第一次个人赛.docx
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第一次个人赛
（随机号45）
汽车公司的最佳生产方案
摘要
本文主要研究的是南洋汽车公司的最佳生产方案。
本文根据利益最大化的原则，从而以此为目标进行规划，建立规划模型进行求解。
针对问题A
（1）：
以利润最大化为原则建立目标函数，毛利润=售价-成本，其中成本=直接材料费+直接劳力费+管理费（不变管理费+可变管理费），通过各个车间的生产能力的限制得到生产约束条件的表达式，以生产车间生产能力为约束建立了生产方案规划模型，最终得出在现有生产能力下生产2048辆A101型货车、632辆A102型货车为最佳生产方案，此时汽车公司所得毛利润为每月450600元。
针对问题A
（2）：
根据题意，在不减少A102型货车产量的情况下，增加A101的产量，所以原生产安排不变，即生产A101型货车333辆，A102型货车1500辆。
通过外包加工来增加发动机的装配能力，从而去除了发动机装配车间的生产能力限制的约束条件。
外包加工费接受的条件是产生的毛利润大于原生产安排的毛利润。
计算毛利润时未外包生产的货车的成本不变，外包生产的成本是把原来的发动机装配直接劳力费用和管理费用替换成外包费用。
最后，以外包费用最大为目标函数，以冲压车间、A101型装配车间、A102型装配车间的生产能力的限制和毛利润为约束条件建立规划方程。
得到结果为最少生产A101型货车1095辆，可接受的最大外包费用为491.2405辆/元。
针对问题B：
根据题意加班后直接劳动力费用提高50%，加班的固定管理费为40000，可变管理费仍保持原来的数值，所以对于未加班生产的部分，成本不变，通过加班生产的部分发动机装配的直接劳力费用变为原来的150%，还要加上加班的固定管理费用为40000元。
以此为基础计算毛利润。
发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，所以发动机装配车间的生产能力提高，约束条件有所改变。
并且加班是要在车间满负荷的情况下采取的，所以要增加约束条件。
即未加班生产的货车需要满足原来限制条件。
以毛利润最大为目标函数，各个车间的生产限制为约束条件建立规划方程。
得到最大月毛利润494.560千元大于最优生产安排的最月大毛利润449.250千元，所以加班方法值得采用。
关键词：
利润最大化；规划；
一、问题重述
南洋汽车公司生产2种型号货车：
A101型和A102型，并且设有冲压车间，发动机装配车间、A101型和A102型货车各自装配车间，这些车间的生产能力是有限的。
当前的市场需求情况是：
A101型货车售价为2100元、A102型货车售价为2000元，且在这样的价格下，不管汽车公司生产多少辆货车都能够售出。
根据前6个月的销售情况，A101型的销售为每月333辆，A102型为每月1500辆。
此时，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来。
在每月举行的计划会议上，公司总裁对上半年的报表中所列出的经营情况甚为不满。
各个部门就对其提出建议：
销售部门经理认为，销售A101型货车无利可图，一次建议A101型货车停产。
财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。
因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量。
生产部门经理认为，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，这也许是最好的方案。
现在公司总裁要求研究以下问题：
A、在现有条件下，考虑：
（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？
（2）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力，怎样的“外包加工”费是可以接受的；
B、考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。
假设加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，直接劳动力费用提高50％，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。
问：
加班的方法是否值得采用。
二、问题分析
本文是根据厂家需要利润最大化的原则建立规划模型进行建模求解。
针对问题A
（1）：
根据前6个月的销售情况，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来，所以安排不合理。
题目要求在现有资源条件下安排最合理，即要在各个车间的生产能力的限制下，毛利润最大。
（1）目标函数：
毛利润=销售额-成本，其中成本=成本=直接材料费+直接劳力费+管理费（不变管理费+可变管理费）。
（2）约束条件：
题中注明对冲压车间和发动机装配车间来讲，分别表示单位生产某一车型时的月生产能力，所以对于发动机装配车间来说装配能力之比
1:
2,对于冲压车间的生产能力为5:
7。
由此可以列出四个车间对车辆成产数量的约束。
针对问题A
（2）：
题目要求得到可接受的外包加工费，即求出在限制条件下外包费用的最大值。
（1）目标函数：
由于外包加工是增加发动机的装配能力，即只是将发动机外包。
所以，未外包生产的货车的成本不变，外包生产的成本发生了改变，即把原来的发动机装配直接劳力费用和管理费用替换成外包费用。
（2）约束条件：
根据题意外包加工只是增加了发动机的装配能力，所以只需要将原来的发动机车间的约束去除即可。
对于外包加工费的可接受条件看情况而定。
针对问题B：
题目要求评定加班的方法是否值得采用，若加班的最大毛利润大于不加班时的最优生产安排的毛利润，那么这个方法可行，反正，不可行。
所以就转化为求毛利润最大的规划问题。
（1）目标函数：
题中注明加班后直接劳动力费用提高50％，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。
所以对于未加班生产的部分，成本不变，通过加班生产的部分发动机装配的直接劳力费用变为原来的150%，还要加上加班的固定管理费用为40000元。
（2）约束条件：
根据题意加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，所以发动机装配车间的生产能力提高，约束条件有所改变。
并且加班是要在车间满负荷的情况下采取的，所以要增加约束条件。
即未加班生产的货车需要满足原来限制条件。
三、模型假设
1、市场需求没有发生变动，A101型车辆售价为2100元，A102型车辆售价为2000元，而且在这样的价格下，不管生产多少辆货车，都全部能售出；
2、生产车间不会因为故障导致停产；
3、直接材料费、直接劳力费和固定管理费稳定,不会发生变动；
4、税率不会随着毛收益的增加而增加；
5、每月生产数量和每月的销售数量是相互独立的，没有互相影响；
6、公司追求每月毛利益的最大化，而无需计算税后纯收入即先不考虑销售行政过程中的费用以及所得税；
7、限制公司生产的因素只有各车间的生产能力，不考虑其它因素；
8、公司的员工按时上下班、社会声誉稳定；
四、符号及变量说明
：
在现有资源的条件下生产两类车的数量，
；
：
外包加工生产两类车的发电机的数量，
；
：
加班生产两类车的发电机的数量，
；
：
每辆车的售价；
：
每个月的销售额；
：
每个月的总成本；
:
两类车的直接材料费用；
：
两个车的不同车间的每月直接劳力费用；
：
两个车的不同车间的每月可变管理费用；
：
两个车的不同车间的每月不变管理费用；
：
外包加工生产两类车的发电机的费用；
：
总的外包费用；
：
每个月的毛利润；
五、模型的建立与求解
5.1问题A
（1）的解决
在原来的生产中，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来，所以并不是最优的生产方案。
我们需要调整生产方案使生产商获利最大，因此该问题是一个线性规划问题。
5.1.1建立目标函数
1、销售额的计算：
P=
=
（1）
2、成本的计算：
成本的详细情况如表1所示：
表1：
两类货车的成产成本
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
可变管理费用
冲压
发动机装配
总装配
不变管理费用
1200
40
60
100
120
105
175
1000
30
120
75
100
200
125
385000
成本=直接材料费+直接劳力费+管理费（不变管理费+可变管理费）
即
C=
=
=
（2）
3、毛利润的计算：
Q=P-C=
（3）
5.1.2考虑其约束条件
根据题意可知各个车间的月生产能力对汽车的生产数目具有约束。
题目之中所给的已知是表示单位生产某一车型时的月生产能力，发动机装配车间每生产1辆A102型货车，在原来产量的基础上甲型的产量相应的减少2辆，而每个车间的总的月生产能力的最大值是不变的，根据比例关系3300：
1667=1.98：
1≈2：
1，同样，对于冲压车间而言生产甲乙型车的能力大小是2500：
3500=5：
7。
所以各个车间的约束条件分别为
1、冲压车间对总生产量的约束：
（4）
2、发动机装配车间对总生产量的约束：
（5）
3、A101形型装配车间对总生产量的约束：
（6）
4、A102形型装配车间对总生产量的约束：
（7）
5.1.3模型建立
综上所述可以得到模型如下：
max
S.t=
（8）
在这个模型的基础上，利用
求解该模型的最优解,可以生产A101车型2054辆，A102车型623辆最合理，可以获得最大月利润449250元。
如表2：
表2：
生产安排表
A101型货车生产数量（辆）
A102型货车生产数量（辆）
每月最大毛收益（千元）
半年最大毛收益（元）
2054
623
449.250
2695.5
5.2问题A
（2）的解决
题目要求得到可接受的外包加工费，即求出在限制条件下外包费用的最大值。
5.2.1建立目标函数
1、销售额的计算：
P=
=
（9）
2、成本的计算：
未外包加工的成本不变；外包是加工是为了增加发动机的装配能力，从而提高汽车的产量，所以计算外包加工的成本的时候把发动机装配的直接劳力费和可变管理费替换成外包费用。
具体费用如表3、表4所示：
表3：
未外包加工部分的成本
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
可变管理费用
冲压
发动机装配
总装配
不变管理费用
1200
40
60
100
120
105
175
1000
30
120
75
100
200
125
385000
表4：
外包加工部分的成本
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
可变管理费用
冲压
发动机装配
总装配
外包费用
1200
40
0
100
120
0
175
1000
30
0
75
100
0
125
成本=直接材料费+直接劳力费+管理费（不变管理费+可变管理费）+外包费即：
C=
=
（10）
3、毛利润的计算：
Q=P-C=
（11）
4、外包费用的计算：
（12）
5.2.2考虑其约束条件
根据题意‘‘在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量’’可以知道在
，
的条件下外包加工。
各个约束条件分别为：
1、冲压车间对总生产量的约束：
（13）
2、A101形型装配车间对总生产量的约束：
（14）
3、A101形型装配车间对总生产量的约束：
（15）
4、对最大毛利润的约束：
外包加工调整后的毛利润大于原来方案的毛利润可接受
即
（16）
5.2.3模型建立
综上所述，得到目标规划模型为：
min
S.t
（17）
在这个模型的基础上，利用
求解该模型的最优解,可接受的最大‘‘外包加工’’费是加工一个A101的发动机需要491.2405元，并且需要外包加工生产A101的发动机1095个。
如表4所示：
表4：
最大外包加工费用表
A101型货车发电机的最大外包加工费（元/辆）
外包生产A101型货车的数量（辆）
本公司生产A101型货车的数量（辆）
本公司生产A101型货车的数量（辆）
491.2405
1095
333
1500
5.3问题B的求解
题目要求评定加班的方法是否值得采用，若加班的最大毛利润大于不加班时的最优生产安排的毛利润，那么这个方法可行，反正，不可行。
所以就转化为求毛利润最大的规划问题。
5.3.1建立目标函数
（1）销售额的计算：
P=
=
（18）
（2）成本的计算：
根据题意可知加班后，直接劳动力费用提高50%，加班固定管理费用为40000，所以未加班成本不变，加班成本变为如下表5、表6、所示：
表5：
未加班部分的成本
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
可变管理费用
冲压
发动机装配
总装配
不变管理费用
1200
40
60
100
120
105
175
1000
30
120
75
100
200
125
385000
表6：
加班部分的成本
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
可变管理费用
冲压
发动机装配
总装配
加班固定管理费
1200
40
90
100
120
105
175
1000
30
180
75
100
200
125
40000
成本=直接材料费+直接劳力费+管理费（不变管理费+可变管理费）+外包费
即：
C=
=
（19）
（3）毛利润的计算：
Q=P-C=
（20）
5.3.2考虑其约束条件
根据题意可知加班后，发动机的装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，所以发动机装配的月生产能力有所增加。
并且加班加工是在目前汽车公司满负荷的情况下进行的，所以为加班生产的汽车部分需要有限制条件。
各个约束条件分别为：
1、未加班部分冲压车间约束：
（21）
2、未加班部分发动机车间约束：
（22）
3、总的冲压车间约束：
（23）
4、总的发动机车间约束：
（24）
5、总的A101型装配车间的约束：
（25）
6、总的A102型装配车间的约束：
（26）
5.3.3模型建立
综上所述得到规划模型：
max
S.t=
（27）
通过lingo求解可以得到月毛利润最大是494560元（不加班生产A101车型300辆，A102车型1500辆；加班生产A101车型1128辆，A102车型0辆）大于A
（1）所得的在不加班的情况下的最大月毛利润449250元，所以加班方法值得采用。
如表7所示：
表7：
加班安排表
加班生产A101型货车数量（辆）
加班生产A102型货车数量（辆）
自己生产A101型货车数量（辆）
自己生产A101型货车数量（辆）
最大月毛利润（千元）
最大半年毛利润（千元）
1128
0
300
1500
494.560
2967.36
六、模型的评价
6.1模型的评价与分析
6.1.2模型的优点：
（1）用lingo对规划问题进行求解方便快捷
（2）通过从汽车生产商的利润最大化的目标出发，在各生产车间生产能力的约束限制下采用了最佳规划模型，得到了最大利润时对于的生产方案，这种方法合情合理，最大化的满足了厂家的需求
（3）建立了一个双目标的规划模型，通过寻找次要目标的适当的界限值把次要目标作为约束来处理，将多目标规划转化为单目标规划，模型简单准确，并且能够很好的解决问题。
6.3模型的缺点：
（1）模型建立没有考虑到货车生产数量对销售、行政和其他费用的影响。
（2）发动机的生产能力的比例取了近似值有一定的误差。
七、模型的应用与推广
汽车公司的最佳生产方案问题属于规划问题问题，在我们的实际生活中，不仅仅是汽车生产公司的生产需要规划，各行各业的营销都需要规划使其盈利最大，这类模型可以广泛的运用于很多生产规划方面和制造运输方面。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊 主编 数学模型（第三版）[M].北京:
高等教育出版社.2009；
[2]姜启源，谢金星 数学模型案例选集[M].北京:
高等教育出版社.2006
附录：
A
（1）程序：
max=300*x1+350*x2-385000;
x1<=2250;
x2<=1500;
x1+5/7*x2<=2500;
x1+2*x2<=3300;
@GIN（x1）;@GIN（x2）;
Objectivevalue:
449250.0
VariableValueReducedCost
X12054.000-300.0000
X2623.0000-350.0000
A
（2）程序：
max=w1*y1+w2*y2;
x1+5/7*x2+y1+5/7*y2<=2500;
x1+y1<=2250;
x2+y2<=1500;
（300*x1+350*x2+465*y1+670*y2-w1*y1-w2*y2-385000）*6>1267000;
x1=333;x2=1500;
@GIN（x1）;@GIN（x2）;@GIN（y1）;@GIN（y2）;
Objectivevalue:
537908.3
VariableValueReducedCost
W1491.24050.000000
Y11095.000-465.0000
W20.0000000.000000
Y20.000000-670.0000
X1333.00000.000000
X21500.0000.000000
B的程序：
max=300*x1+350*x2+270*z1+290*z2-425000;
x1+z1<=2250;
x2+z2<=1500;
x1+5/7*x2+z1+5/7*z2<=2500;
x1+2*x2+z1+2*z2<=5300;
x1+5/7*x2<=2500;
x1+2*x2<=3300;
@GIN（x1）;@GIN（x2）;@GIN（z1）;@GIN（z2）;
Objectivevalue:
494560.0
VariableValueReducedCost
X1300.0000-300.0000
X21500.000-350.0000
Z11128.000-270.0000
Z20.000000-290.0000
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