专题18圆的对称性.docx

1、专题18圆的对称性专题18圆的对称性阅读与思考圆是- -个对称图形.首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同 时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这 是圆特有的旋转不变性.由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、 弦心距、弧之间的关系定理及推论这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面 有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.熟悉以下基本图形和以上基本结论.我国战国时期科学家墨翟在墨经中

2、写道： “圆，一中间长也.”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了 深深的烙印.例题与求解【例1】在半径为1的O O中，弦AB, AC的长分别为 J3和J2，则/ BAC度数为 （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注 AB与AC有不同位置关系.由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问 题的解决.【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧 AB , CD , EF 如果AB +CD = EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）A. AB+CD = EF

3、C. AB+CDEFD. AB+CD与EF的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.【例3】（1）如图1，已知多边形 ABDEC是由边长为2的等边三角形 ABC和正方形BDEC组成， O O过A，D，E三点，求O O的半径. 如图2,若多边形 ABDEC是由等腰厶ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2,O O过A, D , E三点，问O O的半径是否改变？（时代学习报数学文化节试题）解题思路：对于，给出不同解法；对于，O的半径不改变，解法类似.等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个 从形式到结

4、果依然完美的图形.三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.【例4】如图，已知圆内接 ABC中，ABAC, D为BAC的中点，DE丄AB于E .求证:2 2 BD2-AD2=ABIIAC .（天津市竞赛试题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法同样，圆也为解决直 线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等 或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.【例5】在厶ABC中,M是AB上一点，且 AM2+BM2+CM2=2AM+

5、2BM+2CM 3 .若P是线段AC 上的一个动点，O O是过P, M , C三点的圆，过 P作PD / AB交O O于点D .求证：M是AB的中点；求PD的长. （江苏省竞赛试题）解题思路：对于，运用配方法求出 AM , BM , CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于， 促成圆周角与弧、弦之间的转化.【例6】已知AD是O O的直径，AB , AC是弦，且AB=AC .求弦FG的长；如图3,在中若弦BC经过半径 0A的中点E, P为劣弧上一动点，连结 PA, PB, PD , PF , 如图2,若弦BC经过半径OA的中点E, F是CD的中点,G是FB的中点，O O的半径为1,PA + PF

6、求证： 的定值.PB PD（武汉市调考试题）解题思路：对于，先证明/ BPA= / DPF=30,/ BPD=60,这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：由/BPA= / DPF=30，构建直角三角形；构造 PA+PF, PB+PD相关线段;取BD的中点M，连结PM，联想常规命题；等等.本例实质是借用了下列问题：如图 2, PA+PB=PH ;如图 1 , FA+PB=、.3 PH ;进一步，如图3 ,a若 / APB= a , PH 平分/ APB ,贝U PA+PB=2PHcos 为定值.1图38cm，则梯形的面积为 cm2.CD是5cm，原轮片的直径是 能力训练A级1. 圆

7、的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为 6cm和2. 如图，残破的轮片上，弓形的弦 AB长是40cm,高第2题图第3题图3.如图，已知 CD为半圆的直径， AB丄CD于B.设/A0B= a,贝U 1 |tan =BD 2（黑龙江省中考试题）4.如图，在 RtAABC 中，/ C=90, AC=2 , BC=1,若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P,则AP =（江苏省宿迁市中考试题）5.如图,AB是半圆0的直径，点P从点0出发，沿OA AB BO的路径运动一周设0P长为S,运动时间为t,则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（A “6.如图，在以 那么AC的长为（A. 0.5

8、cm0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 ）B.AB交小圆于（太原市中考试题）D 两点，AB=10cm, CD=6cm ,1cmC. 1.5cmD. 2 cmB那么A, B两点到直线CD的距离7 .如图，AB为O 0的直径，CD是弦.若 AB=10cm , CD=8cm , 之和为（ ）A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cm2 2&如图，半径为 2的O O中，弦AB与弦CD垂直相交于点 P,连结0P .若0P=1，求AB +CD的值.（黑龙江省竞赛试题）9.如图，AM是O 0的直径，过O 0上一点B作BN丄AM于N，其延长线交O 0于点C,弦CD交 AM于点E. 女口果 CD丄AB，求证

9、：EN=NM; 如果弦CD交AB于点F,且CD=AB，求证：CE2=EF?ED； 如果弦CD, AB的延长线交于点 F,且CD=AB ,那么的结论是否仍成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由.（重庆市中考试题）（第 9题图）110.如图，O0的内接四边形 ABMC中，ABAC, M是BC的中点，MH丄AB于点H .求证：BH = 2（AB-AC）.（河南省竞赛试题）C（第 10题图）11.如图1，圆内接厶ABC中，AB=BC=CA, 0D , 0E为O 0的半径，0D丄BC于点F, 0E丄AC 1于点G.求证：阴影部分四边形 0FCG的面积是厶ABC面积的-.3如图2，若/ D0E保持1

10、200角度不变，求证：当/ D0E绕着0点旋转时，由两条半径和厶 ABC1的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是 ABC的面积的-.312.如图，正方形 ABCD的顶点A, D和正方形JKLM的顶点K , L在一个以5为半径的O O上, 点J, M在线段BC上.若正方形 ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长.（上海市竞赛试题）2. 如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A上,若BC=5,则折痕在厶ABC内的部分DE长为 . （宁波市中考试题）3. 如图，已知O O的半径为R, C, D是直径AB同侧圆周上的两点， AC的度数为96, BD的度数为36 .动点P在A

11、B上，则CP + PD的最小值为 .（陕西省竞赛试题）4如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（武汉市选拔赛试题）第4题图7.如图，已知四边形 ABCD内接于直径为3的OO;对角线AC是直径，对角线 AC和BD的交点 为P, AB=BD，且PC=0.6，求四边形 ABCD的周长.（全国初中数学联赛试题）&如图，已知点 A, B, C, D顺次在O O上，AB = BD , BM丄AC于M .求证：AM=DC+CM .（江苏省竞赛试题）9.如图，在直角坐体系中，点 B，C在x轴的负半轴上，点 A在y轴的负半轴上，以 AC为直径的圆与AB的延长线交于点 D,

12、 CD=AO，如果AB=10,AOBO,且AO,BO是x的二次方程x2 kx 4 0的两个根.求点D的坐标；1 若点P在直径AC上，且AP= AC,判断点（2, 10）是否在过D , P两点的直线上，并说明理4由. （河南省中考试题）PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论.11.如图，已知弦 CD垂直于O O的直径AB于L,弦AE平分半径 0C于H.求证：弦 DE平分弦BC 于 M .（全俄奥林匹克竞赛试题）专题18圆的对称性例1 15或75提示：分AB、AC在圆心0同侧、异侧两种情况讨论.例2 B例3 解法一：如图，将正方形 BDEC上的等边厶ABC向下平移，使其底边与 DE重 合，

13、得等边ODE . /A、B、C 的对应点是 0、D、E,.OD = AB, 0E= AC, AO = BD. v 等边 ABC 和正方形 BDEC 的边长都是 2, AB= BD = AC = 2, a OD = OA = 0E= 2. v A、D、E三点确定一圆，O到A、D、E三点的距离相等. O点为圆心，OA为半径，F,延长交DE该圆的半径为 2解法二：如图，将 ABC平移到ODE位置，并作 AF丄BC ,垂足为 于H . ABC为等边三角形， AF垂直平分BC,v四边形 BDEC为正方形， AH垂 直平分正方形边 DE.又v DE是圆的弦， AH必过圆心，记圆心为 O点，并设O O的半

14、径为 r.在 RtAABF 中，v/ BAF= 30 , AF = AB cos30= 2x2 = 3 , OH = AF2+ FH OA = .3 + 2- r.在 RtAODH 中，OH2+ DH2= OD2,a (. 3 2 r )2+ 12= r2,解得r = 2.O O的半径不变，因为 AB = AC= BD = 2,此题求法和 一样，O O的半径为2.例 4 提示：BD2 AD2= (BE2+ ED2) (AE2+ ED2) = (BE + AE)(BE AE) = AB(BE AE)，只需要证明 AC = BE AE 即可.在 BA 上截取 BF = AC.连 DF 可证明 DB

15、F DCA,贝y DF = AD, AE= EF .例 5 (1)由条件，得(AM 1)2+ (BM 1)2+ (CM 1)2= 0, AM = BM = CM = 1.因此，M 是 AB 中点,且/ ACB = 90 (2)由知，/ A =Z PCM，又 PD / AB，/A =Z CPD，/ PCM = Z CPD，因此,CD=PM,CPM =DCP，于是有 DP = CM = 1.例 6 (1)连结 BD、CD , v AD 是直径，所以/ ABD = Z ACD = 90 又v AB = AC, AD = AD , ABDACD，/ BAD = Z DAC , AD 平分/ BAC .

16、 (2)连结 OB、OC ,贝U OA 丄 BC,又 AE= OE ,得 AB=BO = OA = OC,A AOB, AOC 都为等边三角形，连结 OG,则/ GOF = 90 FG = . 2 . (3)取 BD 的中点 M，过 M 作 MS丄PA 于 S, MT丄 PF 于 T,连 AM , FM . Z BPM = Z DPM = 30 / APM = Z1FPM = 60 贝U MS= MT, MA = MF , RtAASM RtA FTM , RtPMS RtAPMF . PS= PM . PA2 PA 亠 pf pm 1 . ；3+ PF = 2PS= 2PT= PM .同理可

17、证：PB + PD = . 3PM . 为定值.PB+PD V3PM V3 3A 级 1. 49 或 7 2.85 3. 1 4. 3 5. C 6. D 7. D 8.过 O 点作 OE丄 AB 于 E, OF 丄3CD 于 F，连结 OD , OA，贝U AE = BE , CF = DF , v OE2= AO2 AE2= (4 一 -AB2), OF2 = OD2 FD2 =44 - CD2 , OE2 + OF2= (4 一丄 AB2) + (4 一丄CD2 )= PF2+ OF2= OP2= 12 ,即 4一丄 AB2 + 4CD2 = 1 , 4 4 4 4 4故AB2 + CD

18、2= 28.得X1= 3(舍去)，X2 = 7 , 正方形JKLM的边长为 严.5 5B级12 6 3 提示：作OM丄CD于M ,则EC= *EF CD). 2晋 3/ .3R 提示:设D是D点关于 直径AB对称的点，连结CD交AB于P ,贝U P点使CP+ PD最小，Z COD = 120 , CP+ PD = CP + PD =CD = 3R.F+ 12= r2 厂4 .D 提示：如图:，得(2 - a)2+ (1)2= r2，解得 a= 16,=器5.A提示：连结0M，贝U OM丄AC.6解法一：连结0D交AC于点F,t D为AC的中点，二AC丄0D , AF = CF.又DE丄AB ,

19、二/ DEO = ZAFO. ODEOAF. AF = DE. / DE = 3. AC = 6解法二：延长 DE 交O 0 于点 G,易证 AC = 2AD =c c cAD + AG = DG，贝U DG = AC = 2DE = 6.7.连结BO并延长交 AD于H，因AB = BD，故BH丄AD，又/ ADC = 90,贝U BH / CD，从而 OPBCPD，得CD = CP，即 C5 =门6,解得 CD = 1.于是 AD =寸AC2-CD2 = 2许，又 OH = |cD = g， 则 AB = ,AH 2 + BH2= 2+ 4= 6, BC = AC2- AB2= 9-6 =

20、, 3. 四边形 ABCD 的周长为 1 + 2 2 +,3 + 6.8.提示：延长DC至N,使CN = CM，连结BN，则/ BCN = Z BAD =Z BDA =Z BCA，可证得厶BCN也 BCM , Rt BAM 也 Rt BDN.9.AO = 8, BO = 6, AB = BC = 10, AD = CO= 16, DB = AD AB = 6，过 D 作 DE 丄 BC 于 E,由 Rt48 24 / 、5 D(斤，RA(0， 8), C( 16 , 0),10.在 AE 上截取 AF = BP,连结 AC , BC, FC , PC,可证明 CAF CBP , CF= CP.

21、又 CD 丄 PA, 贝U PE= FE, 故 AE = PB+ PE.AE = PE PB, 在 PE 上截取 PF = PB，连结 AC , BC, FC, PC,可证明 CPFA CPB, CF= CB = CA.又 CD 丄 AP，贝U FE = AE，故 AE = PE PB.11.连结 BD，/ CBA =Z DBA , CB = BD，由/ AOC = Z CBD，/ A = Z BDE，得 AOH DBM , OH = BM _ 1OA = BD = 2，1 即 BM = BC.12.延长 AC 至点 E,使 CE = BC,连结 MA , MB , ME , BE. / AD = DC + CE = DE,又 MD 丄AE , MA = ME, / MAE =Z MEA. v/ MAE =Z MBC ,BC 得/ CEB = / CBE，/ MEB =/ MBE，得 MA = ME = MB，即 M 为 中点，而 MN丄AB , MN是O O的直径.