选修22第二章《推理与证明》综合检测题.docx

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选修22第二章《推理与证明》综合检测题

选修2-2第二章《推理与证明》综合检测题

（时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上“三段论”推理（　　

A．正确B．推理形式不正确

C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致

2．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（　　

A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除

C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除

3．下列代数式（其中k∈N*能被9整除的是（　　

A．6＋6×7kB．2＋7k－1C．2（2＋7k＋1D．3（2＋7k

4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3＝（n∈N*时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（　　

A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为（　　

A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

6．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值（　　

A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0

7．已知f（x＝sinx＋cosx，定义f1（x＝f′（x，f2（x＝[f1（x]′，…，fn＋1（x＝[fn（x]′（n∈N*，经计算，f1（x＝cosx－sinx，f2（x＝－sinx－cosx，f3（x＝－cosx＋sinx，…，照此规律，则f100（x＝（　　

A．－cosx＋sinxB．cosx－sinxC．sinx＋cosxD．－sinx－cosx

8．下列各图中线段的条数用an表示，如a1＝1，a2＝5，若如此作下去，则第8个图中的线段条数a8＝（　　

A．508B．509C．511D．512

9．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（　　

A．28B．76C．123D．199

10.如图所示，半径为1的圆O内有n个半径相等的圆依次相切且都与圆O相切，若n＝10，则这些等圆的半径为（　　

A.B.C.D.

11．请阅读下列材料：

若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：

a1＋a2≤.证明：

构造函数f（x＝（x－a12＋（x－a22＝2x2－2（a1＋a2x＋1，因为对一切实数x，恒有f（x≥0，所以Δ≤0，即4（a1＋a22－8≤0，所以a1＋a2≤.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an满足a＋a＋…＋a＝n时，你能得到的结论是（　　

A．a1＋a2＋…＋an≤2nB．a1＋a2＋…＋an≤n2C．a1＋a2＋…＋an≤nD．a1＋a2＋…＋an≤

12.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，Pi（i＝1，2，3，…分别是所在线段的中点，则线段P7P8的长为（　　

A.B.C.D.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上

13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是____________________．

14．我们知道，圆的面积的导数为圆的周长，即：

若圆的半径为r，则圆的面积S（r＝πr2，S′（r＝2πr为圆的周长．通过类比，有以下结论：

①正方形面积的导数为正方形的周长②正方体体积的导数为正方体的表面积；

③球体的体积的导数为球体的表面积．

其中正确的是________（填序号．

15．数列{an}的前六项是－2，1，6，13，22，33，则a20＝________.

16．非零自然数有一个有趣的现象：

①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；….按照这样的规律，则108在第________个等式中．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．

（1如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；

（2如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

18．（本小题满分12分已知A＋B＝，且A，B≠kπ＋（k∈Z．求证：

（1＋tanA（1＋tanB＝4.

19．（本小题满分12分已知△ABC的三边长都是有理数，求证：

（1cosA是有理数；

（2对任意正整数n，cosnA和sinA·sinnA是有理数．

20．（本小题满分12分已知a，b，c都是不为零的实数，求证：

a2＋b2＋c2＞（ab＋bc＋ca．

21．（本小题满分12分（2015·陕西卷如图①所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.

图①　　　　　　图②

（1证明：

CD⊥平面A1OC；

（2当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．

22．（本小题满分12分已知函数f（x＝，如果数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f（an，求证：

当n≥2时，恒有an＜2成立．

选修2-2第二章《推理与证明》综合检测题参考答案

1A2A3解析：

用特值法：

当k＝1时，显然只有3（2＋7k能被9整除．D4D

5.解析：

由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确答案：

D

6.解析：

因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

所以ab＋bc＋ca＝－≤0.答案：

D

7.解析：

根据题意，f4（x＝[f3（x]′＝sinx＋cosx，f5（x＝[f4（x]′＝cosx－sinx，f6（x＝[f5（x]′＝－sinx－cosx，…，观察知fn（x的值呈周期性变化，周期为4，所以f100（x＝f96＋4（x＝f4（x＝sinx＋cosx.答案：

C

8.解析：

由题图知，a1＝1，a2＝1＋22，a3＝1＋22＋23，a4＝1＋22＋23＋24，…，所以a8＝1＋22＋23＋…＋28＝（2＋22＋23＋…＋28－1＝－1＝509.答案：

B

9.解析：

记an＋bn＝f（n，则f（3＝f（1＋f（2＝1＋3＝4；f（4＝f（2＋f（3＝3＋4＝7；f（5＝f（3＋f（4＝11.通过观察不难发现f（n＝f（n－1＋f（n－2（n∈N*，n≥3，则f（6＝f（4＋f（5＝18；f（7＝f（5＋f（6＝29；f（8＝f（6＋f（7＝47；f（9＝f（7＋f（8＝76；f（10＝f（8＋f（9＝123.所以a10＋b10＝123.答案：

C

10.解析：

如图所示，设相邻两圆的圆心分别为O1，O2，圆半径为r，连接OO1，OO2，O1O2，作OA⊥OO2于点A，则A为OO2的中点，因为这样的圆有10个，

所以∠O1OO2＝＝，所以∠O1OA＝，

在Rt△O1OA中，sin∠O1OA＝＝即sin＝，解得r＝.

答案：

B

11.解析：

构造函数f（x＝（x－a12＋（x－a22＋…＋（x－an2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋anx＋n，

因为对一切实数x，恒有f（x≥0，所以Δ≤0，即4（a1＋a2＋…＋an2－4n2≤0，

所以a1＋a2＋…＋an≤n.答案：

C

12.解析：

因为正方形ABCD的边长为1，

又P1，P2，P3分别是BC，CD，DA的中点，所以P1P2⊥P2P3，且P1P2＝P2P3＝，

所以P2P5＝，连接P3P5，则P3P5＝＝＝，

连接P7P8，因为P7，P8分别是P3P4，P4P5的中点，所以P7P8∥P3P5，且P7P8＝P3P5＝.

答案：

A

13.菱形的对角线互相垂直且平分

14.解析：

每个式子中的数依次列出成等差数列，

第一个式子中有3个数，第二个式子中有5个数，…，第n个式子中有2n＋1个数，

则第一个式子到第n个式子共有＝n（n＋2个数．

当n＝9时，第一个式子到第9个式子共有9×11＝99个数，

当n＝10时，第一个式子到第10个式子共有10×12＝120个数，

而108是第108个数，所以108在第10个等式中．

15.解析：

由数列的前五项知，数列的通项公式为an＝n2－3，所以a20＝202－3＝397.

16.解析：

设正方形的边长为a，则正方形的面积为S（a＝a2，而S′（a＝2a≠正方形的周长；

设正方体的棱长为a，则正方体的体积为V（a＝a3，

而V′（a＝3a2≠正方体的表面积；

设球体的半径为r，则V（r＝πr3，而V′（r＝4πr2＝球体的表面积．所以只有③正确．

17解：

（1类比为：

如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．

结论是正确的，证明如下：

设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，

若γ与β不相交，则必有γ∥β.

又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝α矛盾，

所以必有γ∩β＝b.

（2类比为：

如果两个平面同时垂直于第三个平面，

则这两个平面互相平行，结论是错误的，

这两个平面也可能相交．

18.证明：

由A＋B＝得tan（A＋B＝tan，即＝，

所以tanA＋tanB＝－tanAtanB.

所以（1＋tanA（1＋tanB＝1＋（tanA＋tanB＋

3tanAtanB＝1＋（－tanAtanA＋3tanAtanB＝4.

故原等式成立．

19.证明：

（1由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．

（2用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．

①当n＝1时，由（1知cosnA是有理数，

从而有sinA·sinnA＝1－cos2A也是有理数．

②假设当n＝k（k≥1时，

coskA和sinA·sinkA都是有理数．

当n＝k＋1时，

＝sinA·（sinA·coskA＋cosA·sinkA

＝（sinA·sinA·coskA＋（sinA·sinkA·cosA，

由①和归纳假设，知cos（k＋1A和sinA·sin（k＋1A都是有理数．

即当n＝k＋1时，结论成立．

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA和sinA·sinnA都是有理数

20.证明：

要证a2＋b2＋c2＞（ab＋bc＋ca，

只需证5（a2＋b2＋c2＞4（ab＋bc＋ca，

只需证5a2＋5b2＋5c2－（4ab＋4bc＋4ca＞0，

只需证（a2－4ab＋4b2＋（b2－4bc＋4c2＋（c2－4ca＋4a2＞0，只需证（a－2b2＋（b－2c2＋（c－2a2＞0.

因为（a－2b2≥0，（b－2c2≥0，（c－2a2≥0，

且这三个不等式中等号不可能同时成立（若同时成立等号，则必有a＝b＝c＝0，

所以（a－2b2＋（b－2c2＋（c－2a2＞0，所以原不等式成立．

21.（1证明：

在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，

即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

（2解：

由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，

又由（1知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高．

由图①知，A1O＝AB＝a，

平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.

从而四棱锥A1BCDE的体积

V＝×S·A1O＝a2·a＝a3.

由a3＝36，得a＝6.

22.证明：

法一（直接证明　由an＋1＝f（an得an＋1＝，

所以＝－＋＝－＋1≤1，

所以an＋1＜0或an＋1≥1；

（1若an＋1＜0，则an＋1＜0＜2，

所以结论“当n≥2时，恒有an＜2”成立；

（2若an＋1≥2，则当n≥2时，

有an＋1－an＝－an＝≤0，

所以an＋1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减；

由a2＝＝＝＜2，

可知an≤a2＜2，在n≥2时成立．

综上，由（1、（2知：

当n≥2时，恒有an＜2成立．

法二（反证法　假设an≥2（n≥2，

则由已知得an＋1＝f（an＝，

所以当n≥2时，＝＝，

因为an≥2，所以0＜≤，

所以≤×＝.

又易知an＞0，

所以当n≥0时，an＋1＜an，

所以当n≥2时，有an＜an－1＜…＜a2，

而当n＝2时，a2＝＝＝＜2，

所以当n≥2时，an＜2；

这与假设矛盾，故假设不成立，

所以当n≥2时，恒有an＜2成立．