跟踪训练2
（1）（2018·沈阳调研）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．
答案 －＝1
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5，0），设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
即－＝1.
（2）（2017·全国Ⅲ）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为（3,0），（－3,0），
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
例3 已知F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A.x±y＝0B．x±y＝0
C．x±2y＝0D．2x±y＝0
答案 A
解析 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，
所以（2a）2＝（2c）2＋（4a）2－2·2c·4acos30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
命题点2 求离心率的值（或范围）
例4已知直线l为双曲线：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线，直线l与圆（x－c）2＋y2＝a2（其中c2＝a2＋b2，c>0）相交于A，B两点，若|AB|＝a，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 由题意可知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，圆（x－c）2＋y2＝a2的圆心为（c,0），半径为a.因为直线l为双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线，与圆（x－c）2＋y2＝a2（其中c2＝a2＋b2，c>0）相交于A，B两点，且|AB|＝a，所以2＋2＝a2，即4b2＝3a2，即4（c2－a2）＝3a2，即＝，又e＝，且e>1，所以e＝.
思维升华
（1）求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1（a>0，b>0）或－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ（a>0，b>0，λ≠0）．
（2）求双曲线的离心率
①求双曲线的离心率或其范围的方法
（ⅰ）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
（ⅱ）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解．
②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
k＝＝＝＝.
跟踪训练3（2018·茂名模拟）已知F1，F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A.B．4C.D.
答案 A
解析 因为△ABF2为等边三角形，
所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因为A为双曲线右支上一点，
所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，
因为B为双曲线左支上一点，
所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，
在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，
得c2＝7a2，则e2＝7，又e>1，所以e＝.故选A.
高考中离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：
一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．
例1已知椭圆E：
＋＝1（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：
3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M（0，b），则M到直线l的距离d＝≥，
∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
例2已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C．2D．2
答案 B
解析 不妨设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1（－c,0）．由AC⊥BF1知·＝0，又＝，＝，可得2c2－＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或，又e>1，
所以e＝.故选B.
1．（2018·云南民族中学月考）已知双曲线－＝1（a>0，b>0），点（4，－2）在它的一条渐近线上，则离心率等于（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 渐近线方程为y＝－x，
故（4，－2）满足方程－2＝－×4，所以＝，
所以e＝＝＝＝，故选B.
2．（2018·新余摸底）双曲线－＝1（a≠0）的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±x
C．y＝±4xD．y＝±x
答案 A
解析 根据双曲线的渐近线方程知，
y＝±x＝±2x，故选A.
3．（2018·辽宁省五校联考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1B.－y2＝1
C.－＝1D．x2－＝1
答案 D
解析 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
4．（2018·金华模拟）已知F1，F2为双曲线C：
x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案 B
解析 由双曲线的方程，得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|＝
（2）2，
解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为（ ）
A．3B．2C．－3D．－2
答案 B
解析 由题意及正弦定理得
＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知
cos∠PF2F1＝
＝＝，
∴·＝||·||·cos∠PF2F1
＝2×4×＝2.故选B.
6．（2018·安徽淮南三校联考）已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（ ）
A．4＋B．4（1＋）
C．2（＋）D.＋3
答案 B
解析 由题意知F（，0），设左焦点为F0，则F0（－，0），由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4（＋1），当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
7．已知离心率为的双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若
＝16，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32B．16C．84D．4
答案 B
解析 由题意知F2（c,0），不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由
＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
8．（2018·山东泰安联考）已知双曲线C1：
－＝1（a>0，b>0），圆C2：
x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C．（1,2）D．（2，＋∞）
答案 A
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：
x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为（x－a）2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为（a,0），半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4（c2－a2），即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.
9．（2016·北京）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为（，0），则a＝________；b＝________.
答案 1 2
解析 由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
10．（2018·河北名校名师俱乐部二调）已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1（b>0）的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
答案 4
解析 由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形．
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，
∴
＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
11．（2018·安阳模拟）已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．
答案 （0,2）
解析 对于焦点在x轴上的双曲线－＝1（a>0，b>0），它的焦点（c,0）到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得412．（2018·福建六校联考）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，
又△APQ的一个内角为60°，
∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，
在△PFF1中，由余弦定理得，
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝（舍负）．
13．（2018·南昌调研）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 如图，
直线PF2的方程为y＝－（x－c），设直线PF2与直线y＝x的交
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