第七章 锐角函数 邳州市邹庄中学导学案.docx
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第七章锐角函数邳州市邹庄中学导学案
邳州市邹庄中学2009-2010学年度
第一学期初三数学电子备课
第
七
章
导
学
案
邹庄中学孟庆金
课题:
§7.1正切
[学习目标]
1、理解并掌握正切的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
[学习重点与难点]
计算一个锐角的正切值的方法
[学习过程]
一、观察回答:
如图某体育馆,为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡?
你是怎么判断的?
图
(1)图
(2)
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答:
图的台阶更陡,理由
二、探索活动
1、思考与探索一:
除了用台阶的倾斜角度大小外,还可以如何描述台阶的倾斜程度呢?
1可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比,
来说明台阶的倾斜程度。
(思考:
BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系?
)
答:
_________________________________________.
②讨论:
你还可以用其它什么方法?
能说出你的理由吗?
答:
_________________________________________.
2、思考与探索二:
(1)如图,一般地,如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1,RtAB2C2,RtAB3C3……,那么有:
Rt△AB1C1∽________∽________……
根据相似三角形的性质,得:
=_________=_________=……
(2)由上可知:
如果直角三角形的一个锐角的大小已确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b分别是∠A的对边和邻边。
我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______,记作______。
即:
tanA=________=__________
(你能写出∠B的正切表达式吗?
)试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
(通过上述计算,你有什么发现?
_____________________________________.)
5、思考与探索三:
怎样计算任意一个锐角的正切值呢?
(1)例如,根据书本P39图7—5,我们可以这样来确定tan65°的近似值:
当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时,这个点向右水平方向前进了1个单位,那么在垂直方向上升了约2.14个单位。
于是可知,tan65°的近似值为2.14。
(2)请用同样的方法,写出下表中各角正切的近似值。
θ
tanθ
10°
20°
30°
45°
55°
65°
2.14
(3)利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
(4)思考:
当锐角α越来越大时,α的正切值有什么变化?
___________________________________________________________.
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=3,
则tanA=________,tanB=______。
2、如图,在正方形ABCD中,点E为AD的中点,连结EB,
设∠EBA=α,则tanα=_________。
四、请你说说本节课有哪些收获?
五、作业p40习题7.11、2
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面,根据图中的尺寸,请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一些?
2、在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,1),B(-1,3),C(-4,3),试求tanB的值。
课题:
§7.2正弦、余弦
(一)
[学习目标]
1、理解并掌握正弦、余弦的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
[学习重点与难点]
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
[学习过程]
一、情景创设
1、问题1:
如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m后,他的相对位置升高了5m,如果他沿着该斜坡行走了20m,那么他的相对位置升高了多少?
行走了am呢?
2、问题2:
在上述问题中,他在水平方向又分别前进了多远?
二、探索活动
1、思考:
从上面的两个问题可以看出:
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________;它的邻边与斜边的比值___________。
(根据是______________________________________。
)
2、正弦的定义
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的______,记作________,
即:
sinA=________=________.
3、余弦的定义
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作=_________,
即:
cosA=______=_____。
(你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗?
)试试看.
___________________________________________________.
4、牛刀小试
根据如图中条件,分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢?
(1)如书P42图7—8,当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时,他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度,在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义,可以知道:
sin15°=0.26,cos15°=0.97
(2)你能根据图形求出sin30°、cos30°吗?
sin75°、cos75°呢?
sin30°=_____,cos30°=_____.
sin75°=_____,cos75°=_____.
(3)利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
(4)观察与思考:
从sin15°,sin30°,sin75°的值,你们得到什么结论?
____________________________________________________________。
从cos15°,cos30°,cos75°的值,你们得到什么结论?
____________________________________________________________。
当锐角α越来越大时,它的正弦值是怎样变化的?
余弦值又是怎样变化的?
____________________________________________________________。
6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=12,BC=5,则sinA=_____,
cosA=_____,sinB=_____,cosB=_____。
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=
,则sinA=_____,cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=9a,AC=12a,AB=15a,tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
四、请你谈谈本节课有哪些收获?
五、作业书本P431、2
六、拓宽和提高
已知在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,且a:
b:
c=5:
12:
13,试求最小角的三角函数值。
课题:
§7.2正弦、余弦
(二)
[学习目标]
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算;
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
[学习重点与难点]
用函数的观点理解正切,正弦、余弦
[学习过程]
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,分别写出∠A的三角函数关系式:
sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中,sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式,你有什么发现______________________________________________________。
3、练习:
①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=2BC,则sinC=_____。
④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=
,则BC=_____。
⑤在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=
则AC=_____。
⑥如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=
,则AB=_____。
⑦在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=
,AC=12,则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝,风筝线与水平线成35°角时,小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成一条线段,长95m,求风筝此时的高度。
(精确到1m)
(参考数据:
sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶(如图),已知木板长为4m,车厢到地面的距离为1.4m。
(1)你能求出木板与地面的夹角吗?
(2)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。
(精确到0.1m)
(参考数据:
sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739)
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面,已知滑梯的倾斜角为40°,求滑梯的高度。
(精确到0.1m)
(参考数据:
sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660,tan40°≈0.8391)
2、一把梯子靠在一堵墙上,若梯子与地面的夹角是68°,而梯子底部离墙脚1.5m,求梯子的长度(精确到0.1m)
(参考数据:
sin68°≈0.9272,cos68°≈0.3746,tan68°≈2.475)
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CD=8cm,AC=10cm,求AB,BD的长。
2、等腰三角形周长为16,一边长为6,求底角的余弦值。
3、在△ABC中,∠C=90°,cosB=
AC=10,求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=
,请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,且∠ADC=50°,AD=2,求tanB的值。
(精确到0.01m)(参考数据:
sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°≈1.1918)
课题:
§7.3特殊角的三角函数
【学习目标】
1.能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值,进一步体会三角函数的意义.
2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
4.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展同学们的推理能力和计算能力.
【学习过程】
一、情景创设
同学们已经学习了锐角的三角函数,你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗?
二、探索活动
1.活动一.观察与思考
你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗?
2.活动二.根据以上探索完成下列表格
30°
45°
60°
sinθ
cosθ
tanθ
三、典例分析
例1:
求下列各式的值。
(1)2sin30°-cos45°
(2)sin60°·cos60°(3)sin230°+cos230°
练习:
计算.
(1)cos45°-sin30°
(2)sin260°+cos260°
(3)tan45°-sin30°·cos60°(4)
例2.求满足下列条件的锐角α:
(1)cosα=
(2)2sinα=1(3)2sinα-
=0(4)
tanα-1=0
练习:
1.若sinα=
则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.
2.若sinα=
则锐角α=_________.若sinα=
则锐角α=_________.
3.若∠A是锐角,且tanA=
则cosA=_________.
4.求满足下列条件的锐角α:
(1)cosα-
=0
(2)-
tanα+
=0
(3)
cosα-2=0(4)tan(α+10°)=
5.已知α为锐角,当
无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
五.拓展与延伸
1.等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为6
㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、
直角三角形还是钝角三角形?
2.书本P48习题7。
33
课题:
§7.4由三角函数值求锐角
学习目标:
会根据锐角的三角函数值,利用科学计算器求锐角的大小。
学习过程:
一、复习回顾
1、利用计算器求下列各角的正弦、余弦值(精确到0.01)
(1)15°
(2)72°(3)55°12′(4)22.5°
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,求:
(1)cosA
(2)当AB=4时,求BC的长。
二、新课学习:
1、问题:
如图,小明沿斜坡AB行走了13cm。
他的相对位置升高了5cm,你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗?
根据已知条件,有:
sinA=
利用计算器,可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。
依次按键为:
结果显示为,得∠A≈(精确到0.01)
2、例题学习:
求满足下列条件的锐角A(精确到0.01°);
(1)
(2)
解:
(1)依次按键,
结果显示为,得∠A≈
(2)
三、课堂练习:
1、求满足下列条件的锐角A(精确到0.01°)
(1)
(2)
(3)
(2)拓展训练:
1、如图,已知秋千吊绳的长度3.5m,求秋千升高1m时,秋千吊绳与竖直方向所成的角度(精确到0.01°)
2、已知,如图,AD是△ABC的高,CD=16,BD=12,∠C=35°(精确到0.01°)
7.5解直角三角形
学习目标:
使学生了解解直角三角形的概念,能运用直角三角形的角与角(两锐角互余),边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
学习过程
一、问题情景:
如图所示,一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下,树顶落在离数根24米处。
问大树在折断之前高多少米?
显然,我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分
的长度为=,+10=36所以,大树在折断之前的高为36米。
二、新课(请阅读)
1.解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出末知元素的过程,叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素,利用勾股定理求出斜边的长度,我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角,像这样的过程,就是解直角三角形。
2.解直角三角形的所需的工具。
如图7—12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,其余5个元素之间有以下关系:
(1)两锐角互余∠A+∠B=
(2)三边满足勾股定理a2+b2=
(3)边与角关系sinA==
,cosA=sinB=
,tanA==,
cotA==
。
3.例题讲解。
例1:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠C=30°,a=5,解直角三角形。
例2:
Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求
(1)c的大小(精确到0.01)
(2)∠A、∠B的大小。
例3:
如图7—13,圆O半径为10,求圆O的内接正五边形ABCDE的边长(精确到0.1)
三、课堂练习:
1、已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,b=2
,c=4,
求
(1)a;
(2)求∠B、∠A
2、求半径为12的圆的内接正八边形的边长(精确到0.1).
四、拓展练习:
书本P53习题7.51、2
解直角三角形作业
(一)
1、由下列条件解题:
在Rt△ABC中,∠C=90°:
(1)已知a=4,b=8,求c.
(2)已知b=10,∠B=60°,求a,c.
(3)已知c=20,∠A=60°,求a,b.
2、已知等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求顶角∠A的四种三角函数值.
3、在△ABC中,∠C=90°,
,求∠A、∠B、c边.
7.6锐角三角函数的简单应用
(1)
学习目标:
通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系。
学习过程:
一、复习巩固:
1、在△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,则BC:
AC:
AB=。
2、在△ABC中,∠C=90°。
(1)已知∠A=30°,BC=8cm,求AB与AC的长;
(2)已知∠A=60°,AC=
cm,求AB与BC的长。
二、例题学习:
例1:
“五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min。
小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?
分析:
如图,小明开始在车厢点B,经过2min后到了点C,点C离地面的高度就是小明离地面的高度,其实就是DA的长度
DA=AE-
解:
拓展延伸:
1、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达10m?
2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?
三、课堂练习;书本P551、2
四、思考练习
如图,东西两炮台A、B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
分析:
本题中,已知条件是什么?
(AB=2000米,
∠CAB=90°-∠CAD=50°),那么求AC的长是用
“弦”还是用“切”呢?
求BC的长呢?
显然,
AC是直角三角形的斜边,应该用余弦函数,
而求BC的长可以用正切函数,也可以用余切函数。
7.6锐角三角函数的简单应用
(2)
学习目标:
进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
学习过程
一、给出仰角、俯角的定义
如右图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角,∠2就是俯角。
二、例题讲解
分析:
1、由题目可知道,气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m
2、假设CD为hm,BD为xm,在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出
例2、为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为27°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为40°。
若小明的眼睛离地面1.6m,小明如何计算气球的高度呢(精确到0.01m)
解:
2、课堂练习:
书本P561、2
3、思考与探索:
大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。
一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。
如果该海轮继续向东行驶,会有触礁的危险吗?
四、拓展训练:
1、如图,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆22.7米的C处,用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a=22°,求电线杆AB的高度。
分析:
因为AB=AE+BE,AE=CD=1.20米,所以只要求出BE的长度,问题就得到解决,在△BDE中,已知DE=CA=22.7米,∠BDE=22°,那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?
显然正切或余切都能解决这个问题。
2.如图,A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物,B楼不能到达,由于建筑物密集,在A楼的周围没有开阔地带,为测量B楼的高度,只能充分利用A楼的空间,A楼的各层都可到达且能看见B楼,现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度,测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。
(1)你设计一个测量B楼高度的方法,要求写出测量步骤和必需的测量数据(用字母表示),并画出测量图形。
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。
分析:
如右图,由于楼的各层都能到达,所以A楼的高度可以测量,我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角,再测B楼的底端的俯角,这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度,因为AE=BD,而后Rt△ACE中求得CE的长度,这样CD的长度就可以求出.
7.6锐角三角函数的简单应用(3)
学习目标:
使学生知道测量中坡度、坡角的概念,掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题,进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、阅读新知识:
如右图所示,斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?
显然,斜坡A1Bl的倾斜程度比较大,说明∠A′>∠A。
从图形可以看出
,即tanAl>tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
1.坡度的概念,坡度与坡角的关系。
如下图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比),记作i,即i=
,坡度通常用l:
m的形式,例如上图中的1:
2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i=tanB,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡。
二、例题讲解。
例3如图,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC的坡角
为30°背水坡AD的坡度i(即tan
)为1:
1.2,坝顶宽DC=2.5m,坝高4.5m。
求
(1)背水坡AD的坡角
(精确到0.1°);
(2)坝底宽AB的长(精确到0.1m)
分析:
如图,作出梯形ABCD的高CE、DF。
根据题意,在在Rt△ADF和Rt△CBE中,可以分别求出AF、BE的长,从而可求得坝底AB的长。
解:
拓展与延伸:
如果在例题3中,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,市防汛指挥部决定加固坝堤,要求坝顶CD加宽0.5m,水坡AD的坡度i(即tan
)为1