完整word版本因式分解竞赛题包括答案doc.docx

1、完整word版本因式分解竞赛题包括答案doc因式分解一、 入：有两个人相 到山上去 找精美的石 ，甲背了 的一筐，乙的筐里只有一个他 是最精美的石 。甲就笑乙： “你 什么只挑一个啊 ?”乙 ： “漂亮的石 然多，但我只 一个最精美的就 了。 ”甲笑而不 ，下山的路上，甲感到 担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石 中挑一个最差的扔下，到下山的 候他的筐里 果只剩下一个石 !启示：人生中会有 多的 西， 得留恋，有的 候你 学会去放弃。二、知 点回 ：1运用公式法在整式的乘、 除中，我 学 若干个乘法公式， 将其反向使用， 即 因式分解中常用的公式，例如：(1)a22-b) ；-b =(a+b

2、)(a(2)a 22ab+b2=(a b) 2；(3)a3322) ；+b =(a+b)(a-ab+b(4)a 3-b3=(a -b)(a 2 +ab+b2) 下面再 充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7)a n-bn=(a -b)(a n-1 +an-2 b+an-3 b2+ +abn-2 +bn-1 ) 其中 n 正整数；(8)annn-1n-2b+an-3 2n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a-ab- +ab-b

3、(9)annn-1n-2n-3 2n-2n-1+b =(a+b)(a-ab+a b - -ab+b) ，其中 n 奇数运用公式法分解因式 ，要根据多 式的特点， 根据字母、 系数、 指数、 符号等正确恰当地 公式三、 解例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x 3n-1yn+2-2x n-1yn+4 ； (2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ；解(1) 原式 =-2xn-1 yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y 2) 2=-2xn-1 yn(x 2n-y2) 2=-2xn-1 yn(x n-y) 2(x n+y) 2(2)

4、原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) 例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc本 上就是用因式分解的方法 明前面 出的公式(6) 1分析 我 已 知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性， 将此公式 形 333a +b =(a+b)-3ab(a+b) 个 式也是一个常用的公式，本 就借助于它来推 解 原式 =(a+b)33-3ab(a+b)+c -3abc= (a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 -3ab(

5、a+b+c)222=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) 明 公式 (6) 是一个 用极广的公式，用它可以推出很多有用的 ，例如：我 将公式(6) 形 a3+b3+c3-3abc 然，当333333333，a+b+c=0 ， a +b +c=3abc ；当 a+b+c 0 ， a +b +c -3abc 0，即 a +b +c 3abc而且，当且 当 a=b=c ，等号成立如果令 x=a3 0， y=b3 0， z=c3 0， 有等号成立的充要条件是 x=y=z 也是一个常用的 式 1 分解因式： x15+x14+x13+ +x2+x+1分析 个多 式的特点是：有16 ，从最高

6、次 x15 开始， x 的次数 次 减至0，由此想到 用公n n来分解式 a -b解 因 x1615+x14+x132，-1=(x -1)(x+ x +x+1)所以 明 在本 的分解 程中，用到先乘以 (x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧， 一技巧在等式 形中很常用2拆 、添 法因式分解是多 式乘法的逆运算在多 式乘法运算 ，整理、化 常将几个同 合并 一 ，或将两个 符号相反的同 相互抵消 零在 某些多 式分解因式 ，需要恢复那些被合并或相互抵2消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分

7、组分解法进行因式分解例3 分解因式： x3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法 1 将常数项 8 拆成 -1+9原式 =x3-9x-1+93=(x - 1) -9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x原式 =x3-x-8x+83=(x - x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次项 x3 拆成 9x3-8x333原式 =9x - 8x -9x+8=(9x33-9x)+( -8x +8)=9x(x+1)(x -1) -

8、8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x2+x-8) 解法 4添加两项 -x2+x2原式 =x3-9x+8322=x-x +x -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x2+x-8) 说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察， 灵活变换， 因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种变式练习1分解因式：963(1)x+x +x -3；(2)(m22-1)(n-1)+4mn；(3)(x+1)422+(x -1)4+(x -1)；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1解 (1

9、) 将 -3 拆成 -1-1-13原式 =x9+x6+x3-1-1-1=(x963- 1)+(x-1)+(x-1)=(x363+1)+(x333- 1)(x+x-1)(x+1)+(x-1)3=(x - 1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) (2) 将 4mn拆成 2mn+2mn原式 =(m2- 1)(n 2-1)+2mn+2mn2222=mn-m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n )=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn - m+n+1)(3) 将 (x 2- 1) 2 拆成 2(x

10、2-1) 2-(x 2-1) 2422224原式 =(x+1) +2(x-1)-(x-1)+(x -1)= (x+1)4+2(x+1)2(x -1) 2+(x -1) 4 -(x 2-1) 2= (x+1)22222+(x -1)-(x -1)=(2x222222+2)-(x-1)=(3x +1)(x+3)(4) 添加两项 +ab-ab3322原式 =a b- ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)=a(a -b) b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a -b)+1

11、(ab+b2+1)22=(a - ab+1)(b+ab+1) 说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例4 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12分析 将原式展开，是关于 x 的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将 x2+x 看作一个整体，并用字母 y

12、来替代，于是原题转化为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了解 设 x2+x=y，则2原式 =(y+1)(y+2) -12=y +3y-104=(y -2)(y+5)=(x2+x -2)(x 2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2 +x+5) 说明 本题也可将 x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例 5 分解因式：(x 2+3x+2)(4x2+8x+3) -90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3) -90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1) -90

13、=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90令 y=2x 2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x - 1) 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 (y) 的基础变式练习1. 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2解 设 x2+4x+8=y ，则2 2原式 =y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) 说明 由本题可知，用换元法分

14、解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax22+bxy+cy +dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 我们将上式按 x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为222x -(5+7y)x-(22y-35y+3) ，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为5即： -22y 2+35y-3=(2y-3)

15、(-11y+1) 再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以，原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1) 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3 这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy

16、2，得到一个十字相乘图 ( 有两列 ) ；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2解(1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1) (2)6原式 =(x+y+1)(x-y+4) (3) 原式中缺 x2 ，可把 一 的系数看成 0 来分解原式 =(y+1)(x+y-2) (4)原式

17、=(2x-3y+z)(3x+y-2z) 明 (4) 中有三个字母，解法仍与前面的 似2求根法我 把形如 anxn+an-1 xn-1 + +a1x+a0(n 非 整数 ) 的代数式称 关于 x 的一元多 式，并用 f(x) ，g(x) ，等 号表示，如f(x)=x 2-3x+2 ， g(x)=x 5+x 2+6，当 x=a ，多 式 f(x) 的 用 f(a) 表示如 上面的多 式 f(x)f(1)=1 2-3 1+2=0；f(-2)=(-2) 2-3 (-2)+2=12 若 f(a)=0 ， 称 a 多 式 f(x) 的一个根定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多 式 f(x) 的根，即

18、 f(a)=0 成立， 多 式 f(x) 有一个因式 x-a 根据因式定理，找出一元多 式 f(x) 的一次因式的关 是求多 式 f(x) 的根 于任意多 式 f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多 式 f(x) 的系数都是整数 ，即整系数多 式 ， 常用下面的定理来判定它是否有有理根定理 2的根， 必有 p 是 a0 的 数， q 是 an 的 数特 地，当 a0=1 ，整系数多 式 f(x) 的整数根均 an 的 数我 根据上述定理，用求多 式的根来确定多 式的一次因式，从而 多 式 行因式分解例2 分解因式： x3-4x 2+6x-4 分析 是一个整系数一元多 式， 原式若有整数

19、根， 必是 -4 的 数， 逐个 -4 的 数： 1， 2， 4，只有f(2)=2 3-4 22+6 2-4=0 ，7即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 x-2 解法 1 用分组分解法，使每组都有因式 (x-2) 3 2 2=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2) 解法 2 用多项式除法，将原式除以 (x-2) ，所以原式 =(x-2)(x 2-2x+2) 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是 -4 的约数，反之不成立，即 -4 的约数不一定是多项式的根因此，必须对 -4 的约数逐个代入多项式进行验证变式练习1.

20、分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 分析 因为 9 的约数有 1， 3， 9； -2 的约数有 1，为：所以，原式有因式 9x 2-3x-2 解9x 4-3x 3+7x2-3x-24 3 2 2=9x -3x -2x +9x -3x-22 3 2=x (9x -3x-2)+9x -3x-22 2=(9x -3x-2)(x +1)=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为 9x2-3x-2 ，这样可以简化分解过程8总之，对一元高次多项式 f(x) ，如果能找到一个一次因式 (x-a) ，那么

21、f(x) 就可以分解为 (x-a)g(x) ，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对 g(x) 进行分解了3待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程 ( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例 3 分解因式： x2

22、+3xy+2y 2+4x+5y+3 分析 由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y) ，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m 和 xy n 的形式，应用待定系数法即可求出 m和 n，使问题得到解决解 设x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3， n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1) 说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下变式练习1. 分解因式： x4-2x 3-27x 2-44x+7 分析 本题所给的是一

23、元整系数多项式， 根据前面讲过的求根法， 若原式有有理根， 则只可能是 1， 7(7 的约数 ) ，经检验， 它们都不是原式的根， 所以， 在有理数集内， 原式没有一次因式 如果原式能分解，2 2只能分解为 (x +ax+b)(x +cx+d) 的形式解 设原式 =(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有9由bd=7，先考虑 b=1， d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x 2+5x+7) 说明 由于因式分解的唯一性，所以对 b=-1 ， d=-7 等可以不加以考虑本题如果 b=1， d=7 代入方程组后

24、，无法确定 a，c 的值，就必须将 bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地四、巩固练习：1. 分解因式： (x 2+xy+y2 ) -4xy(x 2+y2) 分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式解 原式222=(x+y) -xy -4xy(x+y)-2xy 令 x+y=u， xy=v ，则原式 =(u2- v) 2-4v(u 2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u22- 3v)=(x222+2xy+y-3xy)=(x 2-xy+y 2)2五、反思总结10