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数学建模问题二求解论文
商业公司订货问题
摘要
本文根据商业公司订货流程以及附表中的数据，建立了整数非线性规划模型来制定商业公司的订货方案，并对模型进行了灵敏度分析，依据分析结果对模型进行了评价。
问题一是以允许缺货为背景，考虑以最小订货花费组织订货，属于物资配置优化问题，建立了整数非线性规划模型，模型建立大致分为两个步骤：
1．确定目标函数。
该模型的目标函数是订货总花费，包括：
固定订货费、购买成本费、从工厂到仓库和从仓库到分厂的运输费、仓库存储费以及缺货损失费。
2．确定约束条件。
考虑了订货资金约束、仓库容量约束、工厂产量约束、需求量约束这四个约束条件。
对于模型的求解，首先用经济学中经典的EOQ公式求出了订货次数N=12，再通过lingo软件编程得出了最优的订货量以及运输方案，此时的总花费最少，为11512030元。
分别取了几组数据检验，证明利用EOQ公式求解出订货次数，然后求此模型的解的方法简单准确。
问题二是在问题一的基础上增加A1工厂有优惠活动的条件，与问题一属于同类性质的问题，于是对问题一的模型进行了修改，目标函数变为问题一中的费用减去因A1工厂实行优惠活动减少的物资订购成本，同样建立整数非线性规划模型，通过问题一的方法求解得到订货周期为N=12，最少花费为11501050元。
问题三中，假定工厂在订货后安排生产，公司在库存为零后立即安排订货，其他条件与问题二相同。
此模型仍是一个非线性规划模型，目标函数为订货费、成本费、运输费、仓储费之和。
求解以上模型，得出在订货次数为15次时，总花费S的值为11354830元。
经过对比，匀速供货不允许缺货模型为本文中花费最少的。
论文在最后给出了模型的评价。
由实际经验知，不同体积的物资的运输费用一般不相同，对各阶段运输费用进行合理的改进。
本文的特色是采用了经济学中的EOQ公式对模型进行求解，减少非线性变量的个数，大大地简化了求解过程，增快了求解速度。
匀速供货不允许缺货模型减少了物资的仓储费用，是低库存控制策略的目标。
一问题重述
为了降低订货成本，商业公司往往会遵循订货流程，合理设计订货计划，使总的订货花费最少。
现已知某个商业公司管理着5个仓库（B1—B5）和8个分店（C1—C8），主要经营10种物资，而这些物资全部向3个工厂（A1—A3）进货。
公司的工作流程是根据8个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。
分店只消耗物资，不储存物资。
各个工厂生产10种物资的全部或部分物资，年产量如表一，而各种物资单价如表二。
每个工厂到每个仓库的运输单价如表三，每个仓库的容量如表四。
同种物资在不同的仓库的库存费一样，而不同物资的库存费是不同的，另外每种物资有着自己的体积，物资的库存费与单位占用库容如表五。
5个仓库到8个分店的运输单价如表六，8个分店对物资的年需求量如表七。
公司每次订货都会有其它的各种花费，不妨称为订货费，设公司每次的订货费为1万元，另外，一次订货可使用的流动资金上限为100万元，如果进行销售时允许缺货，但是缺货的损失费是存储费的2倍。
要求对以下问题进行研究：
（1）公司一年之中应该怎样组织订货（各种物资的订货次数与订货量以及运输方案）使得总的花费最少？
（2）如果A1工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，公司又应该怎样组织订货？
（3）若将该问题改为更加接近实际些，哪些条件可以变动？
（如工厂物资的单位价格随产量的增加而相应减少），试给出一种具体情形对于第二问再作进一步的讨论.
二问题分析
商业公司的订货问题属于物资优化配置问题，是一类典型的数学规划问题。
针对题目中的各个问题，可做如下分析：
2.1问题一的分析
问题一要求合理组织订货，使总的花费最少。
这个问题可通过建立数学规划模型来解决，整个求解过程包括三个环节：
1、确定优化的目标和寻求的决策。
2、找出约束条件。
3、对规划函数进行求解。
这个规划问题的目标函数是全年订货的总费用，主要包括：
固定的订货费用、购买物资的费用、从工厂到仓库的运输费用、从仓库到分店的运输费用、仓库的存储费用和缺货的损失费用。
要做出的决策是订货计划，即确定各种物资的订货次数与订货量以及运输方案，决策受到多个条件限制：
流动资金上限、仓库容量、产量、需求量。
在模型求解方面，可先建立线性规划模型，用lingo软件编程求出成本费和运输费之和，再利用经济学中著名的EOQ公式计算出订货周期，最后确定订货量和运输方案。
2.2问题二的分析
问题二是在A1工厂有订购优惠活动的背景下，研究商业公司如何组织订货的问题。
同样是物资的资源优化配置问题。
只需在第一问的基础上，对第一问的模型进行修改。
由于在模型假设中，各物资一个周期的订货量是不变的，变的只是从每个工厂的订购量。
因此，在问题二建立模型时，目标函数总费用需在订货费、成本费、运输费、库存费、缺货损失费之和的基础上，减去因为优惠节省下来的费用。
约束条件和问题一的约束条件大致相同，只需在约束流动资金上限时减去因为优惠节省下来的费用即可。
最后同样用Lingo软件编程计算出具体的订货量和运输方案。
2.3问题三的分析
显然地，原题数据存在不合理的地方，不可能像原题所给出的，不同体积、种类的物资的运输费都一样，所以有理由可以认为，运输费和库存费均与物资的体积有关，而且是成正比关系。
在问题1，2的基础上，考虑到工厂到仓库的运输费与物资的体积有关，物资的库存费用也与物资体积有关，则从工厂到仓库的物资运输费是各物资的体积乘上相应的单位体积物资的运输费，从而重新建立目标函数和约束条件，再使用Lingo软件求出相应的最好的运输方案和最少运输费用。
三模型假设
A.不考虑运输的时间，公司下订单后即瞬间到货。
B．假设在各分店订货的周期相同，且同一分店内的不同种类货物的在相同的时间内售完。
C．假设个分店的每种货物的销售速率不随时间发生变化。
D．实际情况中订货单价是随订货量的增大而降低，且存储费随货物存储量的变化不是线性关系，第一问的模型中假设单价和存储费均不变。
四符号意义
S：
每年公司组织订货的总费用。
：
每批货物的订货周期。
订货次数为1/T。
：
每个周期内的缺货时间。
：
从第i家工厂运至第j家仓库的第m种物资的件数。
i=1,2,3；j=1,2,3,4,5.m=1,2…9,10.
:
从第j家仓库运至第k家分店的第m种物资的件数。
k=1,2…7,8.
：
从第i家工厂至第j家仓库的物资的运费单价（元/每件）。
：
从第j家仓库至第k家分店的物资的运费单价（元/每件）。
：
第i家工厂第m种物资的单价（元/每件）。
：
每个周期内第k家分店第m种物资的需求量。
：
第m种物资的体积。
：
第j仓库的容积。
：
仓库中第m种物资的存储费（元/件/年）。
：
第i个公司第m种货物的年产量。
：
第m种物资在每个订购周期结束后的订货量
五模型的建立与求解
5.1模型的准备
经济订货批量法（EOQ）[1]
经济订货批量法（EOQ）通过费用分析求得在库存总费用为最小时的订货批量，用以解决独立需求物品的库存控制问题。
EOQ库存控制模型中的费用主要包括：
1.库存保管费用。
2.订货费。
3.缺货费。
EOQ的控制原理就在于控制订货批量，使年度总库存成本量小。
其中
年度总库存成本=年度采购成本+库存保管费+订货费
假设：
商品需求量均衡、稳定，年需求量为固定常数，价格固定，年度采购成本（指所采购货物的价值，等于年需求量×价格）为固定常数，且与订购批量无关。
则年度总库存成本与批量的关系如下图所示。
从图可见，库存保管费随订购量增大而增大，订货费用随订购量增大而减少，而当两者费用相等时，总费用曲线处于最低点，这时的订货量为EOQ。
（1）理想的经济订货批量
式中：
TC——年度库存总费用；
D——年需求两，件/年；
P——单位采购成本，元/件；
Q——每次订货批量，件；
C——单位订货费，元/次；
K，PF——每次货物平均年库存保管费用，元/件·年；
F——单件货物保管费用与单件货物单位采购成本之比，即年保管费率；
Q/2——年平均存储量；
EOQ——经济订货批量。
理想的经济订货批量指不考虑缺货，也不考虑数量折扣以及其他问题的经济订货批量。
在不允许缺货，也没有数量折扣等因素的情况下
年度总库存成本=年度采购成本+库存保管费+订货费
要使TC最小，将上式对Q求导数，并令一阶导数伪，得到经济订购批量EOQ的计算公式为
⑵允许缺货的经济订货批量
在实际生产活动中，订货到达时间或每日耗用量不可能稳定不变，因此有时不免会出现缺货。
在允许缺货情况下，经济批量是指订货费、保管费和缺货费之和最小时的订货量，计算公式为
EOQ=
•
式中：
C——每次订货费，元/次
C。
——单位缺货费，元/件•年
K——单位货物平均年度库存保管费，元/件•年
D——年需求量。
5.2问题一模型的建立与求解
问题一是考虑在缺货的情况下，即公司订货不能恰好满足分店对货物的需求，此种情况下损失费为存储费的2倍。
在缺货下的情形物资的数量与时间的关系图像为：
5,2,1模型的建立
（1）目标函数的确定
公司所花的费用是下列各种费用之和：
订货费、成本费、运输费、存储费、缺货损失费。
每次订货的费用是10000元。
每年订货的订货费为：
10000/T元
运输费用分为从工厂到仓库的运费和从仓库到分店的运费。
考虑一个周期内，一年内工厂到仓库的运费为：
一年内仓库到分店的总运费为：
一年内订购产品的定金的数额为：
一年内存储费用则为：
一年内缺货损失费为：
则一年花费的总费用是：
（2）约束条件的确定
由于每个仓库有容积限制，其约束条件为：
公司每年在各个工厂所定货物的总量不大于工厂的各种货物的年产量，其约束条件为：
一次订货的费用不大于1000000元，每年订货
次，总费用的约束条件为：
由于从工厂运输到各个仓库的各种物资数量总和与从仓库运输到各个分厂的各种物资的数量总和相等：
由于允许缺货，从各个工厂的运出量应小于等于各个分店的总需求量：
由于允许缺货，从各个仓库运往各个分店的各种物资量小于等于各个分店对这种物资的需求量：
（3）规划模型的建立
综上所述，建立以下的单目标非线性规划模型：
5.2.2模型的求解
先利用经典的EOQ公式求得的订货次数为N=11.93762，结合本题题意订货次数N需取整数，所以对N四舍五入后取整确定为N=12，然后利用Lingo软件编程，求解以上模型，得出在订货次数为12次时，总花费S的值为11512030元。
结合lingo软件的求解结果，整理出各种物资的缺货量与订货量以及运输方式，其整理结果见附表一。
5.3问题二模型的建立与求解
问题二是在A1工厂实行优惠活动的背景下，研究公司的订货方案。
因为问题二与问题一属于同类性质的问题，所以决定在问题一的模型上进行修改，利用改进的非线性整数规划对该问题进行求解。
在改进的模型中，我们同样要确定目标函数和约束条件，以此建立一个完整的模型。
5.3.1模型的建立
（1）目标函数的确定
本问题的目标函数同样是订货方案的总花费，包括成本费，订购费，运输费，仓储费，缺货损失费，同时还要减去因A1公司优惠活动使成本费减少的那部分。
改进的模型中新增三个变量如下：
：
改进模型中每次从第i个工厂运到第j个仓库的m货物的件数。
：
改进模型中第i个工厂的第m种货物的订购单价（元/每件）。
:
改进模型的总花费。
此时的目标函数为：
（2）约束条件的确定
因为问题二的规划模型是在问题一的模型的基础上建立的，所以问题二的约束条件与问题一也基本一致，只需在问题一的约束条件上再加一个约束条件。
此时新增约束条件变为：
（3）模型的建立
综上所述，我们得到一个改进的非线性整数规划模型，如下：
5.3.2模型的求解
利用问题一中求得的最优订货次数N=12，在A1公司中总的订货件数为1165件。
并结合lingo软件求得以上建立的模型。
得出A1工厂实行优惠后，总花费S的值为11501050元。
相比A1工厂实行优惠前共节约了10980元。
结合lingo软件的求解结果，整理出各种物资的缺货量与订货量以及运输方式，其整理结果见附表二。
5.4问题三模型的建立与求解
5.4.1模型的建立
工厂的生产能力是一定的，也是有限的。
实际生产中，公司在订货后，工厂会根据订单安排生产，并尽量把生产出的产品分批供应给公司。
考虑到工厂的产能，公司在安排订货的时间为库存量等于零的时间，因此建立了匀速供货不允许缺货模型，A1工厂仍有优惠活动。
（1）
（2）
联立方程
（1）,
（2）,得最大库存量
（3）
库存费用为
目标函数：
先利用经典的EOQ公式求得的订货次数为N=14.7065，结合本题题意订货次数N需取整数，所以对N四舍五入后取整确定为N=15，然后利用Lingo软件编程，求解以上模型，得出在订货次数为15次时，总花费S的值为11354830元。
结合lingo软件的求解结果，整理出各种物资的缺货量与订货量以及运输方式，其整理结果见附表三。
六模型检验
（1）对第一问中不允许缺货时的模型检验，令
，N=15，利用经典的EOQ公式求得的订货次数为N=14.7065，结合本题题意订货次数N需取整数，所以对N四舍五入后取整确定为N=15，然后利用Lingo软件编程，求解以上模型，得出在订货次数为15次时，总花费S的值为11524780元。
由下表可知，利用EOQ直接解出N的值简化了运算，并且有最小值。
N
S
11
无
12
11530010
13
11531840
14
11573410
15
11524780
16
11540210
17
11585310
（2）对第二问中不允许缺货时的模型检验，令
，N=12，求解以上模型，得出在订货次数为12次时，总花费S的值为11519040元。
说明不允许缺货时比允许缺货时费用大，说明模型的假设合理。
（3）对第三问中允许缺货时的模型检验，令
，N=12，求解以上模型，得出在订货次数为12次时，总花费S的值为11365810元。
说明允许缺货时比不允许缺货时费用大，说明此种匀速供货不允许缺货模型的假设合理。
七模型的评价
7.1模型的优点
（1）本模型建立在合理假设的基础上，抓住主要因素忽略次要因素，既能简化问题又能反映出多商品联合订货存储运输时的最优解决方案。
（2）模型的准备阶段利用经济学中著名的经济订货批量公式（EOQ公式）作为理论根据，简化了求解过程，增强了模型的说服力。
（3）该模型不仅适用于物资的订购运输问题，它对规划类问题的求解也可以起到指导作用。
7.2模型的缺点
（1）实际生活中某种商品的需求在一定的时间段大致服从泊松分布[2]。
商品的需求可能与季节变化有关。
而在该模型中，认为物资的需求是均匀的。
这就使得该模型具有一定的误差。
（2）该模型忽略了物资运输的时间、物资存储的消耗、物资在商店的存储费、商品价格的变动等因素，也会降低模型的准确度。
八模型的推广
本文建立了整数非线性规划模型，解决了物资配送的规划问题，使得一年中物资订购的总费用最少，并考虑了工厂实行优惠活动以及运输费用和库存费用与物资体积的关系等情况，更接近实际，使得模型更具有实用性。
这个模型不仅仅适用于物资的订购运输问题，它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。
本题的求解是一个典型的规划问题，规划问题是运筹学的一个重要分支。
它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。
我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资时，有限的资金如何分配到各种投资方式上；工厂选址时，要兼顾距离原料区和服务区的路程……这一类问题均能得到较好的解决。
规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。
九参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊等，《数学模型》（第三版），北京，高等教育出版社，2003年
[2]盛骤，谢式千，潘承毅，《概率论与数理统计》（第四版），北京，浙江大学，2008年
十附件
附表一：
工厂
仓库
物资
数量
1
2
1
10
3
108
5
164
6
47
9
102
1
3
8
67
1
4
5
8
8
35
1
5
1
143
3
133
4
66
5
93
6
35
8
46
9
5
2
1
1
57
4
30
7
118
8
117
2
4
1
109
2
94
4
53
6
116
7
48
8
8
3
1
2
38
3
13
4
18
3
3
2
124
3
53
4
107
6
83
7
99
9
208
3
4
2
46
1
2
10
103
2
4
10
100
3
3
10
101
3
4
10
24
仓库
分店
物资
数量
1
1
1
2
7
34
1
2
2
27
4
44
1
3
1
13
1
5
3
13
4
4
8
33
1
6
1
42
2
11
7
84
8
84
2
2
3
8
6
27
9
67
2
3
5
50
2
5
5
17
9
8
2
6
3
84
5
34
9
17
2
7
3
8
9
9
2
8
1
10
3
8
5
63
6
7
9
1
3
1
2
25
6
15
9
8
3
3
2
42
3
34
7
67
8
67
9
34
3
4
2
34
3
16
4
11
6
67
7
19
9
125
3
6
2
6
3
8
2
17
3
3
4
29
6
1
7
13
9
41
4
2
1
8
2
40
4
35
6
7
7
17
4
4
7
23
4
5
1
34
4
5
6
25
8
1
4
7
1
67
2
100
4
13
5
8
6
84
7
8
8
42
5
1
1
3
3
67
4
9
5
17
6
35
8
7
9
5
5
2
3
34
4
21
5
42
8
9
5
4
1
25
3
1
4
23
5
13
8
13
5
8
1
115
3
31
4
13
5
21
8
17
附表二：
工厂
仓库
物资
数量
1
2
1
10
1
2
3
101
1
2
4
1
1
2
5
155
1
2
6
49
1
2
9
112
1
2
10
125
1
3
8
67
1
4
3
21
1
4
4
12
1
4
5
25
1
4
8
55
1
5
1
148
1
5
3
128
1
5
4
70
1
5
5
85
1
5
6
34
1
5
8
44
1
5
9
13
2
1
1
52
2
1
4
78
2
1
7
118
2
1
8
102
2
4
1
109
2
4
2
94
2
4
4
5
2
4
6
115
2
4
7
48
2
4
8
5
2
4
10
78
3
1
2
35
3
3
2
134
3
3
3
57
3
3
4
108
3
3
6
83
3
3
7
99
3
3
9
190
3
3
10
101
3
4
2
39
3
4
10
24
仓库
分店
物资
数量
1
1
1
5
1
1
7
34
1
2
2
34
1
2
4
72
1
2
8
2
1
3
1
5
1
5
4
6
1
5
8
16
1
6
1
42
1
6
2
1
1
6
7
84
1
6
8
84
2
2
3
17
2
2
5
27
2
2
6
28
2
2
9
67
2
2
10
42
2
3
1
8
2
3
5
50
2
5
9
8
2
5
10
9
2
6
3
84
2
6
5
34
2
6
6
13
2
6
9
17
2
6
10
34
2
7
9
9
2
7
10
40
2
8
1
2
2
8
4
1
2
8
5
44
2
8
6
8
2
8
9
11
3
1
2
25
3
1
6
16
3
1
10
50
3
3
2
42
3
3
3
34
3
3
4
67
3
3
7
67
3
3
8
67
3
3
9
34
3
4
2
34
3
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