,β２,…,βt线性表出（示）,如果有常数k１,k２,…,kt使

α＝k１β１＋k２β２+…＋ktβt.

此时,也记

.

例6设α１=（1,1,1,1）,α２=（1,1,-1,-1）,α3=（1,-1,1,-1）,α4=（1,-1,-1,1）,

β=（1,2,1,1）.试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？

若能,写出具体表达式.

解令

β=k１α１+k２α２+k3α3+k4α4

于是得线性方程组

因为

由克莱姆法则求出

所以

即β能由α１,α２,α3,α4线性表出.

例7设α=（2,-3,0）,β=（0,-1,2）,γ=（0,-7,-4）,试问γ能否由α,β线性表出?

解设γ=k１α+k２β

于是得方程组

由第一个方程得k１=0,代入第二个方程得k２=7,但k２不满足第三个方程,故方程组无解.

所以γ不能由α,β线性表出.

定理1向量组α１,α２,…,αs（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.

证设α１,α２,…,αs中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设

α１=k２α２+k3α3+…+ksαs,

那么

-α１+k２α２+…+ksαs=0,

所以α１,α２,…,αs线性相关.反过来,如果α１,α２,…,αs线性相关,就有不全为零的数k１,k２,…,ks,使

k１α１＋k２α２＋…＋ksαs=0.

不妨设k１≠０,那么

即α１能由α２,α3,…,αs线性表出.

例如,向量组

α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１）

是线性相关的,因为

α3＝３α１-α２.

显然,向量组α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１,α２,α3线性相关的几何意义就是它们共面.

定理2设向量组β１,β２,…,βt线性无关,而向量组β１,β２,…,βt,α线性相关,则α能由向量组β１,β２,…,βt线性表出,且表示式是惟一的.

证由于β１,β２,…,βt,α线性相关,就有不全为零的数k１,k２,…,kt,k使

k１β１+k２β２+…+ktβt+kα=0.

由β１,β２,…,βt线性无关可以知道k≠0.因此

即α可由β１,β２,…,βt线性表出.设

α＝l１β１+l２β２+…＋ltβt＝h１β１+h２β２＋…＋htβt

为两个表示式.由

α－α＝（l１β１+β２+…＋ltβt）-（h１β１+h２β２＋…＋htβt）

=（l１-h１）β１＋（l２-h２）β２＋…＋（lt-ht）βt＝0

和β１,β２,…,βt线性无关可以得到

l１=h１,l２=h２,…,lt=ht.

因此表示式是惟一的.

定义7如果向量组α１,α２,…,αs中每个向量都可由β１,β２,…,βt线性表出,就称向量组α１,α２,…,αs可由β１,β２,…,βt线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.

显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α１,α２,…,αt可以由向量组β１,β２,…,βs线性表出,向量组β１,β２,…,βs可以由向量组

线性表出,那么向量组α１,α２,…,αt可以由向量组

线性表出.

事实上,如果

那么

.

这就是说,向量组α１,α２,…,αt中每一个向量都可以由向量组

线性表出.因而,向量组α１,α２,…,αs可以由向量组

线性表出.

由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质：

（1）反身性：

向量组α１,α２,…,αs与它自己等价.

（2）对称性：

如果向量组α１,α２,…,αs与β１,β２,…,βt等价,那么β１,β２,…,βt也与α１,α２,…,αs等价.

（3）传递性：

如果向量组α１,α２,…,αs与β１,β２,…,βt等价,而向量组β１,β２,…,βt又与

等价,那么α１,α２,…,αs与

等价.

§3线性相关性的判别定理

利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.

定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.

证设向量组α１,α２,…,αs有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１,α２,…,αr

.则有不全为零的数k１,k２,…,kr使

因此α１,α２,…,αs也线性相关.

推论含有零向量的向量组必线性相关.

定理4设p1,p2,…,pn为1,2,…,n的一个排列,α１,α２,…,αs和β１,β２,…,βs为两向量组,其中

即β１,β２,…,βs是对α１,α２,…,αs各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.

证对任意的常数k１,k２,…,ks注意到列向量

和

只是各分量的排列顺序不同,因此

k１β１+k２β２+…+ksβs=0

当且仅当

k１α１+k２α２+…+ksαs=0.

所以α１,α２,…,αs和β１,β２,…,βs有相同的线性相关性.

定理4是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.

定理5在r维向量组α１,α２,…,αs的各向量添上n-r个分量变成n维向量组β１,β２,…,βt　.

（1）如果β１,β２,…,βst线性相关,那么α１,α２,…,αs也线性相关.

（2）如果α１,α２,…,αs线性无关,那么β１,β２,…,βs也线性无关.

证我们对列向量来证明定理,设

（α１,α２,…,αs）＝Ａ１,

（β１,β２,…,βs）＝

如果β１,β２,…,βs线性相关,就有一个非零的s×1矩阵Ｘ使

（β１,β２,…,βs）Ｘ＝

Ｘ＝

＝０.

从而

（α１,α２,…,αs）X＝Ａ１Ｘ＝０.

因此α１,α２,…,αs也线性相关,即

（1）成立.利用

（1）,用反证法容易证明

（2）也成立.

定理6设

是一个n阶方阵,则

的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是

.

证设

是矩阵

的列到向量组.令

.

则