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华宏2003年MBA联考辅导资料
（一）:
《MBA线性代数复习提纲》（尤
承业）
第一章线性代数中最基本的概念
1.矩阵
（1）基本概念
（2）线性运算和转置
（3）n阶矩阵和几个特殊矩阵
（4）初等变换和阶梯形矩阵
2.向量
（1）基本概念
（2）线性运算和线性组合3．线性方程组
（1）基本概念
（2）同解变换与矩阵消元法
第二章行列式
1.1形式与意义
1.2定义（完全展开式）
1.3性质
1.4计算
1.5克莱姆法则
第三章矩阵乘法和可逆矩阵
2.1矩阵乘法的定义和性质
2.2n阶矩阵的方幂和多项式
2.3乘积矩阵的列向量组和行向量组
2.4矩阵方程和可逆矩阵（伴随矩阵）
2.5矩阵乘法的分块法则
2.6初等矩阵
第四章向量组的线性关系和秩
3.1向量组的线性表示关系
3.2向量组的线性相关性
3.3向量组的极大无关组和秩
3.4矩阵的秩
第五章线性方程组
4.1线性方程组的形式
4.2线性方程组解的性质
4.3线性方程组解的情况的判别
4.4齐次线性方程组基础解系线性方程组的通解分析
第六章n阶矩阵的特征向量和特征值
5.1特征向量和特征值
第一章线性代数中最基本的概念
基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.
1.矩阵
（1）基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等（记作A=B）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同）,并且对应的元素都相等.
（2）线性运算和转置
力叭减）法：
两个mn的矩阵A和B可以相加（减），得到的和（差）仍是mn矩阵，记作A+B（A-B）,法则为对应元素相加（减）.
数乘：
一个mn的矩阵A与应该数c可以相乘，乘积仍为mn的矩阵，记作cA,法则为A
的每个元素乘c.
这两种运算统称为先性运算，它们满足以下规律
1加法交换律
2加法结合律
3加乘分配律
4数乘结合律
A+B=B+A.
（A+B）+C=A+（B+C）.
c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA.c（d）A=（cd）A.
5cA=0c=0或A=0.
转置：
把一个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作AT（或A）.有以下规律：
1（AT）T=A.
2（A+B）T=AT+BT.
TT
3（cA）T=（cA）T.
（3）n阶矩阵几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.
n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|，称为A的行列式•
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.（其上的运算行列号相等.）下面列出几类常用的n阶矩阵，它们但是考试大纲中要求掌握的•
对角矩阵：
主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
单位矩阵：
主对角线外的的元素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.
数量矩阵：
主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE.
0的n阶矩阵.
位的元素和（j，i）位的元素总是相
（i，j）位的元素和（j，i）位的元素之和
上（下）三角矩阵：
主对角线下（上）的的元素都为对称矩阵：
满足At=A矩阵.也就是对任何i，j，（i，j）等的n阶矩阵.
反对称矩阵：
满足A=-A矩阵.也就是对任何i，j，总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.
（4）矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种：
1交换两行的上下位置
2用一个非0的常数乘某一行的各元素•
3把某一行的倍数加到另一行上•
类似地，矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们，这里省略了•初等行变换与初等列变换统称初等变换•
阶梯形矩阵：
一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：
1如果它有零行，则都出现在下面•
2每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增•
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵•这种运算是在线性代数的各类计算题中
频繁运用的基本运算，必须十分熟练•
2.向量
（1）基本概念
向量是另一种描述事物形态的数量形式•
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量，称这些数为它的分量•
书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是ai，a2，，an的向量可表示成
ari>
（ai，a2，，an）或a2，
I
I
I
an
请注意，作为向量它们并没有区别［但是作为矩阵，它们不一样（左边是1n矩阵，右边n1是矩阵）•习惯上把它们分别称为行向量和列向量•请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别•
一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量，
称为它的列向量•常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A的列向量组为
1，2，，n时（它们都是表示为列的形式!
）可记A=（1，2，，n）•
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如向量的相等，零向量等等•这里从略•
（2）线性运算和线性组合
向量也有加减法和数乘这两种线性运算，并且也有完全一样的运算规律，这里也不来复
述了•
向量组的线性组合:
设1，2，，s是一组n维向量，c1，c2，，cs是一组数，则称
C11+c22+，+css为
1，2，，s的（以c1，c2，，cs为系数的）线性组合•它也是n维向量•
3.线性方程组
（1）基本概念
线性方程组的一般形式为：
a11X1+a12X2++a1nXn=b1，
a21X计a22X2++a2nXn=b2，
彳
amX1+amX2++amnXn=bm,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等•分别称矩阵
a
厂11a
12
a
a
厂11a12
a1n
br\
A=
a21a
22
a2n
和（A|
）=
a21a22
a2n
b2
^3m1a
m2
a_m^
^^3m1am2
amn
bm^>
为方程组的系数矩阵和增广矩阵•
如果b1=b2==bm=0,则称为齐次线性方程组•把一个非齐次线性方程组的每个方程的常
数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.
线性方程组的解是一个n维向量（kl,k2,,kn）,它满足：
当每个方程中的未知数Xi都用
ki替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种：
无解，唯一解，无穷多解.
n维零向量总是齐次线性方程组的解，因此齐次线性方程组的解情况只有两种：
唯一解
（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.
（2）同解变换与矩阵消元法
线性方程组的同解变换有三种：
1交换两个方程的上下位置•
2用一个非0的常数乘某个方程•
3把某方程的倍数加到另一方程上•
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换
线性方程组的基本求解方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元法
写出方程组的增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵，再
写出所代表的阶梯形方程组（它是原方程组的同解方程组），用它求解.
第二章行列式
1.形式和意义
形式:
用n2个数排列成的一个n行n列的表格，两边界以竖线，就成为一个n阶行列式•
如果行列式的列向量组为1，2，，n，则此行列式可表示为|1，2，，n|.
意义:
是一个算式，把n2个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的
值•
请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别
当两个行列式的值相等时，就可以在它们之间写等号！
（不必形式一样，甚至阶数可不同•）
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式，记作|A|.
2.定义（完全展开式）
2阶和3阶行列式的计算公式：
aiia12
a2ia22=ana22-a12821•
ana12a13
821a22a23=a11822833+a12823331+a13a21a32-a13822831-a11823832+a12a21a33・
a31a32a33
一般地，一个n阶行列式
a11a12a1n
821a22a2n
8n18n28nn
的值是许多项的代数和，每一项都是取自不同行，不同列的n个元素的乘积，其一般形式
:
a1j1a2j2anjn，这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列，它们的列标j1j2jn构
成1,2，，n的一个全排列（称为一个n元排列），一共有n!
个n元排列，每个n元排列对应一项，因此共有n!
个项••
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定（jIj2jn）为全排列jij2jn的逆序
数（即小数排列在大数后面的现象出现的个数，例如6元排列231645有4个逆
序:
21,31,64,65,因此（231645）=4）,则所乘的是
（1）（jlj2jn）
an1an2ann
这里表示对所有n元排列求和•称上式为n阶行列式的完全展开式
j1j2jn
3•性质
行列式有以下性质：
1把行列式转置值不变，即IAJ|=|a.
2某一行（列）的公因子可提出•
3对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量则原行列式等于两个行列式之
和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量换为或所得到的行列式
4把两个行（列）向量交换，行列式的值变号•
5如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.
6如果把一个行（列）向量的倍数加到另一个行（列）向量上，则行列式的值不变•
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为（i,j）位元素aij的余子式，记作M■称Aj=（-1）i+jM为aij的代数余子式.
7行列式可对某一行（列）展开，即行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式
乘积之和.
8某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
9
a1,a2,a3,,an所决定,它的值等于
如果A与B都是方阵（不必同阶）,则
A*
=
AO
=|A|+
OB
*
B
范德蒙行列式
:
形如
11
1
1
a
1a
2a
3
an
2
2
2
2
aa2
a
3
an
n-i
n-i
n-i
n-i
a
1a2a
3an
的行列式（或其转置）.它由
B|.
ij（ajai）.
因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,,an两两不同.
4.计算
行列式的核心问题是值的计算.
（1）用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少
数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式，上（下）三角行列式的值就等于
主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.
（2）化零降阶法：
取定一行（列）,先用性质⑥把这行（列）的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用⑦，对这行（列）展开•例如设4阶行列式
11
D=-2
22
3-
取第1行，把第2,3,4行各减去第一行，得到
n（即系数矩阵为n阶矩阵）时,（D1/D,D2/D,,Dn/D）,这里D是
（3）利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式
5.克莱姆法则
克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数
如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解，这个解为
系数行列式的值，Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值两点说明：
1按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上
（实际求解方法：
对增广矩阵（A|）作初等行变换，使得A变为单位矩阵，此时变为解.）
2法则的改进，事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.
练习题一
1•计算行列式
（1）2
a2
3.计算n阶行列式
（1）123…n-1n
-123…n-1n
-1—3…n-1n
-1~2~3…1-nn
（2）1-2-2
2
2-2
4.设4阶矩阵
…-2-2
…-2
…-2
A=（，
-2
-2
5.一个三阶行列式的值为A22=-1,A23=1，贝Ua=（）.
6.x
7.
（3
8,
n-1n-2
3）,B=（,
它的第二行的元素是
3
-31-32x+2
多项式f（x）=-75-2x1
X+3-
9
3x2-2
36-6
x-2x-1x-2
求多项式f（x）=2x-2
3x-33x-24x-53x-5
x-3
2x-12x-22x-3
求f（x）
4x4x-3
5x-74x-3
8.已知x
f（x）=5x-80
-3a-14
的根为X1,x
bx+1
1
9.求行列式
0
0
-1
0…
-1
-1
10.
a
已知行列式
0
cd
x-1-yz+1
1-zX+3y
0z+3
y-2x+1
...0
……（n-1）-1
0
n
2,
它们的余子式依次为
1,2，a.
的次数，最高次项的系数和常数项
的次数•
2,x3,x4,求X1+X2+X3+X4.
的全部代数余子式的和
A21=2，
的代数余子式An=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
参考答案
._4
1.
（1）把各列都加到第1列上，提出公因子.得（4a+2）（a-2）
（2）自下而上，各行减去上一行（作两次）.得0.
2.用换行（列）的方法.得
（1）（ad-bc）|B|.（3）（a
1C2-a2C"（b1d2-b2d".
得2n-1n!
.
第3到n行各减第二行.得（n+2）!
/4.
提示：
自下而上各行减去上行.得（-1）n-12n-2（n+1）.
提示：
从第2行起，自上而下各行加上行.得1.
得40.
得8.
3.
（1）提示：
把第一行加到其它各行.
⑵
⑶
⑷
4.
6.最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中，常数项即f（0）.得9,6,0.
7.2.
8.提示：
利用特征值的性质.得10.
9.提示:
利用伴随矩阵.得（-1）n-1（n+1）/2（n-1）L
10.x=0,y=3,z=-1.
第三章矩阵乘法和可逆矩阵
1.矩阵乘法的定义和性质
定义2.1当矩阵A的列数和B相等时，和A和B可以相乘，乘积记作ABAB的行数和A相等，列数和B相等.AB的（i,j）位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量（维数相同）对应分量乘积之和.
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：
1矩阵乘法有条件.
2矩阵乘法无交换律.
3矩阵乘法无消去律，即一般地
由AB=0推不出A=0或B=0.
由ABAC和A=0推不出或B=C（无左消去律）
由BA=CA和A=0推不出或B=C（无右消去律）
把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来，这是常见错误.
矩阵乘法适合以下法则：
1加乘分配律A（B+C）=AB+AC（A+B）C=AGBC
2数乘性质（cA）B=c（AB>.
3结合律（ABC=A（BC.
4（abt=btat.
2.n阶矩阵的方幕和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘，乘积AB仍是n阶矩阵.
（1）行列式性质|AB=IAlB|.
（2）如果AB=BA则说A和B可交换.
（3）方幕设k是正整数，n阶矩阵A的k次方幕Ak即k个A的连乘积.规定A°=E.显然A的任何两个方幕都是可交换的，并且方幕运算符合指数法则：
1AkAh=Ak+h.
2（Ak）h=Akh.
但是一般地（ABkAkBk.
（3）n阶矩阵的多项式乘法公式
设f（x）=amXm+am-1Xm-1++a1x+a°,对n阶矩阵A规定
f（A）=amAm+am-1Am-1++a1A+a°E.
称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E
一般地，由于交换性问题，乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立，如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的，则乘法公式成立.例如
222
（AB）=A2AB^BA和B可交换.
（A+B）（A-B）=A2-B2A和B可交换.
A和B可交换（不是!
）有二项公式：
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