应用条件极值与隐函数习题课.docx
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应用条件极值与隐函数习题课
[应用]条件极值与隐函数习题课
第十四、十五章条件极值与隐函数习题课
一、重要内容
1、极值
1）、无条件极值的计算和判断
主要步骤:
i）、计算可疑点:
驻点，偏导数不存在的点。
Ii）、判断
A）、判断可疑点为极值点，常用方法:
p0
a）、定义法:
计算，若存在某个，使,,,ffpfp（）（）Up（）00
得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up（）p,,f000
，使得在上恒成立，则为极大值点。
Up（）Up（）p,,f0000
b）、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。
即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。
c）、驻点处极值性质的二阶导数判别法（二阶微分法）。
pp通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性00质。
pB）、判断可疑点不是极值点，常用方法有:
0
Up（）ppUp,（）,a）、定义法:
对任意的，确定一对点，0120使得
,,,fpfp（）（）012
则，不是极值点。
p0
b）、二阶导数法:
H为不定矩阵时，不是极值点。
p0
2）、条件极值的计算与判断
主要步骤:
i）、构造L-函数;
ii）、计算L-函数的驻点;
iii）、判断，常用方法为二阶微分法。
3）、隐函数极值的计算
4）、极值的应用
主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。
2、隐函数存在定理
要求:
熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数
存在定理。
二、典型例题
22例1、讨论的极值。
进一步研究zfxyyxyx,,,,（,）（）
（2）
沿任意直线在p（0,0）的极值性质。
0
解、先计算驻点。
求解
2,fxyx,,，68,x,2fyx,,23,y,
p（0,0）得唯一驻点。
0
fpfpfp（）0,（）0,（）2,,,判断。
计算得，H=0，故xxxyyy000
22dzdy|2,二阶导数法失效。
（同样，，因而不能确定对任意的p0
22dzdy|2,（dx，dy）,（0,0），都成立>0,二阶微分法同样失效。
）p0
用定义判断。
注意到
22,,,,,,zfpfpyxyx（）（）（）
（2）0
92因而，对任意,取r充分小满足，则,，,,01rr,,04
32且，故不是,pprrUp（0,）,（,）（,）,,,zpzp（）（）0p（0,0）,12012022
极值点。
再考虑沿直线y=kx在的极值性质。
转化为无条件极p（0,0）0
值讨论。
4当k=0时，沿直线y=0,函数z转化为一元函数，因zx,2而为其极小值点，故对应的为函数z沿直线y=0的x,0p（0,0）00
极小值点。
2234k,0zkxkxx,,，32当时，沿直线y=kx，则，为x,00驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的为原函数zp（0,0）0沿直线y=kx的极小值点。
注、事实上，在原点的任意邻域内，通过曲线p0
222将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线yxyx,,和2yx,
2之间的部分和曲线上面的部分，函数z在上下两部分上取yx,2
pp值为正，在曲线间的部分取值为负，而正取自使函数不同号1,2
的部分里。
当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx
2p总在曲线的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如，yx,22
p故是极值点。
0
p注、结论表明:
设为函数z的定义域内某一点，沿任一过0
直线，为函数z极值点，并不一定表明点就是函数z在ppp000
其定义域内的极值点。
2例2、计算z=f（x,y）=在由直线x+y=6及x轴、yxyxy（4）,,
轴所围成的闭区域D上的极值和最值。
解、先计算D内的极值点。
求解
fxyxy,,,,（832）0,x,2fxxy,,,,（4）0y,
的D内驻点。
p（2,1）0
（注、（0,y）、（4,0）也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。
）
判断。
计算得
，H=32，AfpBfpCfp,,,,,,,,,（）6,（）4,（）8xxxyyy000
故，为极大值点且对应的极大值为。
p（2,1）fp（）4,00
其次，计算边界上的最值。
记D的边界为lxx,,,{（,0）:
06}、1
lxyxyxy,,,，,{（,）:
0,0,6}、2
2gxzxx（）|2（6）,,,zz|0,|0,,lyy,,,{（0,）:
06}。
则，，lll3132计算得
ggxggx（0）max（）0,（4）min（）64,,,,,[0,6][0,6]
最后，对内部极值和边界值进行比较。
比较内部极值和边界
fp（）4,值可知:
函数z在D的内部有极大值，而在整个闭区域0
fp（）4,D上，函数的最大值为，最小值为f（4,2）=-64.0
AB,,例3、设为正定矩阵，计算H,,,BC,,
2222在上的最值。
zfxyAxBxyCy,,，，（,）2xy，,1
22解、在有界闭集上连续，因而存在fDxyxy,，,{（,）:
1}
最大值点
和最小值点，故，最小值pp（x,y）（x,y）211122
22，又由正定性得。
进f（x,y）,0fxyAxBxyCy（,）2,，，22222222
一步计算如下:
构造
2222，LAxBxyCyxy,，，,，,2
（1）,
得驻点方程组:
（A,）x，By,0
（1）,
,Bx，（C,）y,0，
（2）,
22,x，y,1（3）,
由于在D上必能达到最大值和最小值，故上述方程组必有解。
f
pp和就是其两个解。
由（3）知:
其解必为非零（x,y）（x,y）211122
解，因而对
（1）、
（2），必有
AB,,0BC,,
122,,，,，,,[（）（）4（）]ACACACB解得，12
122,,，，，,,[（）（）4（）]ACACACB。
22
设为其一组解，则代入方程组且由得（,,）xy,
（1）
（2），，，xy00000
2222，AxBxycyxy，，,，,2（）0,0000000
2222因而，。
即对应fxy（,）,AxBxycyxy，，,，,2（）,,0000000000
的一组解必满足，因此，必有（,,）xy,fxy（,）,,000000
，。
fxy（,）,,fxy（,）,,111222
mnp例4、计算在下的最大值。
xyza++=fxyzxyz（,,）=
其中amnpxyz>>>>>>>0,0,0,0,0,0,0.
解、显然，函数f>0，此时，f（x,y,z）与具有相同的ln（,,）fxyz单调性，故可以采用对数法。
记，构造L-函gxyzfxyzmxnypz（,,）ln（,,）lnlnln==++
数
Lxyzfxyza（,,）ln（）=-++-l
则，求解如下驻点方程组
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
mnpmanapa++l====,,,xyz得。
0000amnpmnpmnp++++++
又，计算得
mnp2222（,,,）|0dLxyzdxdydzl=---。
fp（）0>0
又，沿边界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值fxyz（,,）0=为。
fp（）0
注、注意掌握上述求极值的对数法。
n2例5、计算在条件xxxc+++=Lfxxxax（,,,）L=å12n12nii=1i
下的最小值。
其中。
acin>>=L0,0,1,2,,i
nn2解、构造L,函数，Lxxxaxxc（,,,）（）Lll=+-邋1,21nii==11ii求解方程组
Lax=+=20lx111
Lax=+=20,lx222
LLL
Lax=+=20l，xnnn
n
Lxc=-=0åli1=i
lll2c000---=-Lp（,,,）,l得唯一驻点。
00n1222aaa12nåa=i1i
由题意和驻点的唯一性，则在处达到最小值fxxx（,,,）Lp12n0
2c。
（）=fp0n1
åa=i1i
n2特别，当时，在ain==L1,1,2,,fxxxx（,,,）L=åi12ni=1i
2ccccp（,,,）L下在处达到最小值，因而，xxxc+++=L012nnnnn成立不等式
22（）xxx+++Lc222n12。
xxx+++?
Ln12nn
注、利用题意和驻点的唯一性，不需进一步的判断，可以直接给出唯一的驻点处的极值性质，这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。
ststtte,,，ln例7、证明:
时成立不等式。
ts,,1,0
s证明、用极值理论证明不等式。
记，,（,）lnsttttets,,，,
，只需证明在D上成立，因而，只D,，,，，,[0,）[1,）,（,）0st,需证明,（,）st在区域D上的最小值为0。
求解
s,,,,,et0s,,,,ln0ts,t,
ss,0得函数的驻点为曲线，上的所有点且lte:
,（,）st
。
（,）|0st,l
（进一步验证，在这些驻点处都有H=0，因而，二阶导数法失效，
且在无界区域D上，函数最值存在性也是未知的，为此，,（,）st
采用逼进法，转化为在有界闭区域的最值的讨论。
）
记，则，曲线l在内的点仍是的驻DRR,，[0,][1,]D,（,）stRR点，为计算在上的最值，只需讨论边界最值。
简单计算D,（,）stR
可知:
s在s=0处取到最小值0;hsses（）（,1）1,,,,,1
s在s=lnR处取到最小值0;hssRRRReRs（）（,）ln,,,，,,2
gttttt（）（0,）ln1,,,，,在t=1处取到最小值0;1
RRte,在处取到最小值0;gtRtttteRt（）（,）ln,,,，,,2
0DD因而，函数在上的最小值为0，即在，;,（,）st,（,）stRR
0由R的任意性，得到,（,）st，（,）stD,。
tt,注、沿任一条直线，可以发现，函数在曲线l上达到最0
小值0，但，由例1知道，这还不能说明函数的最小值为0。
例8、设z=z（x,y）是由
222Fxyzxxyyyzz（,,）6102180,,，,,，,
确定的隐函数，计算函数z（x,y）的极值。
分析:
先计算可疑点。
这些点满足，由此出发确zz,,0,0xy定可疑点。
解、将方程中z视为x、y的复合函数，求导得
26220xyyzzz,,,,xx
，,,,,6202220xyzyzzzyy
故、令，代入得zz,,0,0xy
x=3y
-3x+10y-z=0
222此外，还成立，Fxyzxxyyyzz（,,）6102180,,，,,，,解之得解为
，则对应点为函数zMM（9,3,3）,（9,3,3）,,,p（9,3）,p（9,3）,,1212
的可疑的极值点。
进一步计算二阶导数，得
1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,（）,（）,（）,1111111xxxyyy62336
1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,,（）,（）,（）,2222222xxxyyy62336
zp（）3,pp故，为极小值点，极小值为，为极大值点，极大值211
zp（）3,,为。
2
注、关于隐函数的极值的计算还有下述结论。
例9、具二阶连续偏导，且由=0可确定F（x,y,z）F（x,y,z）
，讨论的极值的必要和充分条件，并由此计z,f（x,y）z,f（x,y）
算由
222x，y，z,2x，2y,4z,10,0所确定的的极值。
z,f（x,y）
分析题意:
由极值理论，对一个已知的函数，其z,f（x,y）
2极值点的充要条件是已知的（在本题条件下），因此，本题的C
目的是将由表示的充要条件转化为已知的函数f（x,y）F（x,y,z）
来表示。
解:
必要条件。
给定点，设为的极值点，M（x,y,z）p（x,y）z,f（x,y）0000000
则，，，（我们要寻求能确定的条件）由z,fpM（x,y,z）000000
在点取得极值的必要条件，则pz,f（x,y）0
，，，，fp,0,fp,0。
x0y0
（根据题意，要将此条件转化为用表示的形式，因此要F（x,y,z）寻求它们的关系）
由于函数是由=0所确定的隐函数，由隐函数z,f（x,y）F（x,y,z）
FFyxf,,,f,,,F（M）,0的求导及隐函数存在的条件:
，xyz0FFzz
F（M）,F（M）,0p（x,y）因而:
z,f（x,y），故:
为的极值x0y0000
点的必要条件为:
为方程组M（x,y,z）0000
Fxyz（,,）0,,x,Fxyz（,,）0,,y
Fxyz（,,）0,,
的解。
（因而，通过求解关于x、y、z的方程组
，，其解（x,y,z）就是可能的极值FMFM（）0,（）0,,FM（）0,xy
点）。
充分性:
F（M）,0,x,F（M）,0设满足:
，M（x,y,z）,y0000,F（M）,0,
（要证在何条件下:
为的极值点，此过程与p（x,y）z,f（x,y）000
上述过程类似，将在点取得极值的充分条件p（x,y）z,f（x,y）000转化为用表示的条件）。
利用隐函数求导:
F（x,y,z）
f（p）,0,f（p）,0，因而:
为的驻点，p（x,y）z,f（x,y）x0y0000
ff,,xxxy,,|H,记，p0,,ffxyyy,,
p（x,y）则由极值的充分条件:
当H正定时，为极小值点;000
p（x,y）当H负定时，为极大值点。
000
（将上述H中的f（x,y）条件转化为F（x,y,z）的条件）。
Fx由于，因而:
f,,xFz
1f,,[（F，F,z）F,F（F，F,z）]，xxxxxzxzxzxzzx2Fz
注意到:
，，，，，zp,fp,0,F（M）,0x0x0x0
F（M）F（M）xx0xx0f（p）F（M）故:
,,,,，xx0z02F（M）F（M）z0z0
F（M）F（M）xy0yy0类似:
f（p）,f（p），,,,,xy0yy0F（M）F（M）z0z0
F（M）F（M）,,1xx0xy0,,故H,,，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,
F（M）F（M）,,1xx0xy0,,H,,故充分条件是:
正定时，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,p（x,y）为极小点;000
F（M）F（M）,,1xx0xy0,,H,,负定时，,,F（M）F（M）F（M）xy0yy0z0,,
p（x,y）为极大点。
000
222应用:
考察由F（x,y,z）,0,x，y，z,2x，2y,4z,10所确定的隐函数的极值。
由上述结论，先求解
F,2x,2,0,x,F,2y，2,0，,y
F,0,
得两组解解:
。
M（1,,1,6）,M（1,,1,,2）12
由于，则在点附近确定的隐函数为FM（）0,Mizi
，进一步判断在点的极z,f（x,y）,i,1,2z,fp（1,,1）,p（1,,1）ii12
值性质。
计算，故FxyFxyFxyFxyz（,）2,（,）0,（,）2,（,）24,,,,,xxxyyyz
10,,1,,是负定的，因而为的极大（）,,HMpz,f（1,,1）111,,014,,
值点;
10,,1,,是正定的，因而为的极小（）,pHMz,f（1,,1）222,,014,,
值点。
222事实上:
F=0为球面，因而在（x,1），（y,1），（z,2）,16
22z,2，16,（x,1）,（y，1）附近确定，为其最大值点;M（1,,1）1
22z,2,16,（x,1）,（y，1）在附近确定，为其最小值M（1,,1）2
点。
p注、由上述过程可知，极大值点p和极大值点并（1,,1）（1,,1）21
不是对同一个
M（1,1,6）,M（1,1,2）,,函数而言的，。
这是由于在和附近，确定12不同的隐函数。
22z,2，16,（x,1）,（y，1）注、对函数，其最小值在圆周
22曲线上达到，但这个实事没有在解题过程中
（1）
（1）16xy,，,,
22反映出来，其原因为在圆周曲线上的点附近，
（1）
（1）16xy,，,,
不能确定隐函数。
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