B.AB+CD>EF
D.AB+CD与EF的大小关系不能确定
（江苏省竞赛试题）
解题思路：
将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.
【例3】
（1）如图1，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，OO过A，D，E三点，求OO的半径.
⑵如图2,若多边形ABDEC是由等腰厶ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2,OO过A,D,E三点，问OO的半径是否改变？
（《时代学习报》数学文化节试题）
解题思路：
对于⑴，给出不同解法；对于⑵，O的半径不改变，解法类似⑴.
等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形.
三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.
【例4】如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC,D为BAC的中点，DE丄AB于E.求证:
22BD2-AD2=ABIIAC.
（天津市竞赛试题）
解题思路：
从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法•同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.
【例5】在厶ABC中,M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM—3.若P是线段AC上的一个动点，OO是过P,M,C三点的圆，过P作PD//AB交OO于点D.
⑴求证：
M是AB的中点；
⑵求PD的长.（江苏省竞赛试题）
解题思路：
对于⑴，运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化.
【例6】已知AD是OO的直径，AB,AC是弦，且AB=AC.
求弦FG的长；
⑶如图3,在⑵中若弦
BC经过半径0A的中点E,P为劣弧上一动点，连结PA,PB,PD,PF,
⑵如图2,若弦BC经过半径OA的中点E,F是CD的中点,
G是FB的中点，OO的半径为1,
PA+PF
求证：
的定值.
PBPD
（武汉市调考试题）
解题思路：
对于⑶，先证明/BPA=/DPF=30°,/BPD=60°,这是解题的基础，由此可导出下列解
题突破口的不同思路：
①由/
BPA==/DPF=30°，构建直角三角形；②构造PA+PF,PB+PD相关线段;
③取BD的中点M，连结PM，联想常规命题；等等.
本例实质是借用了下列问题：
⑵如图2,PA+PB=PH;
⑴如图1,FA+PB=、.3PH;
⑶进一步，如图3,
a
若/APB=a,PH平分/APB,贝UPA+PB=2PHcos—为定
值.
1
图3
8cm，则梯形的面积为cm2.
CD是5cm，原轮片的直径是
能力训练
A级
1.圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和
2.如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm,高
第2题图
第3题图
3.如图，已知CD为半圆的直径，AB丄CD于B.设/
A0B=a,贝U1|tan—=
BD2
（黑龙江省中考试题）
4.如图，在RtAABC中，/C=90°,AC=2,BC=1,
若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径
的圆交AB于P,则AP=
（江苏省宿迁市中考试题）
5.如图,
AB是半圆0的直径，点P从点0出发，沿OA—AB—BO的路径运动一周•设0P长为
S,运动时间为
t,则下列图形能大致地刻画
s与t之间的关系是（
A“
6.如图，在以那么AC的长为（
A.0.5cm
0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦）
B.
AB交小圆于
（太原市中考试题）
D两点，AB=10cm,CD=6cm,
1cm
C.1.5cm
D.2cm
B
那么A,B两点到直线CD的距离
7.如图，AB为O0的直径，CD是弦.若AB=10cm,CD=8cm,之和为（）
A.12cm
B.10cm
C.8cm
D.6cm
22
&如图，半径为2的OO中，弦AB与弦CD垂直相交于点P,连结0P.若0P=1，求AB+CD
的值.
（黑龙江省竞赛试题）
9.如图，AM是O0的直径，过O0上一点B作BN丄AM于N，其延长线交O0于点C,弦CD交AM于点E.
⑴女口果CD丄AB，求证：
EN=NM;
⑵如果弦CD交AB于点F,且CD=AB，求证：
CE2=EF?
ED；
⑶如果弦CD,AB的延长线交于点F,且CD=AB,那么⑵的结论是否仍成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（重庆市中考试题）
（第9题图）
1
10.如图，O0的内接四边形ABMC中，AB>AC,M是BC的中点，MH丄AB于点H.求证：
BH=—
2
（AB-AC）.
（河南省竞赛试题）
C
（第10题图）
11.⑴如图1，圆内接厶ABC中，AB=BC=CA,0D,0E为O0的半径，0D丄BC于点F,0E丄AC1
于点G.求证：
阴影部分四边形0FCG的面积是厶ABC面积的-.
3
⑵如图2，若/D0E保持1200角度不变，求证：
当/D0E绕着0点旋转时，由两条半径和厶ABC
1
的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的-.
3
12.如图，正方形ABCD的顶点A,D和正方形JKLM的顶点K,L在一个以5为半径的OO上,点J,M在线段BC上.若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长.
（上海市竞赛试题）
2.如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A上,若BC=5,则折痕在厶ABC
内的部分DE长为.（宁波市中考试题）
3.如图，已知OO的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°,BD的度
数为36°.动点P在AB上，则CP+PD的最小值为.
（陕西省竞赛试题）
4•如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（
（武汉市选拔赛试题）
第4题图
7.如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的OO;对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P,AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.
（全国初中数学联赛试题）
&如图，已知点A,B,C,D顺次在OO上，AB=BD,BM丄AC于M.求证：
AM=DC+CM.
（江苏省竞赛试题）
9.如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的
圆与AB的延长线交于点D,CD=AO，如果AB=10,AO>BO,且AO,BO是x的二次方程x2kx4^0
的两个根.
⑴求点D的坐标；
1
⑵若点P在直径AC上，且AP=AC,判断点（—2,10）是否在过D,P两点的直线上，并说明理
4
由.（河南省中考试题）
PB之间存在怎样的等量关系？
写出并证明你的结论.
11.如图，已知弦CD垂直于OO的直径AB于L,弦AE平分半径0C于H.求证：
弦DE平分弦
BC于M.
（全俄奥林匹克竞赛试题）
专题18圆的对称性
例115°或75°提示：
分AB、AC在圆心0同侧、异侧两种情况讨论.
例2B
例3⑴解法一：
如图，将正方形BDEC上的等边厶ABC向下平移，使其底边与DE重合，得等边△ODE.•/A、B、C的对应点是0、D、E,「.OD=AB,0E=AC,AO=BD.v等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2,•••AB=BD=AC=2,aOD=OA=0E=2.vA、D、E三点确定一圆，O到A、D、E三点的距离相等.•••O点为圆心，OA为半径，
F,延长交DE
•该圆的半径为2•解法二：
如图，将△ABC平移到△ODE位置，并作AF丄BC,垂足为于H.•••△ABC为等边三角形，•AF垂直平分BC,v四边形BDEC为正方形，•AH垂直平分正方形边DE.又vDE是圆的弦，•AH必过圆心，记圆心为O点，并设OO的半径为r.在RtAABF中，v/BAF=30°,•AF=ABcos30°=2x2^=^3,•OH=AF
2
+FH—OA=.3+2-r.在RtAODH中，OH2+DH2=OD2,a（..32—r）2+12=r2,
解得r=2.
⑵OO的半径不变，因为AB=AC=BD=2,此题求法和⑴一样，OO的半径为2.
例4提示：
BD2—AD2=（BE2+ED2）—（AE2+ED2）=（BE+AE）（BE—AE）=AB（BE—AE），只需要证明AC=BE—AE即可.在BA上截取BF=AC.连DF可证明△DBFDCA,贝yDF=AD,AE=EF.
例5
（1）由条件，得（AM—1）2+（BM—1）2+（CM—1）2=0,•AM=BM=CM=1.因此，M是AB中点,
且/ACB=90°
（2）由⑴知，/A=ZPCM，又PD//AB，•/A=ZCPD，/PCM=ZCPD，因此,
CD=PM,CPM=DCP，于是有DP=CM=1.
例6
（1）连结BD、CD,vAD是直径，所以/ABD=ZACD=90°又vAB=AC,AD=AD,•△ABD
^△ACD，•/BAD=ZDAC,•AD平分/BAC.
（2）连结OB、OC,贝UOA丄BC,又AE=OE,得AB
=BO=OA=OC,AAOB,△AOC都为等边三角形，连结OG,则/GOF=90°FG=.2.（3）取BD的中点M，过M作MS丄PA于S,MT丄PF于T,连AM,FM.ZBPM=ZDPM=30°/APM=Z
1
FPM=60°贝UMS=MT,MA=MF,RtAASM^RtAFTM,Rt^PMS^RtAPMF.•PS=—PM.•PA
2
「PA亠pfpm1.；3
+PF=2PS=2PT=PM.同理可证：
PB+PD=.3PM.•为定值.
PB+PDV3PMV33
A级1.49或72.853.14.35.C6.D7.D8.过O点作OE丄AB于E,OF丄
3
CD于F，连结OD,OA，贝UAE=BE,CF=DF,vOE2=AO2—AE2=（4一-AB2）,OF2=OD2—FD2=
4
4--CD2,•OE2+OF2=（4一丄AB2）+（4一丄CD2）=PF2+OF2=OP2=12,即4一丄AB2+4」CD2=1,44444
故AB2+CD2=28.得X1=—3（舍去），X2=7,•正方形JKLM的边长为严.
55
B级126—3提示：
作OM丄CD于M,则EC=*EF—CD）.2晋3/.3R提示:
设D'是D点关于直径AB对称的点，连结CD'交AB于P,贝UP点使CP+PD最小，ZCOD'=120°,CP+PD=CP+PD'=CD'=3R.
F+12=r2厂
4.D提示：
如图:
，得（2-a）2+
（1）2=r2，解得a=16,=器
5.A提示：
连结0M，贝UOM丄AC.
6•解法一：
连结0D交AC于点F,tD为AC的中点，二AC丄0D,AF=CF.又DE丄AB,二/DEO=Z
AFO.•••△ODEOAF.•••AF=DE.•/DE=3「.AC=6•解法二：
延长DE交O0于点G,易证AC=2AD=
ccc
AD+AG=DG，贝UDG=AC=2DE=6.
7.连结BO并延长交AD于H，因AB=BD，故BH丄AD，又/ADC=90°,贝UBH//CD，从而△OPB
CPD，得CD=CP，即C5=门°±6,解得CD=1.于是AD=寸AC2-CD2=2许，又OH=|cD=g，则AB=,'AH2+BH2=2+4=6,BC=AC2-AB2=9-6=,3.•四边形ABCD的周长为1+22+
3+6.
8.
提示：
延长DC至N,使CN=CM，连结BN，则/BCN=ZBAD=ZBDA=ZBCA，可证得厶BCN也△BCM,Rt△BAM也Rt△BDN.
9.⑴AO=8,BO=6,AB=BC=10,AD=CO=16,DB=AD—AB=6，过D作DE丄BC于E,由Rt
4824/、
5D（—斤，R⑵A（0，—8）,C（—16,0）,
10.⑴在AE上截取AF=BP,连结AC,BC,FC,PC,可证明△CAFCBP,CF=CP.又CD丄PA,贝UPE=FE,故AE=PB+PE.⑵AE=PE—PB,在PE上截取PF=PB，连结AC,BC,FC,PC,可证明△CPF^ACPB,CF=CB=CA.又CD丄AP，贝UFE=AE，故AE=PE—PB.
11.连结BD，/CBA=ZDBA,CB=BD，由/AOC=ZCBD，/A=ZBDE，得△AOHDBM,•
OH=BM_1
OA=BD=2，
1即BM=^BC.
12.
延长AC至点E,使CE=BC,连结MA,MB,ME,BE.•/AD=DC+CE=DE,又MD丄AE,•MA=ME,/MAE=ZMEA.v/MAE=ZMBC,,
BC得/CEB=/CBE，•/MEB=/MBE，得MA=ME=MB，即M为中点，而MN丄AB,•MN是OO的直径.
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