初二数学第四讲等腰三角形和等边三角形教师版.docx
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初二数学第四讲等腰三角形和等边三角形教师版
基础知识
第四讲等腰三角形和等边三角形
1、等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、等边三角形的定义：
有三条边相等的三角形叫做等边三角形
3、等腰三角形的性质：
（1）两腰相等
（2）两底角相等
（3）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
4、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形
5、等边三角形的性质：
三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°
6、等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
7、等腰直角三角形的性质：
顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等
等腰直角三角形的判定：
（1）顶角为90°的等腰三角形
（2）底角为45°的等腰三角形
8、含30°角的直角三角形的重要结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
例题解析
等腰三角形的性质应用及判定
【例1】（扬州中考）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）
（2）选择第
（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形
D
分析：
（1）①③或②③
（2）选择①③
证明：
∵∠EBO=∠DCO,BE=CD,∠BOE=∠COD
∴△BOE≌△COD
∴∠BEO=∠CDO,EO=DO,BO=CO
∴CE=BD
又∵BE=CD
∴△BCE≌△CBD
∴∠ACB=∠ABC
∴△ABC是等腰三角形
F
D
【例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：
△CDE为等腰三角形
分析：
延长BD到F，使得DF=BC,连接EF
∵△ABC为等边三角形
∴∠B=60°，AB=BC
又∵AE=BD
∴BE=AB+AE=BC+BD=FD+BD=FB
∴△BEF为等边三角形
∴∠B=∠F=60°，BE=FE
∴△BEC≌△FED
∴CE=DE
【例3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）
①DC
平分∠BDE②BC长为（
）a
③△BC
D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长
B
E
C
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析：
由图可知△ABD≌△EBD
∴AD=DE=a,∠DBE=45°
又∵∠C=∠ABC=45°，∴DC=
a
∴BC=
AC=
（a+
a）=（
+2）a=△CED的周长
又∵△CDE≌△BDC
，∴∠DC
E=45°
∴∠DBE=∠BDC
=22.5°
∴BC
=C
D,△BC
D是等腰三角形，故②③④正确
【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是
Q
C
分析：
如图，由已知可得BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线
又∵∠MBD=30°=∠PCD,BD=CD
∠BDM=180°-（∠NDM+∠BDP）=120°-∠BDP=∠CDP
∴△BMD≌△CPD
同理得△CND≌△BQD,CN=BQ,ND=DQ
又∵∠MDN=∠PDQ
∴△DMN≌△DPQ,MN=PQ
∴AM+AB+MN=（AB-BM）+（AC-CN）+PQ=（AB+AC）-（CP+BQ）+PQ=1
【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:
4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）
A.20°B.120°C.20°或120°D.36°
分析：
当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:
4:
4，此时顶角为20°；
当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:
1:
4，此时顶角为120°，故选C
【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为
分析：
当腰长为9时，三边长为4,9,9
当腰长为4时，三边长为4,4,9,不符合三角形的三边关系，故腰长为9
【例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；
（1）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
（2）求证：
△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
分析：
（1）分三种情况讨论：
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°
∴190°-α=α-60°
∴α=125°
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°
∴α-60°=50°
∴α=110°
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD
∴190°-α=50°
∴α=140°
综上所述：
当α的度数为125°或110°或140°时，△ABC是等腰三角形
（2）证明：
∵CO=CD,∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形
（3）解：
当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形
理由：
∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°
又∵△COD是等边三角形
∴∠ODC=60°
∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形
等边三角形的性质应用及判定
【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.
（1）求证：
AD=CE;
（2）求∠DFC的度数。
分析：
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD,
∴△AEC≌△BDA（SAS）
∴AD=CE
（2）解由
（1）△AEC≌△BDA,得∠ACE=∠BAD
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60
【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。
求证：
BE=AF
分析：
∵△ACE和△BCF是等边三角形
∴CF=CB,CE=CA,∠BCF=∠ACE=60°
∴∠ACF=∠ECB
∴△BCE≌△ACF
∴BE=AF
【例10】（天津中考）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：
①△ACD≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是
A.3个B.2个C.1个D.0个
分析：
∵△DAC和△EBC均是等边三角形
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB
又∵∠ACM=∠DCN=60°，AC=DC
∴△ACM≌△DCN
∴CM=CN.故①②正确
【例11】（常州中考）如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且△DEF也是等边三角形。
除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的。
分析：
图中还有相等的线段是：
AE=BF=CD,AF=BD=CE.
事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD
又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°
∴∠AEF=∠CDE
同理得∠CDE=∠BFD
∴△AEF≌△BFD≌△CDE
∴AE=BF=CD,AF=BD=CE
【例12】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是
分析：
由图可知，如果设最大的等边三角形的边长为x,
则可知第二大的等边三角形的边长为x-a，
第三大的等边三角形的边长为x-2a
第四大等边三角形也即最小的等边三角形的边长为x-3a
从图中可知最大等边三角形是最小等边三角形的边长的2倍
由此可知，x=2（x-3a），解得x=6a
由此可得六边形周长为6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a
【例13】如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于。
分析：
∵△ACN≌△MCB
∴∠ANC=∠MBC
又∵∠MBN=38°
∴∠MBC=22°
从而∠ANC=22°
∴∠ANB=∠ANC+∠CNB=82°
【例14】（常州中考）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：
（1）△AEF≌△CDE;
（2）△ABC为等边三角形
分析：
（1）∵BF=AC,AB=AE
∴FA=EC.
∵△DEF是等边三角形
∴EF=DE
又∵AE=CD
∴△AEF≌△CDE
（2）由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,△DEF是等边三角形
∴∠DEF=60°
∴∠BCA=60°
同理可得∠BAC=60°
∴在△ABC中，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
等腰直角三角形的性质应用及判定
【例15】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:
CD=
分析：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，
∴BC=
AC=
CD,即BC:
CD=1:
2
【例16】已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是
∠A的平分线，求证：
AC+CD=AB
分析：
过D作DE⊥AB,交AB于E.
∵Rt△AED≌Rt△ACD
∴ED=CD,AC=AE
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠A=∠B=∠BDE=45°
∴BE=ED=CD
评注:
从角平分线上一点作腰的垂线，可构造全等三角形，是常用的作辅助线的方法。
【例17】（枣庄中考）两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由
分析：
△EMC是等腰直角三角形
证明：
连接AM,由题意，得DE=AC,∠DAE=∠BAC=90°，∠DAB=90°
∵DM=MB
∴MA=MB=DM,∠MDA=∠MAB=45°
∴∠MDE=∠MAC=105°
∴△EDM≌△CAM
∴EM=MC,∠DME=∠AMC
又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=90°
∴CM⊥EM
∴△EMC是等腰直角三角形
【例18】如图，Rt△ABC中，AB=AC,∠A=90°，D为BC上任意一点，且DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。
分析：
连接AM
∵AB=AC,∠A=90°，DF⊥AB
DE⊥AC,M为BC的中点
∴AM=BM,DF=AE,∠MAB=∠MAC=45°
又∵AE=BF,∴△AEM≌△BFM
∴EM=FM,∠AME=∠BFM
又∵∠BMF+∠AMF=90°
∴∠AME+∠AMF=90°
练习题
∴△MEF是等腰直角三角形
【例1】下列两个命题：
①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（）
A.只有命题①正确B.只有命题②正确
C.命题①、②都正确D.命题①、②都不正确
分析：
C
【例2】（四川中考）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）
A.32.5°B.57.5°C.65°或57.5°D.32.5°或57.5°
分析：
C
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是
等腰三角形。
你添加的条件是
分析：
BD=DC或AD平分∠BAC或∠B=∠C
【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=6cm，则AB=cm
分析：
在Rt△ABC中，∠A=30°
∴BC=
AB
∴AB=4cm
【例5】
已知：
等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？
答
分析：
仍成立，可证得△BCE≌△DCA
∴∠DAC=∠B=∠ACB=60°
∴AD∥BC
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