沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版.docx

1、沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版平行四边形综合题复习1.如图，四边形 ABCD是菱形，点 G是BC延长线上一点，连接 AG,分别交BD、CD于点E、F, 连接CE.(1)求证： DAE = DCE ;(2)当AE = 2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论?2 .如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE / AC , CE/ BD .(1)试判断四边形 OCED的形状，并说明理由；(2)若AB=6 , BC=8 ,求四边形 OCED的面积.解：(1)四边形 OCED 是菱形. (2 分) DE / AC , CE / BD ,四边形OCED是平行四边形， (3分)又 在矩形

2、ABCD中，OC=OD ,四边形OCED是菱形. (4分)(2)连结OE.由菱形 OCED得：CD丄OE , (5分) OE / BC 又 CE / BD 四边形BCEO是平行四边形1 1 OE=BC=8 S 四边形OCED = -OE CD 8 6 24 (8 分)2 23.如图，在 ABCD中,BE丄AD于点E, BF丄CD于点F, AC与BE、BF分别交于点 G, H。(1)求证： BAE BCF(2)若BG = BH ,求证四边形 ABCD是菱形证明（1） BE 丄 AD , BF 丄 CD BEA = BFC = 90又ABCD是平行四边形， BAE = BCF BAE BCF(2

3、) BAE s BCF 1 = 2 又 BG = BH 3= 4 BGA = BHC BGA BHC (ASA ) AB = BC ABCD 为菱形4.如图(1),在厶 ABC 和厶 EDC 中，AC = CE = CB = CD , ACB = ECD = 90 , AB 与 CE 交于 F, ED与AB、BC分别交于M、H .(1)求证:CF = CH ;ACDM是什么(2)如图(2), ABC不动，将 EDC绕点C旋转到 BCE= 45时，试判断四边形四边形？并证明你的结论.D(图1)(24题图)D解: 证明:在 ACB和厶ECD中D ACB= ECD= 90 1+ ECB= 2+ EC

4、B, 1= 2又 AC=CE=CB=CD, A= D= 45 ACB ECD,CF=CH(5分)答：四边形ACDM是菱形 ACB= ECD= 90 , BCE= 45 1= 45 , 2= 45又 E= B= 45 , 1= E, 2= B AC / MD, CD / AM , ACDM 是平行四边形又 AC=CD, ACDM 是菱形如图，在直角坐标系Xoy中I Rt OAB和Rt OCD的直角顶点A, C始终在X轴的正半轴上,B, D在第一象限内，点 B在直线OD上方，OC=CD , OD=2 , M为OD的中点，AB与OD相交1于E,当点B位置变化时，Rt OAB的面积恒为2试解决下列问题

5、：(1)填空：点D坐标为 ;(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；(3)等式BO=BD能否成立？为什么？(4) 设CM与AB相交于卩，当厶BDE为直角三角形时，判断四边形 BDCF的形状，并证明你的 结论解：(1) ( 2, .,2) ; (1 分)1 1(2) 由Rt OAB的面积为得B(t，t),BD2 AC2 (AB CD)2,BD2 (t .2)2 (1 .2)2 t2 Jr 2.2(t 1) 4 (2 分)t t2 t1 2 1 1 2(t -)2 2 2(t -) 2 (t - 2)2. (3 分)t t tBD 11 1 . 2 | t 1 .2.

6、(4分)(注：不去绝对值符号不扣分)t t(3) 法一若 OB=BD ,则 OB2 BD2.在Rt OAB中,OB2 OA2 AB2 t2 音, 由得 t2 g t2 p 2 2(t 1) 4, (5 分)t2 t2 t得t 1 .2, t2 2t 1 0,t(.2)2 4 2 0,此方程无解.OB BD. (6 分)法二若OB=BD ,则B点在OD的中垂线 CM上.C( 2,0),在等腰 Rt OCM 中,可求得 M(=Z,=Z),2 2直线CM的函数关系式为y X .2 , (5分)1 1由Rt OAB的面积为-,得B点坐标满足函数关系式y 1,2 X联立，得：x2 2x 1 0 , C

7、2)2 4 2 0,此方程无解.OB BD. (6分)法三若OB=BD ,贝U B点在OD的中垂线 CM上，如图27 T过点B作BG y轴于G,CM交y轴于H ,OBGSOABOMHMOCISDOC2显然与S HNO S OBG矛盾.QB BD. (6 分)（4）如果 BDE为直角三角形，因为 BED45 ,当 EBD 90时,此时F,E,M三点重合，如图27 - 2BF X轴,DC X轴,BF /DC. A此时四边形BDCF为直角梯形.（7 分）当 EBD90时，如图27 -3CF 又ABOD, BD / CF .X 轴,DC X 轴,BF / DC .a此时四边形BDCF为平行四边形.（8

8、分）下证平行四边形BDCF为菱形:2 2 2法一在 BDQ 中,OB QD BD ,2 1 2t2 4 t2t21 t7A2 2(t I)4, t I2 2,方法t2 2、_2t10, BD在OD上方解得t 2 1,1、2;或 t 21,21 （舍去）.tt得 B( . 2 1, , 21）,方法由得：BD t1 、2 2 2 2 2 t此时BD CD 、. 2, A此时四边形 BDCF为菱形（9分）OA AE t,OE .、2t,则 ED BD 2 . 2T.法二在等腰Rt OAE与等腰Rt EDB中AB AE BE t .2(2 . 2t) 2.2 t, 2.2 t 1,即t 1 2-2以

9、下同法一.t t此时 BD CD . 2,此时四边形BDCF为菱形.(9分)F.6.如图， ABC中，点P是边AC上的一个动点，过 P作直线 MN / BC,设MN交 BCA的平分线 于点E,交 BCA的外角平分线于点(1)求证：PE= PF;(2)BCFE可能是菱形吗？说明理由;当点P在边AC上运动时，四边形(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形，且ECF29006.，证明：t CE 平分 BCA , BCE = PCE 又 MN / BC , BCE = PEC PCE= PEC PE= PC 2同理 PF= PC PE= PF3不能4,理由是：t由可知， PE = PF=

10、PC,又 PC+PFCF , PE+PFCF 即 EFCF 5又菱形的四条边都相等， 所以四边形BCFE不可能是菱形.一一6若四边形 AECF是正方形.则 AP = CP, ACE =450 t BCE = PCE BCA = 90又t AP 3 AC 3 即 tan B = 3BC 2 BC8 B = 60 A = 90 / B = 3097. 在厶 ABC 中,AB=BC=2, ABC=120 将厶ABC 绕点 B 顺时针旋转角 (0 120,# A1BC1,交 AC 于点E, AC分别交A1C1、BC于D、F两点.(1) 如图，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1与FC有怎样的数量关系

11、？并证明你的结论;(2) 如图，当 =30时，试判断四边形 BC1DA的形状，并说明理由；(3)在(2)的情况下，求 ED的长.解：(1) EA FC ;提示证明 ABE C1BF(2)菱形(证明略)(3)过点 E 作 EG AB ,贝U AG=BG=I在 Rt AEG 中，AEAGCoS Aco 3 川由(2)知 AD=AB=2AD AE 2 -338.已知：在菱形 ABCD中，O是对角线BD上的一动点. ED12分(1)如图甲,P为线段BC上一点，连接 Po并延长交 AD于点Q ,当0是BD的中点时，求证:OPOQ ；(2)如图乙，连结 AO并延长，与 DC交于点R ,与BC的延长线交于点

12、 S 若AD4,DCB 60o,BS 10 ,求 AS和 OR 的长.QA OBP= ODQCBC o R A Z AD /V O是是BD的中点，在厶BOP 和厶DOQ中， BOP DOQ (ASA ) OP=OQ。如图，过 A作AT丄BC,与CB的延长线交于 T.是菱形， DCB=60 AB=AD=4 , OB=OD OBP= ODQ , OB=OD , BOP= DOQ(2)解: ABCD ABT=60 AT=ABS in60 = 2 .3TB=ABCos60 BS=10,=2 TS=TB+BS=12 , AS= /AT2 TS2 2,39 O AD / BS, AOD SOBoAO AD

13、OS SB彳2 ,则AS OS10 52 AS 7 AS= 2 39 , OS 7AS5AR ADRS SC OR=OS-RS=10 39OS5 OSARD SRCOSR 2ASRSRS RS 3AS 涯 o5 5639AC, AB CD,B ABCF ADCC ABE CDF 图 AB 丄 ON判断并9.如图5,在平行四边形 ABCD中，BE平分 ABC交AD于点E , DF平分 ADC交 BC于点F .求证：(1) ABE 也 CDF ;(2)若BD丄EF ,则判断四边形 EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论 证明：(1 )四边形 ABCD是平行四边形， A BE平分 ABC, DF

14、平分 ADC, ABE CDF ASA(2)由 ABE CDF ,得 AE CF 5在平行四边形ABCD中，AD / BC, AD BC DE / BF, DE BF四边形EBFD是平行四边形 6若BD EF,则四边形EBFD是菱形 810.如图，一个直角三角形纸片的顶点 A在 MON的边OM上移动，移动过程中始终保持于点B,AC丄OM于点A. MON的角平分线 OP分别交AB、AC于D、E两点.(1) 点A在移动的过程中，线段 AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由(2) 点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点 F与点A关于OP所在的直线对称, 说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样

15、特殊的四边形？(3)若 MON=45 ,猜想线段 AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.2 分3分M)F解：(1) AE=AD(2)菱形(法一):连接DF、EF点F与点A关于直线OP对称,E、D在OP上，AE=FE,AD=FD .由(1)得 AE=ADAE=FE=AD=FD四边形ADFE是菱形（法二）：连接AF交DE于点G连接DF,EF.点F与点A关于直线 OP对称可知：AF丄DE, AE=FE, AG=FG,又 I AE=AD DG=EG四边形ADFE是平行四边形 6分AF丄DE 平行四边形 ADFE是菱形（3） OC= AC+AD（法一）:证明：连接EF.点F与点A关于直线

16、OP对称,AO=OF IAC 丄 OM, MON=45 OAC=90 ACO= MON=45 OF = AO = AC由（2）知四边形ADFE是菱形 EF / AB AD=EF AB 丄 ON ABC=90 EFC= ABC =90 ACO=45 ACO= CEFB C N12分 FC = EF =AD又 OC=OF+FC OC = AC+AD（法 2）证明：连接 EF. AC 丄 OM, MON=45 / OAC=90 / ACO = MON =45 AO=AC由（2）知四边形 ADFE是菱形EF / AB AD=EF AB 丄 ON/ ABC=90 / EFC= ABC=90 ACO=45

17、 / FEC = ACO =45 FC=FE=AD AOE= FOE OE=OE, OAC= OFE=90OAE OFEOA=OF11分 OF=AC又 OF+FC=OC AC+AD=OC（法3）证明：延长 EA到G点，使AG=AE12分 OAE=90OA 丄 GE OG=OE AOG= EOA AOC=45 ,OP 平分 AOC AOE=22.5 AOG=22.5 G=67.5 GMPED CoG= G=67.5 CG=OC由(1)得 AD=AE AD=AE=AG AC+AD=OC11.如图，在菱形 ABCD中，AB=2cm , BAD=60 , E为CD边中点，点 P从点A开始沿AC方向以每

18、秒2.3 Cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达10分点C时，P, Q同时停止运动，设运动的时间为 X秒(1)当点P在线段AO上运动时.请用含X的代数式表示 OP的长度;若记四边形PBEQ的面积为y ,求y关于X的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ；(2)显然，当x=0时，四边形 PBEQ即梯形ABED ,请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 X的值；若不能，请说明理由解：(1)由题意得 BAO=30 , AC丄BD AB=2 OB=OD=I , OA=OC= .3C OP= .

19、3 2、3x过点E作EH丄BD，则 EH COD的中位线/ DQ=X BQ=2-xS BPQ S BEQ-(2 x)C3223x) - (2 x)2(2)能成为梯形，分三种情况:OQ tan3oC当 PQ/ BE 时， PQO= DBE=302 X=5此时PB不平行QE, X= 2时，四边形PBEQ为梯形.5当PE/ BQ时，P为OC中点 AP= ,即 2 3X此时，BQ=2-x= 5 PE,43 X=上时，四边形4当 EQ/ BP 时， QEHs BPOHE QHOP BO x=1 (x=0 舍去 x=1时，四边形此时，BQ不平行于PEQB为梯形.2 3综上所述，当X= 或一或1时，以5 412.如图 乙 在菱形 ABCD 中， A=60 为E.(1)求 ABD的度数；(2)求线段BE的长.解:在菱形ABCD 中，AB AD ,ABD为等边三角形由(1)可知BD AB 4又 OE AB ,及 ABD2分DCC2分P, B, E, Q为顶点的四边形是梯形A 60O点作 0EAB ,垂足,AB =4,0为对角线BD的中点，过图7ABD 60又 0为BD的中点60BOE 30