高考数学二轮复习专题突破练22圆锥曲线中的最值范围证明问题理.docx

高考数学二轮复习专题突破练22圆锥曲线中的最值范围证明问题理.docx

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高考数学二轮复习专题突破练22圆锥曲线中的最值范围证明问题理

专题突破练22　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

1.（2018山东烟台二模,理20）已知圆C:

（x+1）2+y2=16,点F（1,0）,P是圆上一动点,点E在线段FP上,点Q在半径CP上,且满足=2=0.

（1）当P在圆上运动时,求点Q的轨迹Γ的方程;

（2）设过点A（2,0）的直线l与轨迹Γ交于点B（B不在x轴上）,垂直于l的直线交l于点M,与y轴交于点H,若=0,求点M横坐标的取值范围.

2.（2018河南六市联考一,理20）已知抛物线C:

x2=2py（p>0）的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q（0,5）.

（1）求p的值;

（2）以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧MN的长度为S,当直线l绕F点旋转时,求的最大值.

3.已知椭圆C:

=1（a>0）的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点R（4,0）的直线l与椭圆C交于P,Q两点,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:

N,F,Q三点在同一条直线上.

4.（2018全国卷3,理20）已知斜率为k的直线l与椭圆C:

=1交于A,B两点,线段AB的中点为M（1,m）（m>0）.

（1）证明:

k<-;

（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:

||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.

5.椭圆E:

=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

（1）当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

（2）当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

6.

（2018山东潍坊一模,理20）如图,椭圆C:

=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,P为椭圆C上任一点（不与A,B重合）.已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2-,椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）直线l过点B且垂直于x轴,延长AP交l于点N,以BN为直径的圆交BP于点M,求证:

O,M,N三点共线.

参考答案

专题突破练22　圆锥曲线中

的最值、范围、证明问题

1.解

（1）由题意知,直线EQ为线段FP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QF|=4>|CF|=2.

所以点Q的轨迹是以点C,F为焦点,焦距为4,长轴为4的椭圆,

所以a=2,c=1,b=,

故点Q的轨迹Γ的方程为=1.

（2）由题意直线l的斜率存在,设为k,于是直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）,

设B（x1,y1）,联立

得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0.

因为A（x1,y1）,由根与系数的关系得2x1=,∴x1=,y1=,

设M的横坐标为x0,则M（x0,k（x0-2））,MH所在直线方程为y-k（x0-2）=-（x-x0）,

令x=0,得yH=

k+

x0-2k,

于是=（1-x1,-y1）·（1,-yH）=0,即1-x1+y1yH=1-

k+

x0-2k

=0,

整理得x0=,

∵k2≠0,（0,1）,

2.解

（1）F

0,

l的倾斜角是45°时,l的方程为y=x+,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

联立得x2-2px-p2=0.

则x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB的中点为D

p,p

AB中垂线为y-p=-（x-p）,把x=0代入得y=p=5,∴p=2.

（2）设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.

|AB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=4k2+4,AB中点为D（2k,2k2+1）.

令∠MDN=2α（弧度）,S=2α|AB|=α·|AB|,=α.

∴D到x轴的距离|DE|=2k2+1,

∴cosα==1-,当k2=0时,cosα取最小值,α的最大值为,故的最大值为

3.

（1）解∵椭圆=1（a>0）的焦点在x轴上,∴a2>7-a2,即a2>,