初中一次函数二次函数反比例函数圆知识整合.docx

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初中一次函数二次函数反比例函数圆知识整合

一次函数（y=ｋｘ＋ｂ）

1．当ｘ=０时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为（0，b）。

[1]

２．当b=0时,一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特殊的一次函数。

［１]

3．对于正比例函数，y除以x的商是一定数（ｘ≠0）。

对于反比例函数，x与y的积是一定数。

4．在两个一次函数表达式中:

∙当两个一次函数表达式中的k相同，ｂ也相同时，则这两个一次函数的图像重合;

∙当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时,则这两个一次函数的图像平行；

∙当两个一次函数表达式中的k不相同,ｂ也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

∙当两个一次函数表达式中的ｋ不相同，b相同时,则这两个一次函数图像交于ｙ轴上的同一点（０，b）；

∙当两个一次函数表达式中的ｋ互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

[１]

5．直线y=ｋx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

ｋ>0,b>０经过第一、二、三象限

k>０，b<0经过第一、三、四象限

k>0,b=０经过第一、三象限

【k＞0时,图象从左到右上升，y随x的增大而增大】

k＜0b＞0经过第一、二、四象限

k<０,b<0经过第二、三、四象限

K<0,b=0经过第二、四象限

【k＜０图象从左到右下降,ｙ随x的增大而减小】

一．　定义型

例1.已知函数

 是一次函数,求其解析式。

解：

由一次函数定义知

 ,

 ，

 ,故一次函数的解析式为y=－６x＋3。

注意:

利用定义求一次函数y=kｘ＋b解析式时,要保证k≠０。

如本例中应保证m－３≠0。

二.点斜型

例２．　已知一次函数y=kx－3的图像过点（2，-1），求这个函数的解析式。

解:

一次函数　的图像过点（２,　-1），

 ,即k＝1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：

已知一次函数y=kx-３，当ｘ=2时，y=－１，求这个函数的解析式。

三.两点型

例3.已知某个一次函数的图像与x轴、ｙ轴的交点坐标分别是（-2,0）、（0,　4），则这个函数的解析式为＿＿＿__。

解：

设一次函数解析式为ｙ=kx＋ｂ

由题意得

 ,

故这个一次函数的解析式为y=2x＋４

四．图像型

例4.已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为______＿_＿＿。

解:

设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数　的图像过点（1,0）、（０,2）

 有

故这个一次函数的解析式为y＝-2x+2

反比例函数（y=

）

１.当ｋ>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限． ﻫ2.当k>0时．在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时，在同一个象限，y随ｘ的增大而增大. ﻫk>０时,函数在x<０上为减函数、在x>0上同为减函数;ｋ<０时,函数在ｘ<0上为增函数、在x>０上同为增函数。

定义域为x≠0;值域为y≠０。

 ﻫ　3.因为在y=

（k≠0）中,x不能为０,y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与ｘ轴相交，也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交（坐标轴是反比例函数图像的渐近线）

　4.∣a∣越大,抛物线开口越大;∣ａ∣越小，抛物线开口越小。

　ﻫ　　4.　在一个反比例函数图象上任取两点Ｐ,Q,过点Ｐ,Ｑ分别作x轴，y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为Ｓ１,S2则Ｓ１＝S２　,且等于|k|.

　　5．反比例函数的图象是双曲线,有两支,既是轴对称图形，对称轴是y＝x或y=-x,又是中心对称图形，对称中心是坐标原点.

　　６.反比例函数图像中，｜k|的值越大,图像越远离坐标轴．

反比例函数的应用举例

　　【例１】反比例函数的图象上有一点P（ｍ,ｎ）其坐标是关于ｔ的一元二次方程t2-3t+k=０的两根，且Ｐ到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式． 

分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于ｋ的方程. ﻫ解：

∵m,　n是关于t的方程t2－3t＋k=0的两根 

　∴　ｍ+ｎ=3,ｍn＝k, ﻫ　　又　ＰO=根号13, 

　　∴　

=13, ﻫ　∴

-2ｍn=１3， 

　∴　9-2k＝13. 

　∴　k=-２ ﻫ　当　ｋ=－2时,△=９+8>0, 

　　∴k=-2符合条件, 

二次函数（y=aX

）

在平面直角坐标系中作出二次函数y=aX

的图像,可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

　如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　注意：

草图要有:

　　１．本身图像,旁边注明函数。

　2．　画出对称轴，并注明直线X=什么（X＝－b/2a）　3.与X轴交点坐标（ｘ₁,y₁）；（x₂，y₂）,与Y轴交点坐标（0，c）,顶点坐标（－ｂ/2a,（４ac－b²/４a）.

２.3 轴对称

　　二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a

　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

　特别地,当ｂ=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

　　a,ｂ同号，对称轴在ｙ轴左侧.

　a,ｂ异号,对称轴在y轴右侧．

２.４ 顶点

　　二次函数图像有一个顶点Ｐ，坐标为P　（h,k）即（-b/2a,（4aｃ-b²/４ａ）.

　　当ｈ=0时,P在y轴上;当k＝0时,P在x轴上。

即可表示为顶点式ｙ=a（x－h）²+ｋ。

　h=-b/２a,k=（４ac-b²）/4a。

2．５ 开口方向和大小

　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

2.6 决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0，与b同号时（即ab>0），对称轴在ｙ轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2ａ<０，所以ｂ／2ａ要大于0，所以ａ、ｂ要同号

当a＞０，与b异号时（即ab<0），对称轴在ｙ轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-　b/2a＞0，　所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　可简单记忆为左同右异，即当a与ｂ同号时（即ａb>0）,对称轴在y轴左；当ａ与ｂ异号时（即ａｂ<０），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：

二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

2.7 决定与y轴交点的因素

常数项ｃ决定二次函数图像与y轴交点。

　二次函数图像与ｙ轴交于（0,Ｃ）

　注意:

顶点坐标为（h，k）,　与y轴交于（０,C）。

2.8 与ｘ轴交点个数

　a<0;k＞0或ａ>0;ｋ＜0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

　k=０时,二次函数图像与x轴只有1个交点。

　a<0；k<0或a>0，ｋ>0时,二次函数图像与Ｘ轴无交点。

　　当a>0时，函数在ｘ=h处取得最小值ymin=ｋ,在xk

　当a<0时，函数在ｘ=ｈ处取得最大值ｙmａx=k,在x＜h范围内是增函数，在ｘ＞h范围内是减函数（即ｙ随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<ｋ

　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

2.９ 二次函数的性质

　　定义域：

Ｒ

　值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（４ac-b²）/４ａ，正无穷）;②[t，正无穷）

　奇偶性:

当b＝0时为偶函数,当ｂ≠0时为非奇非偶函数。

周期性:

无

　　解析式：

　①y=ax²＋bx+c［一般式]

⑴a≠0

⑵ａ>０,则抛物线开口朝上;a＜0,则抛物线开口朝下；

　⑶极值点:

（-b／２a,（4aｃ-b

）/4ａ）；

　　⑷Δ=b２-4aｃ,

　Δ>0，图象与ｘ轴交于两点:

　　（[-b-√Δ]／２a，0）和（［-ｂ+√Δ］/２a，０）；

Δ=0,图象与x轴交于一点:

（－b/2ａ,０）;

　Δ＜0，图象与x轴无交点；

特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=1２，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。

②y=a（ｘ-ｈ）²+k[顶点式］

此时,对应极值点为（ｈ,k）,其中h=-ｂ/2ａ,ｋ＝（４ａｃ-b²）／4a

　③ｙ=ａ（x-x₁）（x-x₂）[交点式（双根式）]（a≠0）

　对称轴Ｘ=（X₁＋X₂）/2当a＞0且Ｘ≧（X1+X2）/2时，Y随Ｘ的增大而增大,当a>0且X≤（X₁+X₂）/２时Y随X

　的增大而减小

此时，x₁、x₂即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

用）。

交点式是Ｙ＝A（X-X₁）（Ｘ－X₂）　知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。

两交点X值就是相应X₁　X₂值。

增减性

　当a>０且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反

　当ａ<0且y在对称轴右侧时，ｙ随ｘ增大而减小，y在对称轴左侧则相反

3 相关分类

３.1 一般式

　y=ax²＋bx＋c（ａ≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为[-b/2a,（4ac-b²）/４a]

　把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、ｂ、c的值。

3．2 顶点式

　y=a（x－h）²+ｋ（a≠０,a、ｈ、k为常数）,顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ａx²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例:

已知二次函数y的顶点（1，2）和另一任意点（３,１０）,求ｙ的解析式。

　　解:

设y=a（ｘ－1）²+2,把（3,10）代入上式,解得ｙ=2（ｘ-1）²+2。

3.３ 交点式

　y＝a（x-ｘ₁）（ｘ-ｘ₂）（a≠０）　［仅限于与x轴即y=0有交点Ａ（x1,０）和B（x2，0）的抛物线,即b²-４ａc≥0]　．

　　已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和B（x₂，０）,我们可设y=a（ｘ-x₁）（x-x₂）,然后把第三点代入x、ｙ中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤:

∵X+x=-b/ax1·x=ｃ/a

　　∴ｙ=ax²+ｂx＋ｃ

　=a（x²+ｂ／ax+c/ａ）

　重要概念:

a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。

a>0时，开口方向向上;a<0时，开口方向向下。

a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

圆

　.

ﻫ

２ 字母表示

　　圆—⊙;半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）;弧—⌒;直径—ｄ　；ﻫ扇形弧长—Ｌ;周长—C;面积—Ｓ。

3 位置关系

３.1 点和圆位置关系

　　①Ｐ在圆Ｏ外,则PO>r.ﻫ　②P在圆O上,则PO＝ｒ．ﻫ　　③P在圆O内,则　0≤PO

3．2 直线和圆位置关系

　①直线和圆无公共点，称相离。

AB

与圆Ｏ相离，d＞r。

　　②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。

AB与⊙O相交，ｄ＜r。

ﻫ　③直线和圆有且只有一公共点,称相切,这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙O相切,d=r。

（d为圆心到直线的距离）

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^２+y＾2+Dx+Ey+Ｆ=0的位置关系判断一般方法是：

　ﻫ　　

3．3 圆和圆位置关系

　①无公共点,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含。

　　②有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

ﻫ　　③有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

　设两圆的半径分别为Ｒ和r，且R〉ｒ,圆心距为P，则结论：

外离P>Ｒ+r；外切Ｐ=Ｒ+ｒ;内含P＜Ｒ-r;

　内切P=R-ｒ;相交R-r

4 圆的性质

　⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

 垂径定理:

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。

　　⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 

①在同圆或等圆中,如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧,两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

　②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

 ﻫ　直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式:

θ=（L/2πｒ）×360°＝1８0°L／πｒ=L/r（弧度）ﻫ　　即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

ﻫ③　如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的４倍。

 ﻫ　⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ﻫ　①一个三角形有唯一确定的外接  　 

圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;ﻫ　②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

　③Ｒ＝2Ｓ△÷L（R:

内切圆半径,S：

三角形面积，L:

三角形周长）

　④两相切圆的连心线过切点（连心线:

两个圆心相连的直线）ﻫ　　⑤圆O中的弦PQ的中点Ｍ,过点M任作两弦AB，ＣD，弦ＡＤ与ＢC分别交ＰQ于X,Y,则Ｍ为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

　（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

　　（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

ﻫ　（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

ﻫ（8）周长相等,圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

4.1 与切线有关的定理

垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

　切线的判定方法:

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　切线的性质：

（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

　切线长定理：

从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

ﻫ切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点,切线交圆于C点，割线交圆于AB两点,则有pＣ＾2=ｐA·pBﻫ割线定理 与切割线定理相似两条割线交于ｐ点，割线m交圆于A１　Ｂ1两点，割线ｎ交圆于A2B2两点ﻫ则pA1·ｐB1=pＡ2·pB２

解答题 

１、已知一次函数ｙ=（6+３m）ｘ+（n-4）,求：

（1）m为何值时,y随x的增大而减小；    

（２）,mn分别为何值时，函数的图象与ｙ轴的交点在ｘ轴的下方？

（3），mn分别为何值时,函数的图象经过原点?

（4）当m=-1,n＝-2

时，设此一次函数与ｘ轴交于A，与y轴交于B，试求AOBV面积。

  ２、（05年中山）某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法,若某户居民应交水费

y（元）与用水量ｘ（吨）的函数关系如图所示。

（１）写出ｙ与x的函数关系式; 

（2）若某户该月用水2１吨,则应交水费多少元?

3、如图,四边形ＡBCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。

（1）求点D的坐标； 

（2）求经过点C的反比例函数解析式。

4、  已知：

二次函数为y＝x２－x+ｍ 

（1）写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标； 

（2）m为何值时,顶点在ｘ轴上方 

（3）若抛物线与y轴交于A，过Ａ作ＡＢ∥ｘ轴交抛物线于另一点B，当Ｓ△AＯB=4时，求此二次函数的解析式.

5、 已知：

m，ｎ是方程x2-6x+5＝０的两个实数根,且ｍ

（1）求这个抛物线的解析式; 

（2）设（１）中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点Ｃ，D的坐标和△BCD的面积; 

（３）P是线段OC上的一点，过点Ｐ作PＨ⊥ｘ轴,与抛物线交于H点，若直线BC把△PＣＨ分成面积之比为２:

3的两部分，请求出P点的坐标