平行四边形分类专题复习后附答案导学案精品.docx

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平行四边形分类专题复习后附答案导学案精品

《平行四边形》专题复习

知识结构图

一、各种特殊四边形之间的关系（完成特殊转换相关文字）

二、各种特殊四边形的定义和性质

名称

定义

性质

对称性

边

角

对角线

平行四

边形

矩形

菱形

正方形

三、几种特殊四边形的常用判定方法

名称

条件

平行

四边形

矩形

菱形

正方形

四、有关中点四边形的几个结论（给出证明）

1、任意四边形的四边中点围成的四边形是。

2、对角线互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是。

3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是。

4、对角线相等并且互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是。

重难点1平行四边形的性质与判定　

【例1】　如图，已知▱ABCD，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长与DC的延长线交于点F，连接BF.求证：

四边形ABFC是平行四边形．

【思路点拨】　由▱ABCD，OE是△ABC的中位线，易得E是边BC中点，从而证△ABE≌△FCE，得AB＝CF.进而证得四边形ABFC是平行四边形．

【方法指导】要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法．

针对练习：

1．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为6，那么平行四边形ABCD的周长是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　

A．8

B．10

C．12

D．18

2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝CD，AD∥BC

C．AO＝CO，BO＝DOD．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB

3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝

AB，连接OE.下列结论：

①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE＝

AD.其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（　　）

A．28或32B．28或36

C．32或36D．28或32或36

5．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝

，AC＝2，BD＝4，则AE的长为.

6．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，已知∠DAB＝60°，A（－2，0），点P在AD上，连接PO，当OP⊥AD时，点P到y轴的距离为．

7．如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是．

8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．

重难点2　特殊平行四边形的性质与判定

【例2】如图，已知△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，且点B，D，C，E在同一条直线上，连接AD，CF.

（1）求证：

四边形ADFC是平行四边形；

（2）若BD＝3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设△ABC运动时间为ts.

①当t为何值时，▱ADFC是菱形？

请说明理由；

②▱ADFC有可能是矩形吗？

若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

【思路点拨】　

（1）由△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，得AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°，从而得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形；

（2）①若▱ADFC是菱形，则点B与点D重合，从而得出△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间；②若▱ADFC是矩形，则∠DAC＝90°，从而可推断点E与点B重合，得出△ABC沿着BE的方向移动的距离，进而求出运动的时间及此矩形的面积．

针对练习：

9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是（）

A．8B．4

C．8

D．16

10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）

A.

B．2C.2

D．4

第10题图第11题图

11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）

A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定

12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为cm.

13．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是．

14．已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.

（1）求证：

四边形AODE是矩形；

（2）若AB＝2

，∠BCD＝120°，连接CE，求CE的长．

15.如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.

（1）求证：

OE=OF；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形？

并证明你的结论；

（3）在

（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF能成为正方形？

重难点3　与中点有关的问题

【例3】阅读下列材料：

在数学课上，老师请同学们思考下列问题：

如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题时，有如下思路：

连接AC.

参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？

请说明理由；

（2）如图2，在

（1）的条件下，连接AC，BD.

①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形？

写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？

直接写出结论．

针对练习：

16．已知直角三角形的两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）

A．34B．26C．8.5D．6.5

17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）

A．1B．2

C.

D．1＋

重难点4　最值问题

针对练习：

18．如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE的最小值是．

19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上的一个动点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是．

20.菱形ABCD，AC=12，BD=16，P是BD上动点.E、F分别是BC、CD中点.则PE+PF的最小值是多少？

参考答案：

【例1】　证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD.

∴∠ABE＝∠FCE.

∵OE是△ABC的中位线，

∴E是BC的中点．∴BE＝CE.

在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE（ASA）．∴AB＝CF.

又∵AB∥CF，

∴四边形ABFC是平行四边形．

1.C2.B3.C4.D

5.

6.

7.

8.解：

AE与CF的关系是平行且相等．

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AF∥EC，∴∠OAF＝∠OCE.

在△OAF和△OCE中，

∴△OAF≌△OCE（ASA），∴AF＝CE.

又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF且AE＝CF，

即AE与CF的关系是平行且相等．

【例2】　

（1）证明：

∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，

∴AC＝DF，∠ACD＝∠FDE＝60°.

∴AC∥DF.

∴四边形ADFC是平行四边形．

（2）①如图1，当t＝3时，▱ADFC是菱形．理由：

∵t＝3，∴点B与点D重合，点C与点E重合．

又∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，∴AD＝DF＝FE＝EA.

∴▱ADFC是菱形．

　　图1　　　　　　　　图2

②可能．

如图2，∵▱ADFC是矩形，∴∠DAC＝90°.

又∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝30°.

∴DC＝2AC＝20，AD＝10

.

∴点B与点E重合，t＝3＋10＝13，

S矩形ADFC＝AD·AC＝10

×10＝100

（cm2）．

9.A

10.A

11.B

12.2

13.（2＋

，1）

14.解：

（1）证明：

∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.

∴∠AOD＝90°.

∴四边形AODE是矩形．

（2）∵∠BCD＝120°，四边形ABCD是菱形，

∴∠ACB＝∠ACD＝60°，AB＝BC.

∴△ABC是等边三角形．

∴AC＝AB＝2

，OA＝OC＝

.

∴AE＝OD＝OB＝3.

在Rt△AEC中，EC＝

＝

＝

.

【例3】解：

（1）四边形EFGH是平行四边形．理由如下：

如图，连接AC.

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝

AC.

同理可得HG∥AC，HG＝

AC，

综上可得EF∥HG，EF＝HG，

故四边形EFGH是平行四边形．

（2）①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．

理由如下：

如图，连接BD.

由

（1）得FG＝

BD，HG＝

AC，

当AC＝BD时，FG＝HG，

∴四边形EFGH为菱形．

②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．

理由如下：

由

（1）得四边形EFGH是平行四边形．

∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD.

∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，

∴四边形EFGH为矩形．

16.D

17.A

18.5

19.

20.10