线性代数北京理工大学出版社习题解答.docx
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线性代数北京理工大学出版社习题解答
第一章行列式
学习要求
1.理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；
2.理解n级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；
3.理解n阶行列式的概念和n阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角
行列式和一些简单的特殊的n阶行列式；
4.掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；
5.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；
6.掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.
§1.1二阶与三阶行列式
1.计算二阶行列式：
（5）
x
1
x2
1
1
（x
1）（x2
x
1）
x2
x3
x21;
x2
x
2．计算三阶行列式：
1
0
1
（2）
3
5
0
5
0
（
12）
0
0
0
7;
0
4
1
x
3
4
3．求解方程D
1
x
0
0.
0
x
1
x
3
4
0,故原方程的解为x
1或x3.
解
由1
x
0
x2
4x3
（x
1）（x
3）
0
x
1
4．用行列式解下列方程组：
1
3x1
2x2
3,
（2）
x1
2x2
x3
0,
（1）
2x1
x2
x3
1,
4x1
3x2
1.
x1
x2
2x3
3.
解
3
2
8
10,
3
2
7,
（1）D
9
D1
92
4
3
1
3
3
3
12
9,
x17,x29.
D2
3
故所求的方程组有唯一解：
4
1
1
2
1
（2）D2
1
1
22211880,
1
1
2
D1
0
2
1
1
0
1
1
2
0
1
1
1
4，D2
2
1
1
4，D3
2
1
1
12,
3
1
2
1
3
2
1
1
3
故所求的方程组有唯一解：
x1
1
x2
1
3
2
x3
.
2
2
x
2
3
6.当x取何值时，1
x
3
0.
1
2
3
x
2
3
解得x
1且x
2.
解
由1
x
3
3x
2
9x
63（x
1）（x
2）
0,
1
2
3
§1.3n阶行列式的定义
1.
写出四阶行列式中含有因子
a22a34的项.
解
利用n阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有
4个元素相乘，
题目已给出了两个已知因子，
那么还有两个元素还未写出，由于因子a22a34
的行标已经取了
2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取
1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因
子为a11a43和a13a41.又因为
（1243）1，（3241）
4
，所以四阶行列式中含有因子
a22a34的
项为（
1）（1243）a11a22a34a43和
（1）（3241）a13a22a34a41，即
a11a22a34a43和a13a22a34a41.
2
x
x
1
0
1
x
2
3
x3的系数.
3.已知f（x）
3
x
，用行列式的定义求
2
2
1
1
2
x
解
f（x）的展开式中含
x
3的项只有一项：
（2134）
3，故
x
3的系数为
1
（1）x1xx
x
.
4.
利用行列式的定义计算下列行列式
:
0
0
0
1
（2）
0
2
0
0
（4213）12
34
24;
3
0
0
（1）
0
0
0
4
0
解析由
n阶行列式的定义可知
:
行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代
数和.因为第
1行只有一个非零元素
1，先取a14
1，则第1
行和第4列的元素不能
再取了，再考虑第
2
行的元素，第
2行只能取a22
2，则第
2行和第2
列的元素也
不能再取了，对第
3
行的元素而言，此时只能取
a31
3，则第3行和第
1列的元素
不能再取了，最后第4
行的元素只能取a43
4，那么行列式的结果为
（1）（4213）a14a22a31a4312
3
424;
补充练习
5x
1
2
3
x
x
1
2
x3和x4的项.
1.由行列式的定义写出D
2
x
的展开式中包含
1
3
x
1
2
2x
解
D的展开式中含
x4的项只有一项
（
1）（1234）5x
xx
2x10x4，而含x3的项有
两项（
1）（2134）1x
x2x和（
1）（4231）3xx
x，从而展开式中含
x3的项为：
（
1）（2134）1x
x2x
（
1）（4231）3x
x
x2x3
3x3
5x3.
§1.4行列式的性质
1.利用行列式的性质计算下列行列式：
ab
ac
ae
1
1
1
r2
r1
1
1
1
（2）bd
cd
de
abcdef1
1
1
abcdef0
0
2
bf
cf
ef
1
1
1
r3
r1
0
2
2
3
111
r2r3
abcdef0224abcdef;
002
（3）由于每一行（或列）的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提
取公因子
6，利用性质
5化成三角形行列式即可求值.
3
1
1
1
6
6
6
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
6
0
2
0
0
48;
1
1
3
1
1
1
3
1
6
1
3
1
0
0
2
0
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
0
0
0
2
1
2
12r2
（3）r1
1
2
12
12
12
3
0
1
1r3
（1）r1
0
64
7r2
（1）r3
0
23
9
（4）
204
r4
2r1
0
41
2
0
41
2
1
2
4
1
1
0
0
1
3
0
0
1
3
1
2
1
2
1
1
2
1
2
r3
（2）r2
0
23
9r4
（
5
）r3
0
23
9
0
0
5
20
0
0
5
10.
20
0
0
1
3
0
0
0
1
2.证明下列等式：
a2
（a
1）2
（a
2）2
（a
3）2
（2）b2
（b
1）2
（b
2）2
（b
3）2
0;
c2
（c
1）2
（c
2）2
（c
3）2
d2
（d
1）2
（d
2）2
（d
3）2
1x1y1
1x1y2
1x1y3
（3）1x2y11x2y2
1x2y3
0;
.
1x3y1
1x3y2
1x3y3
证明
（2）
把行列式中的括号展开，第
1
列乘以-1
加到其它列，化简行列式.
a2
（a
1）2
（a
2）2
（a
3）2
a2
2a
1
4a
4
6a
9
b2
（b
1）2
（b
2）2
（b
3）2
b2
2b
1
4b
4
6b
9
c2
（c
1）2
（c
2）2
（c
3）2
c2
2c
1
4c
4
6c
0;
9
d2
（d
1）2
（d
2）2
（d
3）2
d2
2d
1
4d
4
6d
9
（3）由性质4，将D的第1列拆开，得
1
1x1y2
1x1y3
x1y1
1
x1y2
1x1y3
D
1
1
x2y2
1
x2y3
x2y1
1x2y2
1
x2y3,
1
1
x3y2
1
x3y3
x3y1
1
x3y2
1
x3y3
4
将第1
个行列式的第1列乘以-1
加到第2、3列，第
2个行列式第
1列提取y1，得
1
x1y2
x1y3
x1
1x1y2
1x1y3
D1
x2y2
x2y3
y1x2
1
x2y2
1
x2y3
，
1
x3y2
x3y3
x3
1
x3y2
1
x3y3
将第1
个行列式第2、3列提取y2,y3，将第2个行列式的第
2列、第3列分别拆开，最后
可得如下行列式，
1
x1
x1
x1
1
1
x1
1
x1y3
x1
x1y2
1
x1
x1y2
x1y3
Dy2y31
x2
x2
y1x2
1
1
x2
1
x2y3
x2
x2y2
1
x2
x2y2
x2y3
1
x3
x3
x3
1
1
x3
1
x3y3
x3
x3y2
1
x3
x3y2
x3y3
100;
3.计算下列n阶行列式.
x
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
x
1
（2）
2
2
3
2;
（1）
;
1
1
x
2
2
2
n
解
（1）
把第2,3,
n列分别乘以
1加到第
1列，得到第1
列的公因子x（n
1），提取
公因子之后，再给第
1行乘以
（1）加到第2,3,
n行，化成上三角形行列式，得到行列式
的值.
x1
1
x（n1）1
1
11
1
1x
1
x（n1）x
1
（n
1x
1
[x
1）]
11
x
x（n1）1
x
11
x
1
1
1
0
x1
0
[x
（n
1）]（x
1）n1;
[x（n1）]
0
0
x
1
（2）把第2行乘以（-1）分别加至其余各行，再把第
1行乘以2加至第2行，得
5
12
2
2
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
3
2
0
0
1
0
0
0
1
0
2（n2）!
;
2
2
2
n
0
0
0
n-2
0
0
0
n-2
1
1
1
1
1
1
1
1
0的根.
4.求方程
1
1
1
1
1
1
1
1
解第1行乘以（
1）加到第2,3,4行，得如下行列式:
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
再将上述行列式的第
2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.
4
1
1
1
0
0
0
3（4）,
0
0
0
0
0
0
即可求出根:
0或
4.
补充练习
a11
a12
a13
2a11
a21
3a11
a21
a31
2.
已知行列式
a21
a22
a23
2
，求行列式
2a12
a22
3a12
a22
a32
的值.
a31
a32
a33
2a13
a23
3a13
a23
a33
2a11
a21
3a11
a21
a31
a11
a21
3a11
a21
a31
解
2a12
a22
3a12
a22
a32
2a12
a22
3a12
a22
a32
2a13
a23
3a13
a23
a33
a13
a23
3a13
a23
a33
a11
a21
a21
a31
a11
3a11
a21
a31
2a12
a22
a22
a32
2a12
3a12
a22
a32
a13
a23
a23
a33
a13
3a13
a23
a33
a11
a21
a21
a11
a21
a31
a11
a12
a13
2a12
a22
a22
2a12
a22
a32
=
2a21
a22
a23
4.
a13
a23
a23
a13
a23
a33
a31
a32
a33
6
§1.5行列式按行（列）展开
204
1.求行列式502中元素5与2的代数余子式.
311
元素5的代数余子式为
A21
（
2
1
0
4
4,
解
1）
1
1
元素2的代数余子式为
A23
（
1）2
3
2
0
2.
3
1
2.
已知四阶行列式第
3行元素依次为
4、3、0、-2，它们的余子式依次为
2、1、-1、4，
求行列式的值.
解
由行列式按行（列）展开定理，得
Da
A
a
A
32
a
A
33
a
A
34
31
31
32
33
34
3
1
23（
3
2
3
3
3
4
（1）4
4
（1）
1）
10
（1）
（1）
（2）
8
3
0
8
13.
3.求下列行列式的值
12
3
4c3
（1）c1
12
2
2
2
2
2
10
1
2c4
（2）c1
10
0
0
1
（
21
1
4
6
（2）
1
1
0
3
1
4
6
1）
3
2
1
7
1
2
0
5
1
2
1
7
c2
（
1）c1
2
0
0
c3
（
1）c1
3
5
1
3
5
2
（
11
24;
1）
3
9
2
3
9
（3）所求行列式为四阶X德蒙行列式，由X德蒙行列式的展开公式，得
1
1
1
1
1
2
2
x
（21）（
21）（
2
2）（x
1）（x
2）[x
（
2）]
1
4
4
x2
1
8
8
x3
12（x
1）（x
2）（x
2）.
1
1
0
0
4.讨论当k为何值时，行列式
1
k
2
0
0
.
0
0
k
3
0
0
3
k
7
1
1
0
0
1
0
0
0
k
1
2
0
1
k
2
0c2
（1）c1
1
k1
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