高中数学新学案同步 必修3北师大版 第二章 算法初步1.docx

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高中数学新学案同步必修3北师大版第二章算法初步1

§1　算法的基本思想

学习目标

　1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．

知识点一　算法的概念

思考　有一碗酱油，一碗醋和一个空碗．现要把两碗盛的物品交换一下，试用自然语言表述你的操作方法．

答案　先把醋倒入空碗，再把酱油倒入原来盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱油的碗，就完成了交换．

梳理　一般地，算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．

同一个问题可能存在多种算法，一个算法也可以解决某一类问题．

知识点二　算法的特点

思考　设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？

答案　若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题．故算法必须在有限步内解决问题．

梳理　算法的特点

（1）有限性

一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有限的操作步骤之后结束．

（2）确定性

算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的．

（3）可行性

算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．

1．算法是解决一个问题的方法．（　×　）

2．一个算法可以产生不确定的结果．（　×　）

3．算法的步骤必须是明确的、有限的．（　√　）

类型一　算法的概念

例1　

（1）下列对算法的理解正确的是________．（填上所有正确说法的序号）

①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效（而不是个别问题）；

②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；

③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；

④任何问题都可以用算法来解决．

答案　①②③

解析　由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决，例如求1＋

＋

＋

＋…＋

＋…，故④不正确．

（2）给出下列叙述：

①发电子邮件：

先打开电子信箱，点击写邮件，输入发送地址，输入信件内容，然后点击发送；

②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，求解；

③方程x2－1＝0有两个根；

④求1＋2＋3＋4的值，先算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，最终结果为10.

其中是算法的是________．（写出所有是算法的序号）

答案　①②④

解析　算法强调的是解决一类问题的方法和步骤，③只陈述了有两个根的事实，没有解决如何求两个根的问题，所以不能看成算法．

反思与感悟　判断算法的关注点

（1）明确算法的含义及算法的特征．

（2）判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步骤之内完成．

（3）算法实际上是一种程序方法，在利用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．

跟踪训练1　给出以下叙述：

①过河要走桥；

②老师提问说不会；

③做米饭需刷锅、淘米、添水、加热这些步骤；

④学习要预习、听讲、质疑、练习巩固等步骤．

其中能称为算法的是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．①④

答案　C

解析　①②不能称为算法，根据算法的含义知③④正确．

类型二　算法设计

例2　设计一个算法，求840与1764的最大公因数．

解　算法步骤如下：

1．先将840进行素因数分解：

840＝23×3×5×7；

2．然后将1764进行素因数分解：

1764＝22×32×72；

3．确定它们的公共素因数：

2,3,7；

4．确定公共素因数的指数：

公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1；

5．最大公因数为22×31×71＝84.

反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

（1）认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法．

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述．

（3）将解决问题的过程划分为若干步骤．

（4）用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪训练2　设计一个算法，求98与63的最大公因数．

解　算法步骤如下：

1．先将98进行素因数分解：

98＝2×72；

2．然后将63进行素因数分解：

63＝32×7；

3．确定它们的公共素因数：

7；

4．确定公共素因数的指数：

公共素因数的指数是1；

5．最大公因数为7.

类型三　选择性执行问题的算法

例3　某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c＝

其中ω（单位：

kg）为行李的质量，

如何设计计算托运费用c（单位：

元）的算法．

解　算法步骤如下：

1．输入行李的质量ω；

2．如果ω≤50，则令c＝0.53×ω后执行第4步，否则执行第3步；

3．c＝50×0.53＋（ω－50）×0.85；

4．输出托运费用c.

反思与感悟　解决选择性问题的算法的步骤

（1）输入自变量的值；

（2）对自变量的范围进行判断，选择对应的解析式，求函数值；

（3）输出函数值．

跟踪训练3　已知函数y＝

写出给定自变量x求函数值的一个算法．

解　算法步骤如下：

1．输入x；

2．若x>0，则令y＝－x＋1后执行第5步，否则执行第3步；

3．若x＝0，则令y＝0后执行第5步，否则执行第4步；

4．令y＝x＋1；

5．输出y的值.

1．下列关于算法的说法，正确的个数为（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，所以②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，所以①错误．

2．下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是（　　）

A．在家里一般是妈妈做饭

B．买衣服需要选衣服、试衣服、试衣服、付款这些步骤

C．在野外做饭叫野炊

D．做饭必须要有米

答案　B

解析　算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.

3．已知一个算法：

（1）给出三个数x，y，z；

（2）计算M＝x＋y＋z；

（3）计算N＝

M；

（4）得出每次计算的结果．

则上述算法是（　　）

A．求和B．求余数

C．求平均数D．先求和再求平均数

答案　D

解析　由算法过程可知，M为三数之和，N为这三数的平均数，故选D.

4．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．

（1）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

（2）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

（3）方程x2－1＝0有两个实根；

（4）求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.

答案　（3）

解析　由于（3）不是解决某一类问题的步骤，故（3）不是解决问题的算法．

5．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

（1）计算c＝

；

（2）输入直角三角形两直角边长a，b的值；

（3）输出斜边长c的值．

其中正确的顺序是________．

答案　

（2）

（1）（3）

解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．

算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：

（1）符合运算规则，计算机能操作；

（2）每个步骤都有一个明确的计算任务；

（3）对重复操作步骤返回处理；

（4）步骤个数尽可能少；

（5）每个步骤的语言描述要准确、简明．

一、选择题

1．下列可以看成算法的是（　　）

A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B．今天餐厅的饭真好吃

C．这道数学题难做

D．方程2x2－x＋1＝0无实数根

答案　A

解析　A是学习数学的一个步骤，所以是算法．

2．下列关于算法的描述正确的是（　　）

A．算法与求解一个问题的方法相同

B．算法只能解决一个问题，不能重复使用

C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切

D．有的算法执行完后，可能无结果

答案　C

解析　算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．

3．我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上算法的描述正确的有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案　D

解析　由算法的概念可知①②③④都正确，故选D.

4．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是（　　）

①S＝

＋

＋

＋…＋

；

②S＝

＋

＋

＋…＋

＋…；

③S＝

＋

＋

＋…＋

（n≥1且n∈N＋）．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

答案　B

解析　因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．

5．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是（　　）

A．只能设计一种算法

B．可以设计两种算法

C．不能设计算法

D．不能根据解题过程设计算法

答案　B

解析　算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法．

6．对于算法：

（1）输入n；

（2）判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第（3）步；

（3）依次从2到（n－1）检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第（4）步；若能整除n，则执行第

（1）步；

（4）输出n.

满足条件的n是（　　）

A．质数B．奇数

C．偶数D．约数

答案　A

解析　此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到（n－1）一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．

7．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个过程．下列选项中最好的一种算法是（　　）

A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播

B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播

C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播

D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶

考点　算法的设计与应用

题点　应用问题的算法设计

答案　C

解析　最好算法的标准是方便、省时、省力．

A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36（min），

B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31（min），

C中共需2＋8＋3＋10＝23（min），

D中共需10＋3＋8＋2＝23（min），但算法步骤不合理，最好的算法为C.

8．一个算法步骤如下：

（1）S取值0，i取值1.

（2）若i≤9，则执行第（3）步；否则，执行第（6）步．

（3）计算S＋i并用结果代替S.

（4）用i＋2的值代替i.

（5）转去执行第

（2）步．

（6）输出S.

运行以上算法，则输出的结果S等于（　　）

A．16B．25

C．36D．以上均不对

考点　算法的设计与应用

题点　循环型算法设计

答案　B

解析　解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.

9．结合下面的算法：

（1）输入x.

（2）判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第（3）步．

（3）输出x－1.

当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为（　　）

A．－1,0,1B．－1,1,0

C．1，－1,0D．0，－1,1

考点　算法的概念

题点　算法功能的判断与结果的求解

答案　C

解析　依据算法可知，当x＝－1时，满足x<0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x<0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x<0，则输出x－1＝1－1＝0.故选C.

二、填空题

10．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b（a>b）．写出求最大锐角θ的余弦值的算法如下：

（1）输入两直角边长a，b的值；

（2）计算c＝

的值；

（3）________________；

（4）输出cosθ.

将算法补充完整，横线处应填____________．

答案　计算cosθ＝

11．下面给出了解决问题的算法：

（1）输入x；

（2）若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3；

（3）输出y.

则这个算法解决的问题是________；当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．

答案　求分段函数y＝

的函数值　1

12．给出下列算法：

（1）输入x的值；

（2）当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；

（3）计算y＝

；

（4）输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

答案　2

解析　0＜4，执行第三步，y＝

＝2.

三、解答题

13．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上（不含800元），打7折；若购物金额在400元以上（不含400元），800元以下（含800元），打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.

考点　算法的设计与应用

题点　应用问题的算法设计

解　算法步骤如下：

1．输入购物金额x（x>0）．

2．判断“x>800”是否成立，若成立，则y＝0.7x，转第4步；否则，执行第3步．

3．判断“x>400”是否成立，若成立，则y＝0.8x，转第4步；否则，y＝x.

4．输出y，结束算法．

四、探究与拓展

14．如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移动到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把B杆上的3个碟子全部移动到A杆上，最少需要移动的次数是________．

考点　算法的设计与应用

题点　应用问题的算法设计

答案　7

解析　直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：

①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次．

15．鸡兔同笼问题：

鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30个，试设计一个算法，求出鸡和兔各有多少只．

解　算法步骤如下：

1．设有x只鸡，y只兔，列方程组

2．②÷2＋①×（－1），得y＝20.

3．把y＝20代入x＝30－y，得x＝10.

4．得到方程组的解

5．输出结果，鸡10只，兔20只．