专题几何值问题含详细标准答案.docx

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专题几何值问题含详细标准答案

专题10几何最值问题

【十二个基本问题】

|｛问题1】

作法

图形

■

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崔宜统F土京一点乩便

恒最卜・

^AB.与丿交心即为"

陶点之闻疑用斤馆.血+_RBJ&小值人■曲.

【问藝巧“将军tt马”

作法

圈形

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【问題4】

暉理

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井别ft戌Q*P養于直起h，鸟的对林点0’和彎连QP+与海直诜交鹿即为MrN.

两点之间駅段W-四边形JVAZV竟隹卜龄m值为线股FP'的K.

【问理£】“這轿遗址”

作法

圈形

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将点丿向下平移A/W的也履单也輕』•连』直空h于点爪底N作网^）«于M.

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于a点p刘矜所索.

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琦点之圖堆段蠱旭.

R^PB^PC星小｛&-CZ?

Jrc*

1.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4

个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）

C.13cmD.17cm

第3题第4题

2.已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=2015cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点

发•在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为.

3.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE丄AB于E,PF丄AC于F，贝UEF的最小值为（

A.2B.2.2

4.如图，在矩形ABCD中，AB=10,

点，贝UBM+MN的最小值为（

）

C.2.4

BC=5.若点

）

C.53

D.2.5

N分别是线段AC,AB上的两个动

A.10B.8

5.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处

A处沿着木柜表面爬到柜角Ci处.

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4,BC=4,CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.Bi到最短路径的距离.

（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角

6.如图，已知P为/AOB内任意一点，且/AOB=30°点P1、卩2分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使厶PP1P2的周长最小，连接OP，若OP=10cm，求△PP1P2的周长.

7.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点

G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

第7题第8题第9题

&如图，在等腰RtAABC中，/BAC=90°AB=AC,BC=42,点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为.

9.如图，OO的半径为1,弦AB=1，点P为优弧AB上一动点,AC丄AP交直线PB于点C,

则厶ABC的最大面积是（

10•如图，已知抛物线y=—x2+bx+c与一直线相交于A（-1,0）,C（2,3）两点，与y轴交

于点N.其顶点为D.

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

⑵设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF//

BD交抛物线于点F，以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E

的坐标；若不能，请说明理由；

APC的面积的最大值.

11.如图，抛物线I交x轴于点A（—3,0）、B（1,0），交y轴于点C（0,-3）.将抛物线I沿y轴翻折得抛物线li.

（1）求h的解析式；

⑵在li的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点Ai及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线li于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径.

12.（2016•朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：

△ABC内总存在一

点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小.

【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE=PC,连接PD得到PD=PA，同时/APB+ZAPD=120°+60°=180°，/ADP+ZADE=180。

即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中，另取一点P',易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P'、D'、E四点不共

线，所以PA+PB+P'C>PA+PB+PC,即点P到三个顶点距离之和最小.

圍1EI2圏3

13•问题提出

（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,填空：

当点A位于时，

线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a,b的式子表示）.

问题探究

（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6,AB=3，如图2所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明几何最值6/16

理由，并直接写出线段BE长的最大值.问题解决：

（3）①如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），点B的坐标为（5,0），点

P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，/BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

②如图4,在四边形ABCD中，AB=AD，/BAD=60,BC=4（2，若对角线BD丄CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值.

14.如图所示，已知抛物线y=a（x+3）（x—1）（a^0）,与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C,经过点A的直线y=—3x+b与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求

点P的坐标；

（3）在

（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE.一动点Q从点B出

发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒牛个单位的速

度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

E点，过E作EF垂直AB交AB

答案

1平面展开最短路径问题

解：

如图所示：

•••长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.

/•PA=4+2+4+2=12（cm）,QA=5cm,

•••PQ=,PA2+AQ2=13cm.故选：

2.解：

设扇形的圆心角为n,圆锥的顶为E,

■/r=20cm,h=2015cm

••由勾股定理可得母线1=，:

r+h=80cm,

nnB0

而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2X20n=180,

•-n=90°

即厶EAA'是等腰直角三角形，

•••由勾股定理得：

AA'=:

A'E2+AE2=80/2cm.

答：

蚂蚁爬行的最短距离为80，-'2cm.

故答案为：

80'2cm.

3•解：

连接AP,v在厶ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

222

•-AB+AC=BC,

即/BAC=90°.

又•••PE丄AB于E,PF丄AC于F,

•四边形AEPF是矩形，

•EF=AP,•/AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4,

•EF的最小值为2.4,

故答案为：

2.4.

4•解：

过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到于F点，AC=5：

AC边上的高为=ABACBC=2;5,所以BE=4,.''5.

•/△ABCEFB,

•AB_AC10_5/5

•EF=BE,即EF=4'5

EF=&故选：

5.解：

（1）如图，

木柜的表面展开图是矩形ABC1D1或ACC1A1.

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC；或AC1;

（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC1D1爬过的路径AC'1的长是h=；42+（4+5）2.

几何最值9/16

蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形ABiCiD爬过的路径ACi的长li=.97,

蚂蚁沿着木柜表面ACCiAi爬过的路径ACi的长是12=v（4+4）2+52.

Il>12,故最短路径的长是12\89.

（3）作BiE丄ACi于E,

•••/CiEBi=ZCiAiA,/AiCiA是公共角,

•••△AAiCisABiECi,

口”BiEBiCi

即——=

AAiACi,

BiCi420

则BiE=-AAi=-5=为所求.

ACi89

6.解：

分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点Pi、P2,连接OM、ON、PPi、PP2,此时△PPiP2的周长最小，△PPiP2的周长=PiP2,PPi+PiP2+PP2=MPi+PiP2+NP2=MN,

•/M、N分别是P关于OA、OB的对称点，

••/MOA=/AOP,/NOB=/BOP,PPi=PiM,PP2=PzN’MO=PO=NO,

•••/MON=/MOA+/AOP+/NOB+/BOP=2/AOB,

V/AOB=30°,

•••/MON=2X30°=60°,

•△OMN是等边三角形，

又•/△PPiP2的周长=PiP2,PPi+PiP2+PP2=

MPi+PiP2+NP2=MN,

•••△MNP的周长=MN=MO=PO=i0cm.

7.解：

在正方形ABCD中,AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG,在厶ABE和厶DCF中，

AB=CD

/BAD=/CDA

AE=DF

•△ABE◎△DCF（SAS）,

•/i=/2,

】//V

在厶ADG和厶CDG中，

AD=CD

/ADG=/CDG

DG=DG

•△ADG◎△CDG（SAS）,

•/2=/3,•/i=/3,v/BAH+/3=/BAD=90°•；•/i+/BAH=90°,

•/AHB=i80。

—90°=90°取AB的中点O连接OH、OD,

则OH=AO=2AB=i,在Rt△AOD中,OD=；'AO2+AD2=_.''i2+22=.5,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,•当O、D、H三点共线时,DH的长度最小，最小值=OD—OH=\；'5—i.

（解法二：

可以理解为点H是在Rt△AHB,AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线几何最值i0/i6

时,DH长度最小）故答案为：

;5—1.

&解：

连结AE,如图1,

•••/BAC=90°AB=AC,BC=4：

'2,

AB=AC=4,tAD为直径，

•••/AED=90°AEB=90°,

•••点E在以AB为直径的OO上，

•/OO的半径为2,

•当点0、E、C共线时，CE最小，如图2,在Rt△AOC中，•/OA=2,AC=4,

•OC=]OA2+AC2=2：

•CE=OC—OE=2；'5—2,

即线段CE长度的最小值为2：

'5—2.

故答案为2,;5—2.

9•解：

连结OA、OB,作厶ABC的外接圆D，如图1,

•/OA=OB=1,AB=1,

•△OAB为等边三角形，

•/AOB=60°,

APB=㊁/AOB=30°,

•/AC丄AP,./C=60°,

•/AB=1,要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大,

•//ACB=60°点C在OD上，•/ADB=120°,

如图2,当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且

32'33

面积为〒AB=_4,.^ABC的最大面积为丁.

故选：

10.解：

⑴由抛物线y=—x+bx+c过点A（—1,0）及C（2,3）得，

—1—b+c=0b=2

—4+2b+c=3,解得c=3,

故抛物线为y=—x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（—1,0）及C（2,3）得

k+n01，r

2k+n=3,解得n=1故直线AC为戸x+1;

⑵如图1,作N点关于直线x=3的对称点N',则N'

121

故直线DN'的函数关系式为y=—~x+

当M（3,m）在直线DN'上时,MN+MD的值最小,

小1

则m=—-X3+

（3）由⑴、⑵得D（1,4）,B（1,2）,

•••点E在直线AC上,

设E（x,x+1）,

1如图2,当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x,x+3）,•/F在抛物线上,•x+3=—x2+2x+3,解得,x=0或x=1（舍去）•E（0,1）;

2当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x,x—1）由F在抛物线上•x—1=—x2+2x+3解得x=1-217或x=1+217

综上,满足条件的点E的坐标为（0,1）、1^17,3_J17或1+17

•E1-V173-怖或1+V173+V172'22'2'

⑷方法一：

如图3,过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG丄x轴于点G,设Q（x,x+1）,则P（x,—x2+2x+3）•••PQ=（—x2+2x+3）—（x+1）=—x2+x+2

11231227

又TSaapc=Saapq+Sacpq=2PQ-AG=2（—x+x+2）X3=—2x—?

+—

27•••面积的最大值为丁.

方法二：

过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG丄x轴于点G,如图

3,设Q（x,x+1）,则P（x,—x+2x+3）又TSaapc=S_（AAPH）+S_（直角梯形PHGC）—S_（△AGC）

=尹+1）（—x+2x+3）+

121323

2（—x+2x+3+3）（2—x）—-X3X3=—?

x+?

x+3

3127

=—_x—+—

228

•△APC的面积的最大值为年.

11.解：

（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1,依题意，由翻折变换的性质可知A!

（3,0）,B1（—1,0）,C点坐标不变，

因此抛物线h经过A!

（3,0）,B!

（—1,0）,C（0,—3）三点，

设抛物线h的解析式为y=ax2+bx+c,则有:

9a+3b+c=0

a—b+c=0，解得a=1,b=—2,c=—3,故抛物线h的解析式为：

y=x—2x—3.

c=—3

⑵抛物线ii的对称轴为：

x=-2a=1,

如图2所示，连接BiC并延长，与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求.

此时,|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C.

设P'为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：

|P'Ai-P'C|=|P'B_

（1）—P'C|vB_

设直线BiC的解析式为y=kx+b,则有：

令x=i,得y=—6,故P（i,-6）.

（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况.

1当圆位于x轴上方时，设圆心为D,半径为r,

由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D（1,r）,F（1+r,r）.

•••点F（1+r,r）在抛物线y=x2-2x-3上,

•••r=（1+r）-2（1+r）-3,化简得：

r-r-4=0

解得「1=：

+1,「2=（-gh（17）+1）/

（2）（舍去）,•••此圆的半径为1;

2当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为17―1.

综上所述，此圆的半径为」7严或：

-1.

•••/PAD=60°,△PACDAE,「.PA=DA、PC=DE、/APC=ZADE=120°,

•△APD为等边三角形，•PA=PD,/APD=ZADP=60°,

•••/APB+ZAPD=120°+60°=180°,/ADP+ZADE=180°即B、P、D、E四点共线,

•PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.「.FA+PB+PC的值最小.

（2）方法一：

如图2，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P,「.AB=DB、BE=BC=8、/ABD=ZEBC=60°,

•••/ABE=/DBC,在厶ABE和厶DBC中，

AB=DB

/ABE=/DBC,•••△ABE◎△DBC（SAS）,•CD=AE、/BAE=/BDC,

BE=BC

又•••/AOP=/BOD,•/APO=/OBD=60°在DO上截取DQ=AP，连接BQ,

在厶ABP和厶DBQ中，

AB=DB

/BAP=/BDQ,•••△ABP◎△DBQ（SA$,•BP=BQ,/PBA=/QBD,

AP=DQ

又•••/QBD+/QBA=60°/PBA+/QBA=60°即/PBQ=60°,

•△PBQ为等边三角形，•PB=PQ,

则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE,

在Rt△ACE中，TAC=6、CE=8,「.AE=CD=10,

故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10.

方法二：

如图3,

由

（2）知，当/APB=/APC=/BPC=120。

时,AP+BP+PC的值最小，

把厶CPB绕点C逆时针旋转60°得厶CP'B',

由

（2）知A、P、P'、B'共线，且AP+BP+PC=AB'PCB=/P'CB,

•••/PCB+/PCA=/P'CB+/PCA=30°•；•/ACB'=90°,

•AB'=AC2+B'C2=AC2+BC2=10

13.解：

（1）t点A为线段BC外一动点，且BC=aAB=b,

•当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且

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