沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版.docx
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沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版
平行四边形综合题复习
1.如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG,分别交BD、CD于点E、F,连接CE.
（1）求证：
∠DAE=∠DCE;
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？
并证明你的结论?
2.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE//AC,CE//BD.
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
解：
（1）四边形OCED是菱形.（2分）∙∙∙DE//AC,CE//BD,
•••四边形OCED是平行四边形，（3分）又在矩形ABCD中，OC=OD,
•••四边形OCED是菱形.（4分）
（2）连结OE.由菱形OCED得：
CD丄OE,（5分）
•OE//BC又CE//BD•四边形BCEO是平行四边形
11
•OE=BC=8∙•S四边形OCED=-OECD—8624（8分）
22
3.如图，在□ABCD中,
BE丄AD于点E,BF丄CD于点F,AC与BE、BF分别交于点G,H。
（1）求证：
△BAEBCF
（2）若BG=BH,求证四边形ABCD是菱形
证明
（1）τBE丄AD,BF丄CD
∙∠BEA=∠BFC=90°
又ABCD是平行四边形，
∙∠BAE=∠BCFBAEBCF
（2）•••△BAEs∖BCF∙∙∙∠1=∠2又BG=BH∕∙∠3=∠4∕∙∠BGA=∠BHC
•••△BGA◎△BHC（ASA）∙AB=BC∙□ABCD为菱形
4.如图
（1）,在厶ABC和厶EDC中，AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.
（1）求证:
CF=CH;
ACDM是什么
（2）如图
（2）,△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45时，试判断四边形
四边形？
并证明你的结论.
D
（图1）
（24题图）
D
解:
⑴证明:
在△ACB和厶ECD中
D
τ∠ACB=∠ECD=90
∙∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∙∠1=∠2
又∙∙∙AC=CE=CB=CD,
∙∠A=∠D=45
•△ACB◎△ECD,
•CF=CH
⑵（5分）答：
四边形ACDM是菱形
τ∠ACB=∠ECD=90,∠BCE=45
∙∠1=45,∠2=45
又τ∠E=∠B=45,
∙∠1=∠E,∠2=∠B
•AC//MD,CD//AM,∙ACDM是平行四边形
又∙∙∙AC=CD,∙ACDM是菱形
如图，在直角坐标系Xoy中IRtOAB和RtOCD的直角顶点A,C始终在X轴的正半轴上,
B,D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD,OD=2,M为OD的中点，AB与OD相交
1
于E,当点B位置变化时，RtOAB的面积恒为
2
试解决下列问题：
（1）填空：
点D坐标为;
（2）设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？
为什么？
（4）设CM与AB相交于卩，当厶BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论•
解：
（1）（2,.,2）;（1分）
11
（2）由RtOAB的面积为得B（t，t）,
BD2AC2（ABCD）2,
BD2（t.2）2（1.2）2t2Jr2.2（t1）4①（2分）
tt2t
1211—2
（t-）222（t-）2（t-2）2.（3分）
ttt
BD111.2|t1.2.②（4分）（注：
不去绝对值符号不扣分）
tt
（3）［法一］若OB=BD,则OB2BD2.在RtOAB中,OB2OA2AB2t2音,由①得t2gt2p22（t1）4,（5分）
t2t2t
得t1.2,t22t10,
t
（∙∙.2）2420,此方程无解.
OBBD.（6分）
［法二］若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
C（∙∙2,0）,在等腰RtOCM中,可求得M（=Z,=Z）,
22
•••直线CM的函数关系式为yX.2,③（5分）
11
由RtOAB的面积为-,得B点坐标满足函数关系式y1,④
2X
联立③，④得：
x22x10,C2）2420,此方程无解.
OBBD.（6分）
［法三］若OB=BD,贝UB点在OD的中垂线CM上，如图27T
过点B作BGy轴于G,CM交y轴于H,
OBG
SOAB
OMH
MOC
IS
DOC
2
显然与SHNOSOBG矛盾.
QBBD.（6分）
（4）如果BDE为直角三角形，因为BED
45,
①当EBD90时,此时F,E,M三点重合，如图27-2
BFX轴,DCX轴,BF//DC.A此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）
②当EBD
90时，如图27-3
CF又AB
OD,BD//CF.
X轴,DCX轴,BF//DC.
a此时四边形
BDCF为平行四边形
.（8分）下证平行四边形
BDCF为菱形:
222
［法一］在BDQ中,OBQDBD,
212
t24t2
t2
1t7
A
22（tI）
4,tI
22,
［方法①］t22、_2t
1
0,BD在OD上方
解得t21,1
、2
;或t■2
1,—2
1（舍去）.
t
t
得B（..21,,2
1）,［方法②］由②得：
BDt
1、22222t
此时BDCD、.2,A此时四边形BDCF为菱形（9分）
OAAEt,OE.、2t,则EDBD2.2T.
［法二］在等腰RtOAE与等腰RtEDB中
ABAEBEt.2（2.2t）2.2t,2.2t1,即t12-2以下同［法一］.
tt
此时BDCD.2,
此时四边形BDCF为菱形.（9分）
F.
6.如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点
（1）求证：
PE=PF;
（2）
BCFE可能是菱形吗？
说明理由;
当点P在边AC上运动时，四边形
（3）若在AC边上存在点P,使四边形
AECF是正方形，且
ECF
2
900
6.⑴，证明：
tCE平分∠BCA,∙∙∙∠BCE=∠PCE又MN//BC,∙∙∙∠BCE=∠PEC∙∙∙∠PCE=∠PEC∙PE=PC——2'同理PF=PC∙PE=PF——3'
⑵不能4',理由是：
t由⑴可知，PE=PF=PC,
又PC+PF>CF,∙PE+PF>CF即EF>CF——5'
又菱形的四条边都相等，所以四边形BCFE不可能是菱形.一一6'
⑶若四边形AECF是正方形.则AP=CP,∠ACE=
450t∠BCE=∠PCE∙∠BCA=90°
又tAP3∙AC3即tan∠B=3
BC2BC
8'∙∠B=60°∙∠A=90°—/B=30°——9'
7.在厶ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°将厶ABC绕点B顺时针旋转角α（0<α<120°,#△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1、BC于D、F两点.
（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？
并证明你的结论;
（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在
（2）的情况下，求ED的长.
解：
（1）EAFC;提示证明ABEC1BF
（2）①菱形（证明略）••…
（3）过点E作EG⊥AB,
贝UAG=BG=I
在RtAEG中，AE
AG
CoSA
co⅛3川
由
（2）知AD=AB=2
ADAE2-√3
3
8.已知：
在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点.
•∙ED
12分
（1）
如图甲,
P为线段BC上一点，连接Po并延长交AD于点Q,当0是BD的中点时，求证:
OP
OQ；
（2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R,与BC的延长线交于点S•若
AD
4,∠
DCB60o,BS10,求AS和OR的长.
Q
A
∙∙∠OBP=∠ODQ
C
BCoR
•AZ•AD//
'VO是是BD的中点，
在厶BOP和厶DOQ中，
•△BOP◎△DOQ（ASA）•OP=OQ。
如图，过A作AT丄BC,与CB的延长线交于T.
是菱形，∠DCB=60
•AB=AD=4,
•OB=OD
τ∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ
（2）解:
∙∙∙ABCD
∠ABT=60
•AT=ABSin60
°=2.3
TB=ABCos60
∙∙∙BS=10,
=2
•TS=TB+BS=12,
•AS=/AT2TS22,39O
∙∙∙AD//BS,•△AODSOBo
AOAD
OSSB
彳2,则ASOS
105
2AS7
∙∙∙AS=239,
•OS7AS
5
ARAD
RSSC
•OR=OS-RS=
10<39
OS
5OS
ARDSRCO
SR2
AS
RS
RS
•RS3AS涯o
55
639
A
C,ABCD,BABCFADCCABECDF••…图••
AB丄ON
判断并
9.如图5,在平行四边形ABCD中，BE平分ABC交AD于点E,DF平分ADC交BC于点F.
求证：
（1）△ABE也CDF;
（2）若BD丄EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论•
证明：
（1）•••四边形ABCD是平行四边形，∙∙∙A
∙∙∙BE平分ABC,DF平分ADC,∙
•••△ABECDFASA
（2）由△ABECDF,得AECF5
在平行四边形ABCD中，AD//BC,ADBC
•DE//BF,DEBF
•四边形EBFD是平行四边形6
若BDEF,则四边形EBFD是菱形8
10.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持
于点B,AC丄OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由•
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想
...2分
3分
M
]）
F
解：
（1）AE=AD
（2）菱形
（法一）:
连接DF、EF
•••点F与点A关于直线OP对称,
E、D在OP上，
•AE=FE,AD=FD.
由
（1）得AE=AD
•AE=FE=AD=FD
•四边形ADFE是菱形
（法二）：
连接AF交DE于点G连接DF,EF.
点F与点A关于直线OP对称可知：
AF丄DE,AE=FE,
∙∙∙AG=FG,又IAE=AD∕∙DG=EG
•••四边形ADFE是平行四边形6分
∙∙∙AF丄DE•平行四边形ADFE是菱形
（3）OC=AC+AD
（法一）:
证明：
连接EF.
•••点F与点A关于直线OP对称,
•AO=OFIAC丄OM,∠MON=45°
∙∠OAC=90°∙∠ACO=∠MON=45°
•OF=AO=AC
由
（2）知四边形ADFE是菱形
•EF//ABAD=EF
∙∙∙AB丄ON∙∠ABC=90°∙∠EFC=∠ABC=90
τ∠ACO=45°∙∠ACO=∠CEF
BCN
12分
•FC=EF=AD
又∙∙∙OC=OF+FC
•OC=AC+AD
（法2）证明：
连接EF.
∙∙∙AC丄OM,∠MON=45°
•/OAC=90°
•/ACO=∠MON=45°
•AO=AC
由
（2）知四边形ADFE是菱形
•EF//ABAD=EF
∙∙∙AB丄ON
•/ABC=90°
•/EFC=∠ABC=90°
τ∠ACO=45°
•/FEC=∠ACO=45°
•FC=FE=AD
∙∙∙∠AOE=∠FOE
∙∙∙OE=OE,∠OAC=∠OFE=90
OAE◎△OFE
•OA=OF
11分
•OF=AC
又∙∙∙OF+FC=OC
•AC+AD=OC
（法3）证明：
延长EA到G点，使AG=AE
12分
•∠OAE=90
•OA丄GE
•OG=OE
•∠AOG=∠EOA
∠AOC=45°,OP平分∠AOC
•∠AOE=22.5°
•∠AOG=22.5°∠G=67.5°
G
M
P
E
D
∙∙∙∠CoG=∠G=67.5
∙∙∙CG=OC
由
（1）得AD=AE
∙∙∙AD=AE=AG
∙AC+AD=OC
11.如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,∠BAD=60°,E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向
以每秒2.3Cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达
10分
点C时，P,Q同时停止运动，设运动的时间为X秒
（1）当点P在线段AO上运动时.
①请用含X的代数式表示OP的长度;
②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于X的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯
形ABED,请问，当P在线段AC的其他位置
时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为
梯形？
若能，求出所有满足条件的X的值；若
不能，请说明理由•
解：
（1）①由题意得∠BAO=30°,AC丄BD
∙∙∙AB=2••OB=OD=I,OA=OC=.3
C
•OP=.32、、3x
②过点
E作EH丄BD，
则EHCOD
的中位线
■/DQ=X
•∙BQ=2-x
SBPQSBEQ
-（2x）C∙3
2
2∖3x）-（2x）
2
（2）能成为梯形，分三种情况:
OQtan3°o
C
当PQ//BE时，∠PQO=∠DBE=30
2
•X=
5
此时PB不平行QE,∙∙∙X=2时，四边形PBEQ为梯形.
5
当PE//BQ时，P为OC中点
∙AP=^,即23X
此时，BQ=2-x=5≠PE,
4
3
•••X=上时，四边形
4
当EQ//BP时，△QEHs∖BPO
HEQH
OPBO
∙∙∙x=1（x=0舍去
∙∙∙x=1时，四边形
此时，BQ不平行于
PEQB为梯形.
23
综上所述，当X=—或一或1时，以
54
12.如图乙在菱形ABCD中，∠A=60为E.
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段
BE的长.
解:
⑴在菱形
ABCD中，ABAD,
ABD为等边三角形
⑵由
（1）
可知BDAB4
又∙∙∙OEAB,及ABD
2分
D
C
C
2分
P,B,E,Q为顶点的四边形是梯形
A60
O点作0E⊥AB,垂足
AB=4,0为对角线BD的中点，过
图7
ABD60
又•••0为BD的中点
60
BOE30
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