初二数学第四讲等腰三角形和等边三角形教师版.docx

1、初二数学第四讲等腰三角形和等边三角形教师版基础知识第四讲 等腰三角形和等边三角形1、 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3、 等腰三角形的性质：（1） 两腰相等（2） 两底角相等（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合4、 等腰三角形的判定：（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形5、 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于606、 等边三角形的判定：（1） 三条边都相等的三角形是等边三角形（2） 三个角都相等的三角形是等边三角形（

2、3） 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形7、 等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等等腰直角三角形的判定：（1） 顶角为90的等腰三角形（2） 底角为45的等腰三角形8、含30角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半例题解析等腰三角形的性质应用及判定【例1】（扬州中考）如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（1）小题中的一种情形，

3、证明ABC是等腰三角形D分析：（1）或（2）选择 证明：EBO=DCO,BE=CD, BOE=COD BOECOD BEO=CDO,EO=DO,BO=CO CE=BD 又BE=CD BCECBD ACB=ABC ABC是等腰三角形FD【例2】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：CDE为等腰三角形分析：延长BD到F，使得DF=BC,连接EF ABC为等边三角形 B=60，AB=BC 又AE=BD BE=AB+AE=BC+BD=FD+BD=FB BEF为等边三角形 B=F=60，BE=FE BECFED CE=DE【例3】（福建中考）如图，将

4、一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（ ） DC平分BDE BC长为()aBCD是等腰三角形 CED的周长等于BC的长BECA.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析：由图可知ABDEBD AD=DE=a, DBE=45 又C=ABC=45，DC=a BC=AC=(a+a)=( +2)a=CED的周长 又CDEBDC，DCE=45 DBE=BDC=22.5 BC=CD,BCD是等腰三角形，故正确【例4】如图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M,N分别在AB,AC上，则AMN的周长是 QC分析：如图

5、，由已知可得BD,CD分别是ABC, ACB的平分线 又MBD=30=PCD,BD=CD BDM=180-（NDM+BDP）=120-BDP=CDP BMDCPD 同理得CNDBQD,CN=BQ,ND=DQ 又MDN=PDQ DMNDPQ,MN=PQ AM+AB+MN=(AB-BM)+(AC-CN)+PQ=(AB+AC)-(CP+BQ)+PQ=1【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.20 B.120 C.20或120 D.36分析：当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4，此时顶角为20； 当顶角为钝角时，内角的度数

6、之比为1:1:4，此时顶角为120，故选C【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为 分析：当腰长为9时，三边长为4,9,9 当腰长为4时，三边长为4,4,9,不符合三角形的三边关系，故腰长为9【例7】如图，点O事等边ABC内一点，AOB=110，BOC=，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,连接OD,则COD是等边三角形；(1)当为多少度时，AOD是等腰三角形？(2)求证：COD是等边三角形（3）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由分析：（1）分三种情况讨论：要使AO=AD,需AOD=ADO. AOD=190-，ADO=-60190-=-60=125要使O

7、A=OD,需OAD=ADOOAD=180-（AOD+ADO）=50-60=50=110要使OD=AD,需OAD=AOD190-=50=140综上所述：当的度数为125或110或140时，ABC是等腰三角形（2）证明：CO=CD, OCD=60， COD是等边三角形（3） 解：当=150，即BOC=150时，AOD是直角三角形 理由：BOCADC, ADC=BOC=150 又COD是等边三角形 ODC=60 ADO=90，即AOD是直角三角形等边三角形的性质应用及判定【例8】（乐山中考）如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(

8、2)求DFC的度数。分析：（1）证明：ABC是等边三角形 BAC=B=60，AB=AC 又AE=BD, AECBDA(SAS) AD=CE（2）解由（1）AECBDA,得ACE=BAD DFC=FAC+ACE=FAC+BAD=60【例9】（黄冈中考）如图，分别以RtABC的直角边AC,BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF分析：ACE和BCF是等边三角形 CF=CB,CE=CA, BCF=ACE=60 ACF=ECB BCEACF BE=AF【例10】（天津中考）如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下

9、结论：ACDDCB; CM=CN; AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 分析：DAC和EBC均是等边三角形 AC=DC,CE=CB, ACD=BCE ACE=DCB ACEDCB CAE=CDB 又ACM=DCN=60，AC=DC ACMDCN CM=CN.故正确【例11】（常州中考）如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DEF也是等边三角形。除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的。分析：图中还有相等的线段是：AE=BF=CD,AF=BD=CE. 事实上，ABC与DEF都是等边三角形， A=B=

10、C=60，EDF=DEF=EFD=60，DE=EF=FD 又CED+AEF=120，CDE+CED=120 AEF=CDE 同理得CDE=BFD AEFBFDCDE AE=BF=CD,AF=BD=CE【例12】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是 分析：由图可知，如果设最大的等边三角形的边长为x, 则可知第二大的等边三角形的边长为x-a， 第三大的等边三角形的边长为x-2a 第四大等边三角形也即最小的等边三角形的边长为x-3a 从图中可知最大等边三角形是最小等边三角形的边长的2倍 由此可知，x=2（x-3a），解得x=6a 由此可得六边形周长

11、为6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a【例13】如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若MBN=38，则ANB的大小等于 。 分析：ACNMCBANC=MBC又MBN=38 MBC=22从而ANC=22ANB=ANC+CNB=82【例14】（常州中考）已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到DEF为等边三角形，求证：（1）AEFCDE;(2)ABC为等边三角形分析：（1）BF=AC,AB=AE FA=EC. DEF是等边三角形 EF=DE 又AE=CD AEFCDE (2)由AEFCDE,得F

12、EA=EDC BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF,DEF是等边三角形 DEF=60 BCA=60 同理可得BAC=60 在ABC中，AB=BC ABC是等边三角形等腰直角三角形的性质应用及判定【例15】如图，在RtABC中，B=90，ACB=60，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD= 分析：在RtABC中，BAC=90-60=30， BC=AC=CD,即BC:CD=1:2【例16】已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 A的平分线，求证：AC+CD=AB分析：过D作DEAB,交AB于E. RtAEDRtACD ED=CD,AC=AE ABC是等腰直角三角

13、形 A=B=BDE=45 BE=ED=CD 评注:从角平分线上一点作腰的垂线，可构造全等三角形，是常用的作辅助线的方法。【例17】（枣庄中考）两个全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断EMC的形状，并说明理由分析：EMC是等腰直角三角形 证明：连接AM,由题意，得DE=AC, DAE=BAC=90，DAB=90 DM=MB MA=MB=DM, MDA=MAB=45 MDE=MAC=105 EDMCAM EM=MC, DME=AMC 又EMC=EMA+AMC=EMA+DME=90 CMEM EMC

14、是等腰直角三角形【例18】如图，RtABC中，AB=AC, A=90，D为BC上任意一点，且DFAB于F,DEAC于E,M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。分析： 连接AM AB=AC, A=90，DFAB DEAC,M为BC的中点 AM=BM,DF=AE, MAB=MAC=45 又AE=BF,AEMBFM EM=FM, AME=BFM 又BMF+AMF=90 AME+AMF=90练习题 MEF是等腰直角三角形【例1】 下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（ ）

15、A.只有命题正确 B.只有命题正确C.命题、都正确 D.命题、都不正确分析：C【例2】 (四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为（ ）A.32.5 B.57.5 C.65或57.5 D.32.5或57.5分析：C【例3】 如图，在ABC中，ADBC于D,请你再添加一个条件，就可以确定ABC是等腰三角形。你添加的条件是 分析：BD=DC或AD平分BAC或B=C【例4】 在RtABC中，C=90，A=30，BC+AB=6cm，则AB= cm分析： 在RtABC中，A=30 BC=AB AB=4cm【例5】 已知：等边ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等边CDE,连结AD,则有ADBC,上述结论还成立吗？答 分析：仍成立，可证得BCEDCA DAC=B=ACB=60 ADBC