高中数学人教版选修12第二章 推理与证明 演绎推理.docx

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高中数学人教版选修12第二章推理与证明演绎推理

2.1.2　演绎推理

[教材研读]

预习课本P30～33，思考以下问题

1．演绎推理有什么特点？

2．演绎推理的结论一定是正确的吗？

3．其基本模式是什么？

[要点梳理]

1．演绎推理

2.三段论

[自我诊断]

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

1．“三段论”就是演绎推理．（　　）

2．演绎推理的结论是一定正确的．（　　）

3．演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（　　）

[答案]　1.×　2.×　3.×

思考：

如何将演绎推理写成三段论形式？

提示：

演绎推理要分清大前提、小前提和结论．

把下列演绎推理写成三段论的形式．

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；

（2）一切偶数都能被2整除，256是偶数，所以256能被2整除；

（3）函数y＝x＋5的图象是一条直线．

[思路导引]　寻找大前提是关键．

[解]　

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提

水会沸腾．结论

（2）一切偶数都能被2整除，大前提

256是偶数，小前提

256能被2整除．结论

（3）因为一次函数的图象是一条直线，大前提

y＝x＋5是一次函数，小前提

所以y＝x＋5的图象是一条直线．结论

　将演绎推理写成三段论的方法

（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．

（2）用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时也可大前提与小前提都省略．

（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

[跟踪训练]

试将下列演绎推理写成三段论的形式：

（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；

（2）所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；

（3）一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；

（4）等差数列的通项公式具有an＝pn＋q（p，q是常数）的形式，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．

[解]　

（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提

海王星是太阳系中的大行星，小前提

海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论

（2）所有导体通电时发热，大前提

铁是导体，小前提

铁通电时发热．结论

（3）一次函数都是单调函数，大前提

函数y＝2x－1是一次函数，小前提

y＝2x－1是单调函数．结论

（4）等差数列的通项公式具有an＝pn＋q的形式，大前提

数列1,2,3，…，n是等差数列，小前提

数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．结论

题型二　演绎推理在证明数学问题中的应用

思考：

演绎推理证明数学问题中应注意什么问题？

提示：

证明要明确大前提、小前提，每一步推理的依据．

在锐角三角形中，求证sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

[思路导引]　在三角形的大前提下，利用三角函数的单调性比较大小．

[证明]　∵在锐角三角形中，A＋B>

，

∴A>

－B，∴0<

－B

.

又∵在

内，正弦函数是单调递增函数，

∴sinA>sin

＝cosB，

即sinA>cosB，①

同理sinB>cosC，②

sinC>cosA.③

以上①②③两端分别相加，有：

sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.

（1）应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

（2）数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．

[跟踪训练]

如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．

求证：

EF∥平面BCD.

[证明]　三角形的中位线平行于第三边，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

EF∥平面BCD.结论

思考：

什么是三角形的垂心？

在Rt△ABC中，∠A为直角．AO⊥BC，则AB与其射影BO有何关系？

提示：

三角形垂心是三条高线的交点，三角形中射影定理：

AB2＝BO·BC，AC2＝OC·BC，AO2＝BO·OC.

如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．

（1）求证：

O为△BCD的垂心；

（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．

[思路导引]　由演绎推理证明

（1），

（2）问可先猜想再由演绎推理证明．

[解]　

（1）证明：

∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，

∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.

∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO.

∴O为△BCD的垂心．

（2）猜想：

S

＋S

＋S

＝S

.

证明如下：

连接DO并延长交BC于E，连接AE，

由

（1）知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·ED，

∴

2＝

·

，

即S

＝S△BOC·S△BCD.

同理可证：

S

＝S△COD·S△BCD，

S

＝S△BOD·S△BCD.

∴S

＋S

＋S

＝S△BCD·（S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝S

.

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．

[跟踪训练]

已知命题：

“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝

（n∈N*）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

并证明你的结论．

[解]　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

若数列{an}是等差数列，则数列bn＝

也是等差数列．

证明如下：

设等差数列{an}的公差为d，则bn＝

＝

＝a1＋

（n－1），

所以数列{bn}是以a1为首项，

为公差的等差数列.

数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论．第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论．在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.

1．下列推理中是演绎推理的是（　　）

A．全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′

B．某校高三

（1）班有55人，

（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人

C．由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝

（n≥2），由此猜想出{an}的通项公式

[解析]　B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．故选A.

[答案]　A

2．指数函数都是增函数，大前提

函数y＝

x是指数函数，小前提

所以函数y＝

x是增函数．结论

上述推理错误的原因是（　　）

A．大前提不正确

B．小前提不正确

C．推理形式不正确

D．大、小前提都不正确

[解析]　大前提错误．因为指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）在a>1时是增函数，而在0

[答案]　A

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的周期是________．

[解析]　f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝f（2－2－x）＝f（－x）＝－f（x），∴f（x＋8）＝f[4＋（4＋x）]＝－f（x＋4）＝－[－f（x）]＝f（x）．∴T＝8是它的周期．

[答案]　8

4．已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，求sin2α＋sin2β的取值范围．

[解]　由2sin2α＋sin2β＝3sinα，得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－

2＋

，且sinα≥0，

∵0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，

∴0≤3sinα－2sin2α≤1.

解得sinα＝1或0≤sinα≤

.

令y＝sin2α＋sin2β，

当sinα＝1时，y＝2；

当0≤sinα≤

时，0≤y≤

，

∴sin2α＋sin2β的取值范围是

∪{2}．