中考数学圆的综合综合经典题附答案doc.docx

1、中考数学圆的综合综合经典题附答案doc2020-2021中考数学圆的综合综合经典题附答案一、圆的综合1如图， M 交 x 轴于 B、 C 两点，交 y 轴于 A，点 M 的纵坐标为 2 B（ 3 3 ， O），C（ 3 ，O）（1）求 M 的半径；（2）若 CE AB 于 H，交 y 轴于 F，求证： EH=FH（3）在（ 2）的条件下求 AF 的长【答案】（ 1） 4；（ 2）见解析 ;（3 ）4【解析】【分析】（1）过 M 作 MT BC 于 T 连 BM，由垂径定理可求出BT 的长，再由勾股定理即可求出BM 的长；（2）连接 AE，由圆周角定理可得出 AEC= ABC，再由 AAS定理得

2、出 AEH AFH，进而可得出结论；（3）先由（ 1）中 BMT 的边长确定出 BMT 的度数，再由直角三角形的性质可求出 CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形 AFCG为平行四边形，进而可求出答案【详解】（1）如图（一），过 M 作 MTBC 于 T 连 BM， BC 是 O 的一条弦， MT 是垂直于 BC的直径，1BT=TC= BC=2 3 ，2BM= 12 4 =4；（2）如图（二），连接 AE，则 AEC= ABC，CE AB， HBC+BCH=90 在 COF中， OFC+ OCF=90 ， HBC= OFC= AFH，在 AEH 和 AFH 中，AFH AEH AHF A

3、HE ，AH AH AEH AFH（ AAS），EH=FH；（3）由（ 1）易知， BMT= BAC=60，作直径 BG，连 CG，则 BGC= BAC=60， O 的半径为 4，CG=4，连 AG， BCG=90 ，CGx 轴，CGAF， BAG=90 ，AG AB， CE AB，AG CE，四边形 AFCG为平行四边形，AF=CG=4【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键2如图 1，已知扇形MON 的半径为2 ， MON=90 ，点 B 在弧 MN 上移动，联结BM ，作 OD BM，垂足为点D， C 为线段O

4、D 上一点，且 OC=BM，联结 BC并延长交半径OM 于点A，设 OA=x， COM 的正切值为 y.（1）如图 2，当 ABOM 时，求证： AM=AC；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当 OAC为等腰三角形时，求 x 的值 .x.( 0 x2 );(3) x142 .【答案】(1)证明见解析 ;(2) yx22【解析】分析：（ 1）先判断出 ABM= DOM，进而判断出 OAC BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM ，进而得出DMME1x），再判断出BDAE，进而得出 AE= （ 22OA OC 2DM，即可得出结论；OE OD OD（3）分三种情况利

5、用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论详解：（ 1） OD BM， AB OM， ODM= BAM=90 ABM+ M= DOM + M， ABM=DOM OAC= BAM，OC=BM， OAC BAM， AC=AM （2）如图 2，过点 D 作 DEAB，交 OM 于点 EOB=OM ， ODBM， BD=DMDEAB， DMME， AE=EM OM=1x）BDAE2 ， AE= （ 22DEAB， OAOC2DMOEOD，OD DMOA ， yx（0x2 ）OD2OEx2（3）（ i） 当 OA=OC 时 DM1 BM1 OC1 x 在 RtODM 中，222ODOM 2DM 221 x2

6、4DM1 xx y，2解得 x142 ，或 x142 （舍）OD1x22222x4（ii ）当 AO=AC时，则 AOC= ACO ACO COB， COB= AOC， ACOAOC， 此种情况不存在（ ）当 CO=CA 时，则 COA=CAO= CAO M， M=90 ， 90 ， 45 ， BOA=2 90 BOA 90， 此种情况不存在即：当 OAC为等腰三角形时，x 的值为142 2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立 y 关于 x 的函数关系式是解答本题的关键3如图， AB 为 O 的直径， AC 为 O 的弦， A

7、D 平分 BAC，交 O 于点 D， DE AC，交 AC 的延长线于点 E（1）判断直线 DE 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AE8， O 的半径为 5，求 DE的长【答案】（ 1）直线 DE 与 O 相切（ 2） 4【解析】试题分析：（1）连接 OD， AD 平分 BAC， EAD OAD ， OAOD ，ODAOAD ，ODA EAD ，又点EA OD DE EA DE ODD 在 O 上， 直线 DE 与 O 相切（2）如图 1，作 DF AB，垂足为 F， DFA DEA 90 ，EAD FAD ， AD AD ， EAD FAD， AFAE 8 ， DF DE ， OA

8、 OD5 ， OF3 ，在 Rt DOF中， DF OD 2 OF 24 ， AF AE8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长4如图，点 P 是正方形 ABCD内的一点，连接 PA，PB， PC将 PAB绕点 B 顺时针旋转90到 PCB 的位置 .(1)设 AB 的长为 a， PB 的长为 b(ba)，求 PAB旋转到 PCB的过程中边 PA所扫过区域 (图中阴影部分 )的面积；(2)若 PA=2，

9、 PB=4， APB=135，求 PC 的长 .【答案】 (1) S阴影 = (a2-b 2)； (2)PC=6.【解析】试题分析：（ 1）依题意，将 PCB逆时针旋转 90可与 PAB重合，此时阴影部分面积 =扇形 BAC的面积 -扇形 BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是 90，可据此求出阴影部分的面积（2）连接 PP，根据旋转的性质可知： BP=BP，旋转角 PBP=90，则 PBP是等腰直角三角形， BPC= BPA=135， PPC= BPC- BPP=135-45 =90，可推出 PPC是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长试题解析：（ 1） 将 PAB绕点

10、 B 顺时针旋转 90到 PCB的位置， PAB PCB，SPAB=SPCB，S 阴影 =S 扇形 BAC-S 扇形 BPP= （ a2-b2）；（2）连接 PP，根据旋转的性质可知： APB CPB，BP=BP ，=4P C=PA=2， PBP =90， PBP是等腰直角三角形， PP2=PB2+PB2=32；又 BPC= BPA=135， PP C=BPC- BP P=135-45 =90 ，即 PPC是直角三角形PC= =6考点： 1.扇形面积的计算； 2.正方形的性质； 3.旋转的性质5四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE EC， BE ED，以 AD 为直径的半圆过点 E，

11、圆心 为 O（1）如图 ，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图 ，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧 AE 的长【答案】（ 1）见解析；（ 2）2【解析】试题分析：（ 1）先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出 AC BD 即可得出结论；（2）先判断出 AD=DC 且 DE AC， ADE= CDE，进而得出 CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（ 1） 四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED， 四边形ABCD是平行四边形 以 AD 为直径的半圆过点 E， AED=90 ，即有 ACBD， 四边形ABCD是菱形；

12、（2）由（ 1）知，四边形 ABCD是菱形， ADC为等腰三角形， AD=DC 且 DE AC， ADE= CDE如图 2，过点 C 作 CGAD，垂足为 G，连接 FO BF 切圆 O 于点 F，OF AD，且 OF 1 AD 3 ，易知，四边形 CGOF为矩形， CG=OF=32在Rt CDG中， CD=AD=6， sinADC= CG = 1 ， CDA=30， ADE=15CD2?303连接 OE，则 AOE=2ADE=30， AE1802点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键6如图，在 O 中，直径 AB 弦

13、 CD于点 E，连接 AC， BC，点 F 是 BA 延长线上的一点，且 FCA B.(1)求证： CF是 O 的切线；(2)若 AE 4， tan ACD1，求 AB 和 FC的长2【答案】(1)见解析 ;(2) AB=20 ， CF403【解析】分析：（1）连接 OC，根据圆周角定理证明OCCF即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及 FCA B 求出 CE、 BE 的长，即可得到 AB 长，然后根据直径和半径的关系求出 OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明 OCE CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解 .详解： 证明：连结 OC AB 是 O 的直径 A

14、CB=90 B+BAC=90 OA=OC BAC= OCA B=FCA FCA+OCA=90 即 OCF=90C 在 O 上CF 是 O 的切线 AE=4， tan ACDAE 1EC 2CE=8直径 AB 弦 CD 于点 E ? ?AD AC FCA B B=ACD= FCA EOC= ECAtan B=tan ACD= CE = 1BE 2BE=16AB=20OE=AB 2-AE=6CE AB CEO= FCE=90 OCE CFEOC OE CF CE即10 = 6 CF 840 CF3点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和

15、解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目 .7某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径【答案】 10cm【解析】分析：先过圆心 O 作半径 CO AB，交 AB 于点 D 设半径为 r，得出 AD、 OD 的长，在Rt AOD 中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径详解：解：过点 O 作 OC AB 于 D，交 O 于 C，连接 OB，OC AB1 1BD= AB= 16=8cm2 2由题意可知，

16、 CD=4cm设半径为 xcm，则 OD=（ x 4） cm在Rt BOD 中，由勾股定理得： OD2+BD2=OB2（x 4） 2+82=x2解得： x=10答：这个圆形截面的半径为 10cm点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解8如图在 ABC中， C=90 ， AC=BC， AB=30cm，点 P 在 AB 上， AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从点 P 出发沿线段 PB以 1cm/s 的速度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点

17、 E、 F 运动过程中，以 EF为边作正方形 EFGH，使它与 ABC在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t （s）（ 0 t 20）（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值；（2）设正方形 EFGH与 ABC重叠部分的面积为 S 试求 S 关于 t 的函数表达式； 以点 C 为圆心， 1 t 为半径作 C，当 C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值29t 2 ?(0t2)【答案】（ 1） t=2s 或 10s；（ 2） S=7 t250t 50(2t10)t 2240t400? (10t20)； 100cm 2【解析】试题分析：（ 1）如图 1 中，当 0 t

18、 5时，由题意 AE=EH=EF，即 102t=3t ， t=2；如图 2 中，当 5 t20 时， AE=HE， 2t 10=10（ 2t 10） +t， t=10；（2）分四种切线讨论 a、如图 3 中，当 0 t 2时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t ）2=9t2 b、如图 4 中，当 2t 5时，重叠部分是五边形 EFGMN c、如图 5 中，当 5 t 10 时，重叠部分是五边形 EFGMN d、如图 6 中，当 10 t 20 时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可； 分两种情形分别列出方程即可解决问题试题解析：解：（ 1）如图 1 中，当 0 t5时，由题意得： AE=

19、EH=EF，即 10 2t =3t ， t=2如图 2 中，当 5 t 20 时， AE=HE， 2t 10=10（ 2t 10） +t， t=10综上所述： t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC边上（2） 如图 3 中，当 0 t 2时，重叠部分是正方形 EFGH， S=（ 3t ）2 =9t2如图 4 中，当 2 t 5时，重叠部分是五边形 EFGMN， S=（ 3t ） 2 1 （5t 10） 2 =72t2+50t 502如图 5 中，当 5 t 10 时，重叠部分是五边形 EFGMN， S=（ 20 t ） 2 1 （ 30 3t） 2=27t2+50t 502如图 6 中，

20、当 10 t 20 时，重叠部分是正方形 EFGH， S=（ 20t ） 2=t 2 40t+4009t2 ?(0t2)综上所述： S=7 t 250t50(2t10) t2240t400? (10t20) 如图 7 中，当0 t5时，1t+3t=15，解得： t=30 ，此时 S=100cm2 ，当 5 t 20 时，2 71t+20 t=15，解得： t=10，此时 S=1002综上所述：当 C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值为 100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思

21、想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题9阅读下列材料：如图 1， O1 和 O2 外切于点 C， AB 是 O1 和 O2 外公切线， A、 B 为切点，求证： AC BC证明：过点 C 作 O1 和 O2 的内公切线交 AB 于 D，DA、 DC 是 O1 的切线DA=DC DAC= DCA同理 DCB= DBC又 DAC+DCA+DCB+ DBC=180， DCA+ DCB=90 即ACBC根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；（2）以 AB 所在直线为 x 轴，过点 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立直角坐标系（如图2），

22、已知 A、 B 两点的坐标为（ 4， 0），（ 1， 0），求经过 A、 B、 C 三点的抛物线 y=ax2+bx+c 的函数解析式；（3）根据（ 2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由【答案】（ 1）见解析；（2） y1232xx 2 ；（ 3）见解析2【解析】试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180，可知用了三角形内角和定理；（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过A、B、 C 三点的抛物线的函数解析式；（3）过 C 作两圆的公切线，交AB 于点 D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据 C

23、 , D两点的坐标可求出过 C , D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可试题解析： (1)DA、DC是 e O1 的切线，DA=DC.应用的是切线长定理；DACDCADCBDBC 180o ，应用的是三角形内角和定理 .(2)设 C 点坐标为 (0,y),则 AB 2AC 2BC 2，22y2，即 4 14y 2 12即25 17 2y2 ,解得 y=2(舍去 )或 y=-2.故C 点坐标为 (0,-2) ，设经过 A、B、C 三点的抛物线的函数解析式为y ax 2bx c，1a16a4

24、bc023则 a bc0解得 bc2,2，c 2故所求二次函数的解析式为 y1 x23 x 2.22(3)过 C 作两圆的公切线CD 交 AB 于 D,则 AD=BD=CD,由 A(-4,0), B(1,0)可知 D (3 ,0)，2设过 CD两点的直线为 y=kx+b,则3 kb0k42解得3b2，b2，故此一次函数的解析式为 y4 x2，3过 O1 ,O2的直线必过 C 点且与直线 y42 垂直，x3故过 O1 ,O2 的直线的解析式为y3 x2，4由(2) 中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(3 ,25)，2833225O1O2 上 .代入直线解析式得2, 故这条抛物线的顶点落在两圆的连心48