学年鲁教版五四制数学八年级下册63正方形的性质与判定 同步练习卷.docx

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学年鲁教版五四制数学八年级下册63正方形的性质与判定同步练习卷

6.3正方形的性质与判定

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．矩形的对角线互相垂直

B．菱形的对角线相等

C．正方形的对角线互相垂直且相等

D．平行四边形的对角线相等

2．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，2）B．（﹣1，

）C．（﹣

，2）D．（﹣1，

）

3．下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（　　）

A．有一个角是直角的菱形

B．对角线互相垂直且平分的四边形

C．有一组邻边相等的平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）

A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形

B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

C．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形

D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

二．填空题

5．一个正方形的对角线长为2，则其面积为　　．

6．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝　　．

7．在▱ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是　　．

8．如图，AB⊥CD，连接AC，点E在AB上，连接ED，AB＝CD，∠EDB＝2∠BAC，BC＝3，AE＝2，则BE的长为　　．

9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为　　．

三．解答题

10．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由．

11．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．

（1）求证：

BE＝AF；

（2）若AB＝4，DE＝1，求AF的长．

12．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连结EF．求证：

四边形ADFE是正方形．

13．已知：

在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．

（1）求证：

AD＝CF；

（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？

请证明你的结论．

14．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：

四边形EFGH为正方形．

15．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．

（1）求证：

∠HEA＝∠CGF；

（2）当AH＝DG时，求证：

菱形EFGH为正方形．

参考答案

一．选择题

1．解：

A．因为矩形的对角线相等，所以A选项错误，不符合题意；

B．因为菱形的对角线互相垂直，所以B选项错误，不符合题意；

C．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C选项正确，符合题意；

D．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误，不符合题意．

故选：

C．

2．解：

作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，

∵B（1，3），

∴DE＝3，BF＝1，

设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，

∵四边形ABCO为正方形，

∴∠BCO＝90°，CB＝CO，

∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠OCD＝∠CBE，

在△OCD和△CBE中

，

∴△OCD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE，OD＝CE，

即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，

∴m＝﹣1，n＝2，

∴C点坐标为（﹣1，2）．

故选：

A．

3．解：

A、有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；

B、对角线互相垂直且平分且相等的四边形是正方形，不符合题意；

C、有一组邻边相等且邻角相等的平行四边形是正方形，不符合题意；

D、对角线互相垂直且平分且相等的四边形是正方形，不符合题意；

故选：

A．

4．解：

A、若AB＝AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；

B、若AB＝AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；

C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；

D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；

故选：

C．

二．填空题

5．解：

方法一：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝BO＝

AC＝1，∠AOB＝90°，

由勾股定理得，AB＝

，

S正＝（

）2＝2．

方法二：

因为正方形的对角线长为2，

所以面积为：

2×2＝2．

故答案为：

2．

6．解：

∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，

∴AB＝BC，∠BAD＝90°，BE＝BC，∠CBE＝60°，

∴AB＝BE，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠AEB＝∠EAB＝

（180°﹣30°）＝75°，

故答案为：

75°．

7．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，

∴▱ABCD是菱形，

又∵AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形，

∴▱ABCD是正方形；

故答案为：

正方形．

8．解：

如图，平移△ABC得到△GDF，连接AG，EG，作GH⊥DE于H．

则有AB＝FG，BC＝DF＝3，AB∥FG，AG∥BF，∠BAC＝∠FGD，∠ABC＝∠F，

∴四边形ABFG是平行四边形，

∵CD＝CB+BD＝BD+DF＝BF，AB＝CD，

∴AB＝BF，

∵AB⊥BC，

∴∠ABF＝90°，

∴四边形ABFG是正方形，

∴FG＝AG，∠BAG＝90°，

设∠BAC＝∠FGD＝α，则∠EDB＝2α，∠GDF＝90°﹣α，

∴∠EDG＝180°﹣∠EDB﹣∠GDF＝90°﹣α，

∴∠GDF＝∠EDG，

∵GH⊥DE，GF⊥DF，

∴∠F＝∠GHD＝90°，

∵GD＝GD，

∴△GDF≌△GDH（AAS），

∴FG＝GH，DF＝DH＝3，

∵∠A＝∠GHE＝90°，GA＝GF＝GH，GE＝GE，

∴Rt△GEA≌Rt△GEH（HL），

∴AE＝EH＝2，

∴DE＝2+3＝5，设AB＝BF＝x，则BE＝x﹣2，BD＝x﹣3，

在Rt△BDE中，∵DE2＝BE2+BD2，

∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，

解得x＝6或﹣1（舍弃），

∴BE＝4．

故答案为4．

9．解：

过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，连接BG，

∵AD∥BC，∠D＝90°，

∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD

∴四边形CDFB是矩形

∵BC＝CD

∴四边形CDFB是正方形

∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，

∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG

∴△BCE≌△BFG（SAS）

∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG

∵∠ABE＝45°，

∴∠CBE+∠ABF＝45°，

∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG

∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG

∴△ABE≌△ABG（SAS）

∴AE＝AG＝5，

∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3

在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，

∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，

∴DF＝6

∴BC＝6

故答案为：

6

三．解答题

10．解：

AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：

如图，延长AE交CF于点G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，

∵∠DCF+∠F＝90°，

∴∠DAE+∠F＝90°，

∴AG⊥CF，

即AE⊥CF．

∴AE＝CF，AE⊥CF．

11．解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，

∵DE＝CF，

∴AE＝DF，

在△BAE和△ADF中，

，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE＝AF；

（2）解：

∵AB＝4，四边形ABCD是正方形，

∴AD＝4，

∵DE＝1，

∴AE＝3，

∴BE＝

＝

＝5，

∵△BAE≌△ADF，

∴BE＝AF＝5．

12．证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°．

由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°

∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．

∴四边形AEFD是矩形．

∵AE＝AD，

∴四边形AEFD是正方形．

13．

（1）证明：

∵CB＝CA，

∴∠A＝∠B，

∵∠ACM＝∠A+∠B，

∴∠A＝

ACM，

∵CN平分∠ACM，

∴∠ACF＝

ACM，

∴∠A＝∠ACF，

∵E是AC的中点，

∴AE＝CE，

在△ADE与△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（ASA），

∴AD＝CF；

（2）解：

当∠ACB＝90°，四边形ADCF是正方形，

理由：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°，

∵CN平分∠ACM，

∴∠ACF＝

ACM＝45°，

∴∠DAC＝∠ACF，

∴AD∥CF，

由

（1）知AD＝CF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝CD，

∴∠ACD＝∠CAD＝45°，

∴∠DCF＝90°，

∴矩形ADCF是正方形．

14．解：

∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，

∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，

∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），

∴∠DHG＝∠HEA，

∵∠AHE+∠HEA＝90°，

∴∠AHE+∠DHG＝90°，

∴∠EHG＝90°，

∴四边形HEFG为正方形．

15．证明：

（1）连接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠CGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠HEA＝∠CGF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠A＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

在Rt△HAE和Rt△GDH中，

，

∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），

∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，

∴∠DHG+∠AHE＝90°，

∴∠GHE＝90°，

∴菱形EFGH为正方形；