（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
【答案】
（1）S阴影=（a2-b2）；
（2）PC=6.
【解析】
试题分析：
（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇
形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据
此求出阴影部分的面积．
（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：
BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角
形，进而可根据勾股定理求出PC的长．
试题解析：
（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB=S△P'CB，
S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：
△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′，=4P′C=PA=2，∠PBP′=90，°
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′∠C=BP′C-∠BP′P=135-45°=90°，°即△PP′C是直角三角形．
PC==6．
考点：
1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．
5．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）如图①，求证：
四边形ABCD为菱形；
（2）如图②，若BC的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE的长．
【答案】
（1）见解析；
（2）
π
2
【解析】
试题分析：
（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；
（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．
试题解析：
证明：
（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形
ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边
形ABCD是菱形；
（2）由
（1）知，四边形ABCD是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，
∴OF⊥AD，且OF1AD3，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．
2
在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CG=1，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．
CD
2
?
30
3
连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴AE
180
．
2
点睛：
本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
6．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.
（1）求证：
CF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，tan∠ACD＝
1
，求AB和FC的长．
2
【答案】
（1）见解析;
（2）⑵AB=20，CF
40
3
【解析】
分析：
（
1）连接OC，根据圆周角定理证明
OC⊥CF即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然
后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定
理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解：
⑴证明：
连结OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C在⊙O上
∴CF是⊙O的切线
⑵∵AE=4，tan∠ACD
AE1
EC2
∴CE=8
∵直径AB⊥弦CD于点E
∴?
?
ADAC
∵∠FCA＝∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan∠B=tan∠ACD=CE=1
BE2
∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷2-AE=6
∵CE⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE∽△CFE
∴OCOECFCE
即10=6CF8
40
∴CF
3
点睛：
此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合
相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的
突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.
7．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截
面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为
4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】10cm
【解析】
分析：
先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在
Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．
详解：
解：
过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
11
∴BD=AB=×16=8cm
22
由题意可知，CD=4cm
∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
（x﹣4）2+82=x2
解得：
x=10．
答：
这个圆形截面的半径为10cm．
点睛：
此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．
8．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程
中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0＜t＜20）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以
点C为圆心，1t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．
2
9t2?
（0
t
2）
【答案】
（1）t=2s或10s；
（2）①S=
7t2
50t50（2
t
10）
t2
2
40t
400?
（10
t
20）
；②100cm2．
【解析】
试题分析：
（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；
（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）
2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜
10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形
EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：
解：
（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：
AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2
如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．
综上所述：
t=2s或10s时，点H落在AC边上．
（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2
如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1（5t﹣10）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
2
如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣1（30﹣3t）2=﹣
2
7t2+50t﹣50．
2
如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
9t2?
（0
t
2）
综上所述：
S=
7t2
50t
50（2
t
10）．
t2
2
40t
400?
（10
t
20）
②如图7中，当
0＜t≤5时，
1
t+3t=15，解得：
t=
30，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，
27
1
t+20﹣t=15，解得：
t=10，此时S=100．
2
综上所述：
当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2
点睛：
本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
9．阅读下列材料：
如图1，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2外公切线，A、B为切点，求证：
AC⊥BC
证明：
过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D，
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90．°
即AC⊥BC．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？
请写出两个定理的名称或内容；
（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图
2），已知A、B两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式；
（3）根据
（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心
O1O2
上，并说明理由．
【答案】（1
）见解析；（
2）y
1
2
3
2
x
x2；（3）见解析
2
【解析】
试题分析：
（
1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是
180°，可知用
了三角形内角和定理；
（2）先根据勾股定理求出
C点坐标，再用待定系数法即可求出经过
A、B、C三点的抛物
线的函数解析式；
（3）过C作两圆的公切线，交
AB于点D，由切线长定理可求出
D点坐标，根据C,D
两点的坐标可求出过C,D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的
关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适
合即可．
试题解析：
（1）DA、DC是eO1的切线，
∴DA=DC.应用的是切线长定理；
DACDCA
DCB
DBC180o，应用的是三角形内角和定理.
（2）设C点坐标为（0,y）,则AB2
AC2
BC2，
2
2
y2，
即41
4y212
即25172y2,解得y=2（舍去）或y=-2.
故C点坐标为（0,-2），
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为
yax2
bxc，
1
a
16a
4b
c
0
2
3
则ab
c
0
解得b
c
2,
2
，
c2
故所求二次函数的解析式为y
1x2
3x2.
2
2
（3）过C作两圆的公切线
CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A（-4,0）,B（1,0）可知D（
3,0），
2
设过CD两点的直线为y=kx+b,则
3k
b
0
k
4
2
解得
3
b
2，
b
2，
故此一次函数的解析式为y
4x
2，
3
∵过O1,O2
的直线必过C点且与直线y
4
2垂直，
x
3
故过O1,O2的直线的解析式为
y
3x
2，
4
由
（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为
（
3,
25），
2
8
3
3
2
25
O1O2上.
代入直线解析式得
2
故这条抛物线的顶点落在两圆的连心
4
8
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