完整版培优专题7分式的运算含答案.docx
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完整版培优专题7分式的运算含答案
10、分式的运算
【知识精读】
1.分式的乘除法法则
a
c
ac
b
d
bd
；
a
c
a
dad
b
d
b
cbe
当分子、
分母
:
是多项式时，先进行因式分解再约分。
2.分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
1取各分母系数的最小公倍数；
2凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幕的因式都要取；
3相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则
abab
ccc
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3.分式乘方的法则
anan
（）n（n为正整数）
bb
4.分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式;
（3）运算中及时约分、化简;
（4）注意运算律的正确使用；
（5）结果应为最简分式或整式。
F面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】
故选C
说明：
先将分子、分母分解因式，再约分。
化成同分母，运算就简单了。
a
ab
abe
aba1
abeaba
abeabeab
解：
原式
ab
abc
aba11abaa1ab
aab1
aba1
1
-）（12旦）
nmmn
分析：
本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
”“nm、_
解：
（1）（1
mmn
nm（mn）mn
2m5n0
5
nn
故原式2
5nn
2
的值是多少?
分析：
已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解:
由已知条件得：
丄丄3,-14，丄丄5
abbcca
所以2（丄
a
1b
-）
c
12
口1
1
1
即一
6
a
b
c
abbc
ca
1
11门
又因为
6
abc
c
ba
abc
1
所以一
ab
bc
ca
6
x31
2x
1
x24
例5:
化简：
（
—）
x2
x
2
x1
（x3
解一：
原式-
1）（x
2）
（x21）（x2）（x2）（x2）
（x2）（x2）x1
4c3c2,
x3x2x4
x1
4232
（xx）3（x1）（x1）
x1
22
x（x1）（x1）3（x1）（xx1）（x1）（x1）
x1
（x
1）（x3
2x
3x
2
3x3
x
1）
x
1
3x
2x2
4x
4
解二：
原式•区■
1）（x2
x
1）
（x
2）（x
2）
（x1）（x1）（x
2）（x2）
x
2
x1
x2
x1
（x2
x
1）（x
2）
（x
1）（x
2）
3x
2x
2
x2x
2x
2x2
3x2
3x
2x2
4x
4
说明：
解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多
项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。
22
例1、计算:
nmmn
m2nm24mn4n2
解：
原式1
mn（m2n）2
m2n（mn）（mn）
m
2n
1
m
n
mn
m2n
m
n
3n
mn
例2、已知：
M
2xy
2
y
2
22
2
x
yx
y
解:
2xy
2
y
2
xy
x
y
xy
2xy
2
y
2小
x2xy
2
y
22
x
y
2
M
x
2
2
22
x
y
xy
Mx2
说明：
分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。
说明：
分式加减运算后，等
，则M
xy
，则其分子也必然相同，即可求出
中考点拨:
例1：
计算:
[（ab）2
（ab）2'
解一：
原式
22
（ab）（ab）
22
（ab）（ab）
abab
（ab）（ab）
（ab）（ab）
4ab
22
2b
（ab）2（ab）2
2a
（ab）（ab）
2a
~2ab
解二：
原式
ab
〜）（
代）
（ab）（ab）
2a
a2b2
此题两种方
说明：
在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。
法的繁简程度一目了然。
例2:
若a2
b2
3ab，则（1
32bb3）（1
上L）的值等于
ab
ab
1
2
A.-
B.0
C.1
D.-
2
3
3a
‘33
b2ba
b2b
解：
原式
33
ab
ab
3a
b3a
b
3
.3
b
a
ba
（a
b）（a2
ab
b2）
a
b
（a
b）（a2
ab
b2）
a
b
2a
abb2
3ab
ab
2a
abb2
3ab
ab
2ab1
4ab2
故选A
【实战模拟】
i.已知:
a
b
2,
ab
5，则b
的值等于（
a
）
2
i4
i9
24
A.
—
B
—
C.
D.
5
5
i
3
5
5
2.已知
2x
i6x
i
0,
3
求x
的值。
x
3•计算:
【试题答案】
故选
2
16[3
说明:
必16[3但如]
xx
162594144
1
1
1
1
（x1）（x
2）
（x2）（x
3）
（x3）（x4）（x
4）（x5）
1
1
11
111
1
x1x
2
x2x
3
x3x4x4
x5
此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。
3.解：
原式
11
x1x5
4
x26x5
说明：
本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。
A
B
a
1a1
a4
aa
1a4
2a21
2a
1a31
（a2
1）（a3
1）
a（a1）2
0
（a2
3
1）（a1）
A
B
5.证明：
ab
c0
（a
b
c）2
0,即a2
b2
c22ab
2bc
2ac0
ab
bc
ac
1（2
2（a
b2
c2）
1
又_
a
1
1
bcac
ab
1z2
（a
16
b2c
2）
b
c
abc
~3a
abc8
4.解：
设a99991111，则A”'B
a、b、c均不为零
2,22
abc0
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