完整word版本因式分解竞赛题包括答案doc.docx
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因式分解
一、入：
有两个人相到山上去找精美的石，甲背了的一筐，乙的筐里只有一个他是最精美的石
。
甲就笑乙：
“你什么只挑一个啊?
”乙：
“漂亮的石然多，
但我只一个最精美的就了。
”
甲笑而不，下山的路上，甲感到担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石中挑一个最差的扔下，
到下山的候他的筐里果只剩下一个石!
启示：
人生中会有多的西，得留恋，有的候你学会去放弃。
二、知点回：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，
例如：
（1）a
2
2
-b）；
-b=（a+b）（a
（2）a2
±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a
3
3
2
2
）；
+b=（a+b）（a
-ab+b
（4）a3
-b
3=（a-b）（a2+ab+b2）．
下面再充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a
3
3
3
2
2
2
+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）；
（7）an
-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1）其中n正整数；
（8）a
n
n
n-1
n-2
b+a
n-32
n-2n-1
），其中n偶数；
-b=（a+b）（a
-a
b
-⋯+ab
-b
（9）a
n
n
n-1
n-2
n-32
n-2
n-1
+b=（a+b）（a
-a
b+ab-⋯-ab
+b
），其中n奇数．
运用公式法分解因式，
要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．
三、解
例1分解因式：
（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
（2）x3-8y3-z3-6xyz；
解
（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）
=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]
=-2xn-1yn（x2n-y2）2
=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．
（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）
=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．
例2分解因式：
a3+b3+c3-3abc．
本上就是用因式分解的方法明前面出的公式
（6）．
1
分析我已知道公式
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，将此公式形
3
3
3
．
a+b=（a+b）
-3ab（a+b）
个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．
解原式=（a+b）
3
3
-3ab（a+b）+c-3abc
=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）
［（a+b）2
-c（a+b）+c
2]-3ab（a+b+c）
2
2
2
=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）．
明公式（6）是一个用极广的公式，用它可以推出很多
有用的，例如：
我将公式
（6）形
a3+b3+c3
-3abc
然，当
3
3
3
3
3
3
3
3
3
，
a+b+c=0，a+b+c
=3abc；当a+b+c＞0，a+b+c-3abc
≥0，即a+b+c≥3abc
而且，当且当a=b=c，等号成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，有
等号成立的充要条件是x=y=z．也是一个常用的．
※※式
1分解因式：
x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．
分析个多式的特点是：
有
16，从最高次
x15开始，x的次数次减至
0，由此想到用公
nn
来分解．
式a-b
解因
x
16
15
+x
14
+x
13
2
，
-1=（x-1）（x
+⋯x+x+1）
所以
明在本的分解程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，一技巧在等式形中很常用．
2．拆、添法
因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或
将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵
2
消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为
拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例3分解因式：
x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
3
=（x-1）-9x+9
2
=（x-1）（x+x+1）-9（x-1）
2
解法2将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
3
=（x-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
2
解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．
3
3
原式=9x-8x-9x+8
=（9x
3
3
-9x）+（-8x+8）
=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）
=（x-1）（x
2+x-8）．
解法4
添加两项-x2+x2．
原式=x3
-9x+8
3
2
2
=x
-x+x-9x+8
=x2
（x-1）+（x-8）（x-1）
=（x-1）（x
2+x-8）．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主
要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习
1分解因式：
9
6
3
（1）x
+x+x-3；
（2）（m
2
2
-1）（n
-1）+4mn；
（3）（x+1）
4
2
2
+（x-1）
4
+（x-1）
；
（4）a3b-ab3+a2+b2+1．
解
（1）将-3拆成-1-1-1．
3
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=（x
9
6
3
-1）+（x
-1）+（x
-1）
=（x
3
6
3
+1）+（x
3
3
3
-1）（x
+x
-1）（x
+1）+（x
-1）
3
=（x-1）（x6+2x3+3）
=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．
（2）将4mn拆成2mn+2mn．
原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn
2
2
2
2
=mn
-m-n+1+2mn+2mn
2
2
2
2
=（mn+2mn+1）-（m-2mn+n）
=（mn+1）2
-（m-n）
2
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．
（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．
4
2
2
2
2
4
原式=（x+1）+2（x
-1）
-（x
-1）
+（x-1）
=［（x+1）
4+2（x+1）
2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2
=［（x+1）
2
2
]
2
2
2
+（x-1）
-（x-1）
=（2x
2
2
2
2
2
2
．
+2）
-（x
-1）
=（3x+1）（x
+3）
（4）添加两项+ab-ab．
3
3
2
2
原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab
=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）
=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）
=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b
2+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b
2+1）
2
2
=（a-ab+1）（b
+ab+1）．
说明
（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加
+ab-ab，而且添
加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来
运算，从而使运算过程简明清晰．
例4分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用
字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x2+x=y，则
2
原式=（y+1）（y+2）-12=y+3y-10
4
=（y-2）（y+5）=（x
2+x-2）（x2+x+5）
=（x-1）（x+2）（x
2+x+5）．
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今
x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学
不妨试一试．
例5分解因式：
（x2+3x+2）（4x
2+8x+3）-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90
=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90
=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y（y+1）-90=y2+y-90
=（y+10）（y-9）
=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）
=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．
※※变式练习
1.分解因式：
（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．
解设x2+4x+8=y，则
22
原式=y+3xy+2x=（y+2x）（y+x）
=（x2+6x+8）（x2+5x+8）
=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式
（ax
2
2
+bxy+cy+dx+ey+f），我们也
可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y
2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把
y当作常数，于是上式可变
形为
2
2
2x-（5+7y）x-（22y
-35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于
y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
5
即：
-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］
=（x+2y-3）（2x-11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得
到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式
中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1分解因式：
（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；
（2）x2-y2+5x+3y+4；
（3）xy+y2+x-y-2；
（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．
（2）
6
原式=（x+y+1）（x-y+4）．
（3）原式中缺x2，可把一的系数看成0来分解．
原式=（y+1）（x+y-2）．
（4）
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．
明（4）中有三个字母，解法仍与前面的似．
2．求根法
我把形如anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0（n非整数）的代数式称关于x的一元多式，并用f（x），
g（x），⋯等号表示，如
f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，⋯，
当x=a，多式f（x）的用f（a）表示．如上面的多式f（x）
f
（1）=12-3×1+2=0；
f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．
若f（a）=0，称a多式f（x）的一个根．
定理1（因式定理）若a是一元多式f（x）的根，即f（a）=0成立，多式f（x）有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多式f（x）的一次因式的关是求多式f（x）的根．于任意多式f（x）
要求出它的根是没有一般方法的，然而当多式f（x）的系数都是整数，即整系数多式，常用
下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，必有p是a0的数，q是an的数．特地，当a0=1，整系数多式f（x）的整数根均an的数．
我根据上述定理，用求多式的根来确定多式的一次因式，从而多式行因式分解．
例2分解因式：
x3-4x2+6x-4．
分析是一个整系数一元多式，原式若有整数根，必是-4的数，逐个-4的数：
±1，±2，
±4，只有
f
（2）=23-4×22+6×2-4=0，
7
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．
322
=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
=（x-2）（x2-2x+2）．
解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），
所以
原式=（x-2）（x2-2x+2）．
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不
一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
※※变式练习
1.分解因式：
9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：
所以，原式有因式9x2-3x-2．
解9x4-3x3+7x2-3x-2
4322
=9x-3x-2x+9x-3x-2
232
=x（9x-3x-2）+9x-3x-2
22
=（9x-3x-2）（x+1）
=（3x+1）（3x-2）（x2+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
8
总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），
而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数
尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项
式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数
的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例3分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析由于
（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可
求出m和n，使问题得到解决．
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=（x+2y+m）（x+y+n）
=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
※※变式练习
1.分解因式：
x4-2x3-27x2-44x+7．
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，
22
只能分解为（x+ax+b）（x+cx+d）的形式．
解设
原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）
=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，
所以有
9
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程
组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了
二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1.分解因式：
（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元
对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式
2
2
2
=[（x+y）-xy]-4xy[（x+y）
-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=（u
2-v）2-4v（u2-2v）
=u4-6u2v+9v2
=（u
2
2
-3v）
=（x
2
2
2
+2xy+y
-3xy）
=（x2-xy+y2）2．
五、反思总结
10
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