选修1-2第二章推理与证明讲义.doc

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第二章推理与证明讲义

2.1合情推理与演绎推理

学习目标：

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.

重点：

用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.

难点：

用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

学习策略：

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势　　

②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.

③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.

知识要点梳理

知识点一：

推理的概念根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

知识点二：

合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。

其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

1.归纳推理

（1）定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

（2）一般模式：

部分整体，个体一般

（3）一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

③检验猜想.

（4）归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.

2.类比推理

（1）定义：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　

（2）一般模式：

特殊特殊　

（3）类比的原则：

可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　

（4）一般步骤：

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；

③检验猜想.　　

（5）类比推理的结论可真可假

类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

知识点三：

演绎推理

（1）定义：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．　

（2）一般模式：

“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.

（3）用集合的观点理解“三段论”　

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质

（4）演绎推理的结论一定正确　　

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

规律方法指导

合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

经典例题透析

类型一：

归纳推理

1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.

举一反三：

【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.　　

【变式2】设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确.

2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？

举一反三：

【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形　　　

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？

多少条边？

它们将平面各分成了多少个区域？

（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.

类型二：

类比推理

3．在三角形中有下面的性质：

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；　　

（4）三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径）．

请类比写出四面体的有关性质．

类型三：

演绎推理　

4．已知：

在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：

∥平面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4变式2

举一反三：

【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：

证明：

因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提

所以菱形是正多边形.………………………………………………结论

（1）上面的推理形式正确吗？

（2）推理的结论正确吗？

为什么？

【变式2】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：

ED=AF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.2直接证明与间接证明

目标认知

学习目标：

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：

反证法；

2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.

重点：

根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.

难点：

根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.

学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。

当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。

反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。

在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

知识要点梳理

知识点一：

直接证明

1、综合法

（1）定义：

一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.　　

（2）综合法的的基本思路：

执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.

（3）综合法的思维框图：

用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）

2、分析法　

（1）定义：

一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.　

（2）分析法的基本思路：

执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

（3）分析法的思维框图：

用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

　　　　　　　　　　　　（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）　　

（4）分析法的格式：

要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

知识点二：

间接证明

反证法　　

（1）定义：

一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　　

（2）反证法的特点：

反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.

（3）反证法的基本思路：

“假设——矛盾——肯定”　　　　

①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相矛盾的假设．

③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．

（4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：

（5）反证法的优点：

对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.

规律方法指导

1.用反证法证明数学命题的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；

②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.

2.适合使用反证法的数学问题：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

经典例题透析类型一：

综合法

1．如图，设在四面体中，，，是的中点.　　　　　　求证：

垂直于所在的平面.　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：

【变式1在锐角三角形ABC中，求证：

类型二：

分析法

2．求证：

举一反三：

【变式1】求证：

类型三：

反证法

3。

设函数在内都有，且恒成立，求证：

对任意都有.

举一反三：

【变式1】已知：

，求证

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