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1、线性代数北京理工大学出版社习题解答第一章 行列式学习要求1.理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2.理解 n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3.理解 n 阶行列式的概念和 n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的 n 阶行列式；4.掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6.掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解 .1.1

2、 二阶与三阶行列式1.计算二阶行列式：(5)x1x211( x1)(x2x1)x2x3x2 1;x2x2 计算三阶行列式：101(2)35050(12)0007;041x343 求解方程 D1x00.0x1x340, 故原方程的解为 x1或x 3.解由 1x0x24x 3(x1)(x3)0x14 用行列式解下列方程组：13x12x23,(2)x12x2x30,(1)2 x1x2x31,4x13x21.x1x22x33.解3281 0,327,(1) D9D19 2431333129,x1 7, x2 9.D 23故所求的方程组有唯一解：41121(2)D211222118 80,112D 10

3、211011201114， D22114， D321112,312132113故所求的方程组有唯一解：x11, x2132, x3.22x236. 当 x 取何值时， 1x30.123x23解得 x1且x2.解由 1x33x29x6 3( x1)(x2)0,1231.3 n 阶行列式的定义1.写出四阶行列式中含有因子a22a34 的项 .解利用 n 阶行列式的定义来求解 . 行列式的阶数是四，每一项都要有4 个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出， 由于因子 a22a34的行标已经取了2， 3，列标取 2，4，所以剩下因子的行标只能取1， 4，列标只能取 1，3，因此未

4、写出的因子为 a11 a43 和 a13 a41 . 又因为(1243) 1 ， (3241)4，所以四阶行列式中含有因子a22 a34 的项为 (1) (1243) a11a22 a34 a43 和( 1) (3241) a13 a22 a34 a41 ，即a11a22 a34 a43 和 a13 a22 a34 a41 .2xx101x23x3 的系数 .3. 已知 f ( x)3x，用行列式的定义求22112x解f ( x) 的展开式中含x3 的项只有一项：(2134)3 ，故x3 的系数为1( 1)x 1 x xx.4.利用行列式的定义计算下列行列式:0001(2)0200( 4213

5、)1 23 424 ;300( 1)00040解析 由n 阶行列式的定义可知: 行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和 . 因为第1 行只有一个非零元素1，先取 a141，则第 1行和第 4 列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2 行只能取 a 222 ，则第2行和第 2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取a313 ，则第 3 行和第1 列的元素不能再取了，最后第 4行 的 元 素 只 能 取 a434，那么行列式的结果为( 1) ( 4213) a14 a22a31 a43 1 234 24;补充练习5x123xx12x3 和 x 4 的项 .1. 由行列式的定

6、义写出 D2x的展开式中包含13x122x解D 的展开式中含x4 的项只有一项(1) (1234) 5xx x2x 10 x4 ，而含 x3 的项有两项 (1) (2134) 1 xx 2x 和 (1) (4231) 3 x xx ，从而展开式中含x3 的项为：(1) ( 2134) 1 xx 2x(1) (4231) 3 xxx2x33x35x3 .1.4 行列式的性质1.利用行列式的性质计算下列行列式：abacae111r2r1111(2) bdcddeabcdef 111abcdef 002bfcfef111r3r102231 1 1r2 r3abcdef 0 2 2 4abcdef ;

7、0 0 2(3)由于每一行 (或列 )的和都是等于 6，故将第 2， 3，4 行都乘以 1 加到第一行，再提取公因子6，利用性质5 化成三角形行列式即可求值 .31116666111111111311131113116020048;113111316131002011113111311130002121 2 r2( 3)r1121 21 21 23011 r3( 1)r106 47 r2( 1)r302 39(4)2 0 4r42r104 1204 121241100130013121211212r3( 2)r202 39r4(5)r302 390052000510.20001300012.证

8、明下列等式：a2(a1) 2( a2) 2(a3)2（ 2） b2(b1) 2(b2) 2(b3)20 ;c2(c1)2(c2)2(c3)2d 2(d1) 2(d2) 2(d3)21 x1 y11 x1 y21 x1 y3（3） 1 x2 y1 1 x2 y21 x2 y30 ;.1 x3 y11 x3 y21 x3 y3证明(2)把行列式中的括号展开，第1列乘以 -1加到其它列，化简行列式 .a2( a1)2( a2)2(a3)2a22a14a46a9b2(b1)2(b2)2(b3)2b22b14b46b9c2( c1)2(c2) 2(c3)2c22c14c46c0 ;9d 2( d1)2(

9、d2)2(d3)2d 22d14d46d9(3)由性质 4，将 D 的第 1 列拆开，得11 x1 y21 x1 y3x1 y11x1 y21 x1 y3D11x2 y21x2 y3x2 y11 x2 y21x2 y3 ,11x3 y21x3 y3x3 y11x3 y21x3 y34将第 1个行列式的第 1 列乘以 -1加到第 2、 3 列，第2 个行列式第1 列提取 y1 ，得1x1 y2x1 y3x11 x1 y21 x1 y3D1x2 y2x2 y3y1 x21x2 y21x2 y3，1x3 y2x3 y3x31x3 y21x3 y3将第 1个行列式第 2、 3 列提取 y2 , y3

10、，将第 2 个行列式的第2 列、第 3 列分别拆开，最后可得如下行列式，1x1x1x111x11x1 y3x1x1 y21x1x1 y2x1 y3D y2 y3 1x2x2y1 x211x21x2 y3x2x2 y21x2x2 y2x2 y31x3x3x311x31x3 y3x3x3 y21x3x3 y2x3 y310 0 ;3.计算下列 n 阶行列式 .x11122222221x1(2)2232 ;(1);11x222n解 (1)把第 2,3, n 列分别乘以1 加到第1 列，得到第 1列的公因子 x (n1) ，提取公因子之后，再给第1 行乘以 ( 1) 加到第 2,3,n 行，化成上三角

11、形行列式，得到行列式的值 .x 11x ( n 1) 111 111 x1x ( n 1) x1( n1 x1 x1)1 1xx ( n 1) 1x1 1x1110x 10 x(n1)(x1)n 1 ; x ( n 1)00x1(2) 把第 2 行乘以 (-1) 分别加至其余各行，再把第1 行乘以 2 加至第 2 行，得51 222- 1000- 10002222222202222232001000102 (n 2)! ;222n000n - 2000n - 2111111110的根 .4. 求方程11111111解第1行乘以(1) 加到第 2,3,4 行，得如下行列式 :1111000,00

12、0再将上述行列式的第2，3， 4 列乘以 1 加到第 1 列，化成上三角形行列式 .41110003( 4),000000即可求出根 :0或4 .补充练习a11a12a132a11a213a11a21a312.已知行列式a21a22a232，求行列式2a12a223a12a22a32的值 .a31a32a332a13a233a13a23a332a11a213a11a21a31a11a213a11a21a31解2a12a223a12a22a322 a12a223a12a22a322a13a233a13a23a33a13a233a13a23a33a11a21a21a31a113a11a21a312

13、 a12a22a22a322 a123a12a22a32a13a23a23a33a133a13a23a33a11a21a21a11a21a31a11a12a132 a12a22a222 a12a22a32=2 a21a22a234 .a13a23a23a13a23a33a31a32a3361.5 行列式按行（列）展开2 0 41. 求行列式 5 0 2 中元素 5 与 2 的代数余子式 .3 1 1元素 5 的代数余子式为A21(21044,解1)11元素 2 的代数余子式为A23(1)23202.312.已知四阶行列式第3 行元素依次为4、3、0、 -2，它们的余子式依次为2、1、-1、 4

14、，求行列式的值 .解由行列式按行（列）展开定理，得D aAaA3 2aA3 3aA3 43 13 13 23 33 4312 3 (323334(1)44(1)1 )10(1)(1) (2)83081 3.3.求下列行列式的值1 234 c3( 1)c11 2222221 012 c4( 2)c11 0001(2 1146（ 2）11031461)321712051217c 2(1)c1200c3(1)c1351352(1 124;1)39239（ 3）所求行列式为四阶X德蒙行列式，由X德蒙行列式的展开公式，得1111122x(2 1)(2 1)(22)( x1)(x2) x(2)144x2188x312( x1)(x2)( x2).11004. 讨论当 k 为何值时，行列式1k200.00k3003k711001000k1201k20 c2 ( 1)c11k 1