专题几何值问题含详细标准答案.docx

1、专题几何值问题含详细标准答案专题10 几何最值问题【十二个基本问题】|问题1】作法图形fi崔宜统F 土京一点乩便恒最卜AB.与丿交心即为&陶点之闻疑用斤馆. 血+_RB J&小值人曲.【问藝巧“将军tt马”作法圈形在皮乱P F求一直P.植 PA-PB ISft小.ft占关十（的対楸点月 连丑11 与F交点即为PA*却点之创域矗最更 Rt+PH虽小值为才.ChlS3原建厶衽直続d百上分别求点 V. y爬上PhfN的周氐 录小-分別作点P关屮相直蜒府 舸祢虫F科F.连B严 与两豆找交应呵为JY. M严崗点之河我段最矩- PhLMy十四洗毘卜肖杓 mm*旳址.【问題4】暉理厶在直視“上分别求点 站、

2、Z+燮囚辿段P0丄 的周长量小.井别ft戌Q * P養于直起 h，鸟的对林点0和彎 连QP+与海直诜交鹿即 为 Mr N.P /两点之间駅段W- 四边形JVAZV竟隹卜龄m 值为线股FP的K.【问理】“這轿遗址”作法圈形AM/If ff占m J/ JT 1 在 m、TT t 亍分别卓点ME使MV 丄硏.且aM-AJN-V的 直量叽将点丿向下平移A/W的也 履单也輕连直空h 于点爪底N作网）于 M.K 氓:、尅两点之问揖钛戰眾 破-11?4已醫的小廈为闵處町菲法星理月kf * H崔E戡门求两直在在）便3V=& Jfffi .碍期吨的值爆卜胳点向占平 单拉；t作一P笑手 的对祢.珥f违f审.交 直

3、蝶1于点N将艸点何 左平移“牛牟位很剧.4 A*lvV :声;V两点之仙蛭段羸矩.AV-wy-ffjYffd #血阿.作法/,在召上求点儿在4上求ft点F芸于的别称点 Pf ,矗PE丄儿于乩交 耳于*e戍到EML垂境国蠱盅.MrLB的曦小値为纯段P鬥蛊刖作法耳理If fi丿沟H上一定点朋为&L 一廈庖在h卜嵬直.甘 在九上求直川便 AMN+NS的值毋小，作庖*黃于山的对称点 J*件点F关于人的対 味点矿r護卅耳交仃于 M.交石于M厶卞丘两点之仙筑魔星包. 血-册凶丘的丿卜值为 坯凰疋挪的怅.【闫題的殆法J5理.用 /徑宾丨上求一点趴 使0-PB|的值験屮.塞一艮壯丄曲中磴缄与SfSJ的交点即为

4、F.BF血J9平并上的点同境段两 端点的距虑榨萼一卜-PB| =0.【闻商LQ】作袪 i在直线上羞一直R便 R4-PE的置量大.作直堆一3+与岂堆的空 点即为玖A i 尸二阳瞎（I意曲竝之雄小手 第三炮.翻-肿|5. 网-Fff|的JB丈值.佃.EIMU图理*9i i在負班上琪一点头便 RA-PB 的值*A.柞吕黄干J的对称点护 作宜址护与J交点即 为鉄.4! j f fi三坤舉乜意苗迪之绘中于 JB 三过.|血-_Pfl| XJT . 回W大值mir .【问剧ID械鳖马点”團形A3厶ABC中擁一内博當小于.在d9D内求一点P.低Rl+FSrFC值険小.所求点为.變号点対*即 厲足 ZAP1-

5、ZSPC -Z jLPC=120 . tl.15. AC 対边向+H乍講诂AJCE. CD. BE于a点p刘矜所索.g咲 t.琦点之圖堆段蠱旭.RPBPC 星小&-CZ?,Jr c*1 .如图，长方体的底面边长分别为 2cm和4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从 P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）C . 13cm D. 17cmD第3题 第4题2. 已知圆锥的底面半径为 r = 20cm,高h= 20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点发在侧面上爬行一周又回到 A点，蚂蚁爬行的最短距离为 .3. 如图，在 ABC 中，AB= 3, AC = 4, BC =

6、5, P 为边 BC 上一动点，PE丄AB 于 E, PF 丄AC于F，贝U EF的最小值为（A . 2 B . 2.24.如图，在矩形 ABCD中，AB= 10,点，贝U BM + MN的最小值为（）C . 2.4BC = 5 .若点）C . 5 3D . 2.5N分别是线段AC, AB上的两个动A . 10 B . 85.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.（1） 请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2） 当AB= 4,BC = 4,CCi = 5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长. Bi到最短路径的距离.（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角6.如

7、图，已知P为/ AOB内任意一点，且/ AOB = 30点P1、卩2分别在OA、OB上，求作 点P1、P2,使厶PP1P2的周长最小，连接 OP，若OP= 10cm，求 PP1P2的周长.7.如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 AE = DF .连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H .若正方形的边长为 2,则线段DH长度的最小值是 .第7题 第8题 第9题&如图，在等腰 RtA ABC中，/ BAC = 90 AB= AC,BC = 4 2,点D是AC边上一动点，连 接BD，以AD为直径的圆交 BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .9.如图，O O的半径为1 ,弦A

8、B = 1，点P为优弧AB上一动点,AC丄AP交直线PB于点C,则厶ABC的最大面积是(B.10如图，已知抛物线 y= x2+ bx+ c与一直线相交于 A(- 1, 0), C(2, 3)两点，与y轴交于点N .其顶点为D .(1)抛物线及直线 AC的函数关系式；设点M(3, m),求使MN + MD的值最小时 m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B, E为直线AC上的任意一点，过点 E作EF /BD交抛物线于点F，以B, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由；APC的面积的最大值.11.如图，抛物线I交x轴于点A( 3, 0)

9、、B(1 , 0)，交y轴于点C(0, - 3).将抛物线I沿 y轴翻折得抛物线li.(1)求h的解析式；在li的对称轴上找出点 P,使点P到点A的对称点Ai及C两点的距离差最大，并说出理由； (3)平行于x轴的一条直线交抛物线li于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与 x轴相切，求 此圆的半径.12.(2016 朝阳)小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小.【特例】如图1，点P为等边 ABC的中心，将 ACP绕点A逆时针旋转60得到 ADE, 从而有 DE = PC,连接 PD 得到 PD = PA，同时

10、/ APB+Z APD = 120+ 60= 180，/ADP + Z ADE = 180。即 B、P、D、E 四点共线，故 PA + PB + PC = PD + PB+ DE = BE.在 ABC 中，另取一点P,易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 B、P、D、E四点不共线，所以PA + PB + PC PA + PB+ PC,即点P到三个顶点距离之和最小.圍1 EI2 圏313问题提出(1)如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a , AB=b ,填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a, b的式子表示).问题探究(2)点A为线段BC外一动点，且BC=

11、6 , AB=3，如图2所示，分别以 AB , AC为边，作 等边三角形ABD和等边三角形 ACE，连接CD，BE，找出图中与 BE相等的线段，请说明 几何最值6 / 16理由，并直接写出线段 BE长的最大值. 问题解决：（3）如图3,在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（2, 0），点B的坐标为（5, 0），点P为线段AB外一动点，且 PA=2，PM=PB，/ BPM=90，求线段AM长的最大值及此时点 P的坐标.如图4,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ BAD=60 , BC=4（2，若对角线 BD丄CD 于点D，请直接写出对角线 AC的最大值.14.如图所示，已知抛物线y= a(x +

12、 3)(x 1)(a 0),与x轴从左至右依次相交于 A、B两点， 与y轴相交于点C,经过点A的直线y= 3x+ b与抛物线的另一个交点为 D .(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点 P,使得以A、B、P为顶点的三角形与 ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点 E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE . 一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点 E,再沿线段ED以每秒牛个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？E点，过E作EF垂直 AB交AB答案1平面展开 最短路径

13、问题解：如图所示：长方体的底面边长分别为 2cm和4cm,高为5cm ./ PA = 4+ 2+ 4+ 2 = 12(cm),QA = 5cm, PQ = , PA2 + AQ2= 13cm .故选：C.2.解：设扇形的圆心角为 n,圆锥的顶为E,/ r = 20cm,h= 20 15cm由勾股定理可得母线 1=，:r + h = 80cm,n nB0而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为 2X20 n= 180 ,- n = 90即厶EAA 是等腰直角三角形，由勾股定理得： AA= : A E2+ AE2= 80 /2cm.答：蚂蚁爬行的最短距离为 80 ，- 2cm .故答案为：80 2cm .3

14、解：连接 AP,v在厶 ABC 中，AB= 3,AC = 4,BC = 5,2 2 2- AB + AC = BC ,即/ BAC = 90.又 PE丄AB于E,PF丄AC于F ,四边形AEPF是矩形，EF = AP, / AP的最小值即为直角三角形 ABC斜边上的高，即2.4,EF的最小值为2.4,故答案为：2.4.4解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到 于 F 点，AC= 5 ：5,AC 边上的高为=ABACBC= 2 ;5,所以 BE = 4 ,.5./ ABC EFB,AB_AC 10_5 /5EF = BE,即 EF = 4 5EF = & 故选：B .5.解：(1)如图

15、，木柜的表面展开图是矩形 ABC1D1或ACC1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC；或AC1;(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形 ABC1D1爬过的路径AC1的长是h= ；42+ (4 + 5)2.几何最值9 / 16蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形 ABiCiD爬过的路径ACi的长li= .97,蚂蚁沿着木柜表面 ACCiAi爬过的路径ACi的长是12= v (4 + 4)2 + 52.Il 12,故最短路径的长是1 2 89.(3)作 BiE丄 ACi于 E,/ CiEBi=Z CiAiA,/AiCiA是公共角, AAiCisA BiECi,口 ”BiE BiCi即= AAi ACi

16、,BiCi 4 20则BiE= - AAi = - 5=为所求.ACi 896. 解：分别作点 P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点Pi、P2, 连接 OM、ON、PPi、PP2,此时 PPiP2的周长最小， PPiP2的周长=PiP2,PPi+ PiP2 + PP2 = MPi + Pi P2 + NP2 = MN ,/ M、N分别是P关于OA、OB的对称点，/ MOA = / AOP,/ NOB=/ BOP,PPi= PiM,PP2= PzNMO = PO = NO ,/ MON = / MOA + / AOP + / NOB + / BOP = 2/AOB ,V

17、/ AOB = 30,/ MON = 2X30= 60, OMN是等边三角形，又/ PPiP2 的周长 =PiP2,PPi+ PiP2 + PP2 =MPi + PiP2+ NP2= MN , MNP 的周长=MN = MO = PO= i0cm .7.解：在正方形 ABCD 中,AB = AD = CD,/ BAD = / CDA,/ ADG =/ CDG, 在厶ABE和厶DCF中，AB = CDAE F/ BAD = / CDAAE = DF ABE DCF (SAS),0/ / i = / 2,】/ V在厶ADG和厶CDG中，F AD = CD/ ADG = / CDGDG = DG A

18、DG CDG (SAS),/ 2=/ 3,/ i = / 3,v/ BAH + / 3 =/ BAD = 90 ；/ i + / BAH = 90,/AHB = i80。 90= 90 取 AB 的中点 O连接 OH、OD,则 OH = AO = 2AB = i,在 Rt AOD 中,OD = ；AO2 + AD2 = _.i2+ 22= .5,根据三角形的三边关系，OH + DH OD, 当O、D、H三点共线时,DH的长度最小， 最小值=OD OH = ；5 i.(解法二：可以理解为点 H是在Rt AHB,AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线 几何最值i0 / i6时,DH长度最小)

19、故答案为：;5 1 .& 解：连结AE,如图1,/ BAC = 90 AB = AC,BC = 4 ：2,AB = AC= 4,t AD 为直径，/ AED = 90 AEB = 90,点E在以AB为直径的O O上，/O O的半径为2,当点0、E、C共线时，CE最小，如图2, 在 Rt AOC 中，/ OA = 2,AC= 4,OC = OA2+ AC2= 2 ：5,CE = OC OE= 2 ；5 2,即线段CE长度的最小值为2 ：5 2.故答案为2 ,;5 2.9解：连结 OA、OB,作厶ABC的外接圆D，如图1 ,/ OA = OB = 1,AB= 1 , OAB为等边三角形，/ AOB

20、 = 60,1APB =/ AOB = 30,/ AC 丄 AP,./ C = 60,/ AB = 1 ,要使 ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大,/ ACB = 60 点 C 在O D 上，/ ADB = 120,如图2,当点C优弧AB的中点时，点 C到AB的距离最大，此时 ABC为等边三角形，且3 2 3 3面积为 AB = _4,. ABC的最大面积为 丁.故选：D.210.解：由抛物线y = x + bx+ c过点A( 1,0)及C(2,3) 得，1 b+ c= 0 b= 24 + 2b+ c= 3,解得 c= 3,故抛物线为y= x2 + 2x+ 3又设直线为y= kx+ n过

21、点A( 1,0)及C(2,3)得k+ n 0 1 ，r2k+n =3,解得n=1故直线AC为戸x+1;如图1,作N点关于直线x= 3的对称点N,则N1 21故直线DN 的函数关系式为y= x+5当M(3,m)在直线 DN 上时,MN + MD的值最小,小 1则 m = -X3+5(3)由、得 D(1,4),B(1,2),点E在直线AC上,设 E(x,x+ 1),1如图2,当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则 F(x,x+ 3), / F 在抛物线上, x+ 3= x2 + 2x+ 3, 解得,x= 0 或 x= 1 (舍去) E(0,1);2当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点

22、E下方，则F(x,x 1) 由 F 在抛物线上 x 1 = x2 + 2x+ 3解得 x= 1 - 2 17或 x= 1 + 2 172综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、 1 17, 3_ J17或1+ 17 E 1 - V17 3-怖 或 1 + V17 3 + V17 2 2 2 2 方法一：如图 3,过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H ;过点C作CG丄x轴于 点 G,设 Q(x,x+ 1),则P(x, x2+ 2x+ 3) PQ = ( x2+ 2x+ 3) (x+ 1)= x2 + x + 21 1 2 3 12 27又 T Sa apc= Saapq + Sa cpq

23、 = 2PQ - AG = 2( x + x+ 2)X3= 2 x ? + 27 面积的最大值为丁.8方法二：过点 P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H ;过点C作CG丄x轴于点G,如图3,设 Q(x,x + 1),则 P(x, x + 2x+ 3)又 T Saapc= S_(A APH) + S_(直角梯形 PHGC ) S_( AGC)1 2=尹 + 1)( x + 2x + 3) +1 2 1 32 32( x + 2x+ 3 + 3)(2 x) - X3 X3= ?x + ?x+ 33 1 27=_ x + 2 2 8 APC的面积的最大值为 年.811.解：(1)如图1所示，设经

24、翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1, 依题意，由翻折变换的性质可知 A!(3,0),B1( 1,0),C点坐标不变，因此抛物线h经过A!(3,0),B!( 1,0),C(0, 3)三点，设抛物线h的解析式为y= ax2 + bx+ c,则有:9a + 3b+ c= 02a b+ c= 0 ，解得a= 1 ,b = 2,c= 3,故抛物线h的解析式为：y= x 2x 3.c= 3抛物线ii的对称轴为：x=- 2a= 1,如图2所示，连接BiC并延长，与对称轴x= 1交于点P,则点P即为所求.此时,|PA1 - PC|= |PB1- PC|= B1C.设P为对称轴x= 1上不同于点P的任意一

25、点，则有：|P Ai- P C|=|P B_(1) P C|v B_(1)C(三角形两边之差小于第三边 ), 故|P B1- P C|v |PA1- PC|,即 IP PC|最大.设直线Bi C的解析式为y= kx+ b,则有：令 x= i,得 y= 6,故 P(i, - 6).(3)依题意画出图形，如图3所示，有两种情况.1当圆位于x轴上方时，设圆心为D,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知 ，点D位于对称轴x= 1上，则D(1,r),F(1 + r,r).点 F(1 + r,r)在抛物线 y= x2-2x-3上,2 2 r = (1 + r) - 2(1 + r)-3,化简得：r - r-

26、4 = 0解得1= ：+ 1 ,2= (- gh(17)+ 1)/(2)(舍去),此圆的半径为 1;2当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为 17 1.综上所述，此圆的半径为7严或：-1./ PAD = 60 , PACDAE,. PA= DA、PC= DE、/ APC = Z ADE = 120 , APD 为等边三角形， PA = PD, / APD = Z ADP = 60,/APB + Z APD = 120 + 60= 180 , / ADP + Z ADE = 180 即 B、P、D、E 四点共线,PA + PB + PC = PD + PB+ DE = BE. FA + PB

27、+ PC 的值最小.（2）方法一：如图2，分别以AB、BC为边在 ABC外作等边三角形，连接 CD、AE交于 点 P,. AB = DB、BE= BC = 8、/ ABD = Z EBC = 60,/ ABE = / DBC,在厶 ABE 和厶 DBC 中，AB= DB/ ABE = / DBC , ABE DBC （SAS）, CD = AE、/ BAE = / BDC ,BE= BC又/ AOP=/ BOD, / APO=/ OBD = 60 在 DO 上截取 DQ = AP，连接 BQ ,在厶ABP和厶DBQ中，AB= DB/ BAP = / BDQ , ABP DBQ （SA$, BP

28、 = BQ, / PBA =/ QBD ,AP= DQ又/ QBD + / QBA = 60 / PBA +/ QBA = 60 即/ PBQ= 60, PBQ为等边三角形， PB = PQ,则 PA + PB + PC= DQ + PQ + PC = CD = AE,在 Rt ACE 中，T AC= 6、CE = 8,. AE= CD = 10,故点P到三个顶点的距离之和的最小值为 10.方法二：如图3,由（2）知，当/ APB =/ APC =/ BPC= 120。时,AP+ BP + PC 的值最小，把厶CPB绕点C逆时针旋转60得厶CP B ,由（2）知 A、P、P 、B 共线，且 AP + BP+ PC = AB PCB =/ P CB,/ PCB + / PCA =/ P CB + / PCA = 30 ； / ACB = 90,AB = AC2+ B C2= AC2 + BC2= 1013.解：（1）t点A为线段BC外一动点，且 BC = aAB = b,当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且