高中函数解题技巧方法总结高考.docx

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高中函数解题技巧方法总结高考

高中数学函数知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。

故B只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

要知道它的来历：

若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a2,a3,……an,都有2种选择，所以，总共有

种选择，即集合A有

个子集。

当然，我们也要注意到，这

种情况之中，包含了这n个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为

，非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？

（排除法、间接法）

的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在

上单调递减，在

上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。

）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

满足条件

，

满足条件

，

若；则

是

的充分非必要条件

；

若；则

是

的必要非充分条件

；

若；则

是

的充要条件

；

若；则

是

的既非充分又非必要条件

；

7.对映射的概念了解吗？

映射f：

A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。

）

注意映射个数的求法。

如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：

若

，

；问：

到

的映射有个，

到

的映射有个；

到

的函数有个，若

，则

到

的一一映射有个。

函数

的图象与直线

交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？

如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：

①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：

●分式中的分母不为零；

●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

●指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数

●余切函数

●反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]　，值域是

，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是

.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

复合函数定义域的求法：

已知

的定义域为

，求

的定义域，可由

解出x的范围，即为

的定义域。

例若函数

的定义域为

，则

的定义域为。

分析：

由函数

的定义域为

可知：

；所以

中有

。

解：

依题意知：

解之，得

∴　

的定义域为

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=

的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=

-2x+5，x

[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=

值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数y=

，

，

的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=

（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+

的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：

已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

例求函数y=

+

的值域。

解：

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

例求函数y=

+

的值域

解：

原函数可变形为：

y=

+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y

=∣AB∣=

=

，

故所求函数的值域为[

，+∞）。

注：

求两距离之和时，要将函数

9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2

，a+b+c≥3

（a，b，c∈

），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数y=

的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：

做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

13.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。

请看这个例题：

（2004.全国理）函数

的反函数是（B）

A．y=x2－2x+2（x<1）B．y=x2－2x+2（x≥1）

C．y=x2－2x（x<1）D．y=x2－2x（x≥1）

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。

可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。

下面请看一下我的思路：

原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。

原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.

我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。

思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04.上海春季高考）已知函数

，则方程

的解

__________.

15.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

（1）定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系

可以变形为求

的正负号或者

与1的关系

（2）参照图象：

①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：

奇函数）

②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。

（特例：

偶函数）

（3）利用单调函数的性质：

①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的

②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1

（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f（x）与

在f（x）的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。

（同增异减）

⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f（g）

g（x）

f[g（x）]

f（x）+g（x）

f（x）*g（x）都是正数

增

增

增

增

增

增

减

减

/

/

减

增

减

/

/

减

减

增

减

减

∴……）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（）

A.0B.1C.2D.3

∴a的最大值为3）

17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f（x）定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：

两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为