学年人教版七年级数学下册第5章《相交线与平行线》同步单元解答题常考题型训练一.docx

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学年人教版七年级数学下册第5章《相交线与平行线》同步单元解答题常考题型训练一

人教版七年级数学下册第5章《相交线与平行线》

同步单元解答题常考题型训练

（一）

1．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连结PA、PB．

猜想：

如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为　　度．

探究：

如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．

拓展：

如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．

2．已知，AE∥BD，∠A＝∠D．

（1）如图1，求证：

AB∥CD；

（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：

∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．

3．如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．

（1）求证：

AB∥DE；

（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．

①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；

②直接写出∠DPG的度数为　　（结果用含α的式子表示）．

4．如图，如果AB∥CD，证明∠B+∠E＝∠C+180°．

请阅读以下证明过程，并补全所空内容．

证明：

过点E作直线EF，使得EF∥AB．

∵EF∥AB，∴∠B+　　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵AB∥CD，∴EF∥　　（平行于同一直线的两条直线平行）．

∴∠FEC＝∠C（　　）．

∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．

∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．

故：

∠B+∠BEC＝　　+∠C（等量代换）．

5．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2．

求证：

∠3＝∠ACB．

下面给出了部分证明过程和理由，请补全所有内容．

证明：

∵CD⊥AB，FE⊥AB

∴∠BDC＝∠BEF＝90°（　　）

∴EF∥DC（　　）

∴∠2＝　　（　　）

又∵∠2＝∠1（已知）

∴∠1＝　　（等量代换）

∴DG∥BC（　　）

∴∠3＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）

6．如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于H、F两点，FG平分∠EFD．

（1）若∠AHE＝112°，求∠EFG和∠FGB的度数；

（2）若∠AHE＝n°，请直接写出∠EFG和∠FGB的度数．

7．完成下面的证明：

（1）已知：

如图1，AB∥CD．

求证：

∠1+∠3＝180°．

证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠1+∠2＝180°（　　），

又∵∠2＝∠3（　　），

∴∠1+∠3＝180°（　　），

（2）已知：

如图2，AM∥EF，∠1＝∠B．

求证：

∠2＝∠C．

证明：

∵∠1＝∠B（已知），

∴EF∥BC（　　），

∵AM∥EF（已知），

∴AM∥BC（　　），

∴∠2＝∠C（　　）．

8．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．

小明：

老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即

已知：

如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．

求证：

∠AEC＝∠A+∠C．

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：

过点E作EF∥AB，

∴∠1＝∠A．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD．

∴∠2＝∠C．

∵∠AEC＝∠1+∠2，

∴∠AEC＝∠A+∠C．

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．

（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝　　．

（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝　　．

9．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°．

（1）求证：

AF∥DE；

（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．

10．完成推理填空：

已知，如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．试说明AD平分∠BAC．

证明：

∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），

∴∠ADC＝∠　　＝90°（垂直的定义），

∴AD∥EG（　　），

∴∠1＝∠2（　　），

∠　　＝∠3，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠E＝∠1（已知），

∴∠　　＝∠　　（等量代换），

∴AD平分∠BAC．

参考答案

1．解：

猜想：

如图①，过点P作PG∥l1，

∵l1∥l2，

∴l1∥l2∥PG，

∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，

∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，

∴∠APB的大小为55度，

故答案为：

55；

探究：

如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：

∵l1∥l2∥PG，

∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，

∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，

∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；

拓展：

∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：

如图，当点P在射线CE上时，

过点P作PG∥l1，

∴l1∥l2∥PG，

∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，

∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，

∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；

当点P在射线DF上时，

过点P作PG∥l1，

∴l1∥l2∥PG，

∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，

∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，

∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，

综上所述：

当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．

2．

（1）证明：

∵AE∥BD，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A＝∠D，

∴∠D+∠B＝180°，

∴AB∥CD；

（2）证明：

如图2，过点E作EP∥CD

，

∵AB∥CD，

∴AB∥EP，

∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，

∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，

∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，

即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，

∵AF是∠BAE的平分线，

∴∠EAF＝∠FAB＝

EAB，

∵FH是∠CFG的平分线，

∴∠CFH＝∠HFG＝

CFG，

∵CD∥AB，

∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，

设∠FAB＝α，∠CFH＝β，

∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，

∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，

∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）解：

如图，延长DC至点Q，

∵AB∥CD，

∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，

∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，

∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，

∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，

∴∠ECF＝∠CFG，

由

（2）问知：

∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，

∴∠AEC＝2∠AFH，

∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，

∴∠AFH＝20°，

由

（2）问知：

∠CFM＝2β，∠FHG＝β，

∵FH⊥HM，

∴∠FHM＝90°，

∴∠GHM＝90°﹣β，

过点M作MN∥AB，

∴MN∥CD，

∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，

∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，

由

（2）问知：

∠EAF＝∠FAB，

∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，

∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，

∴∠EAF+∠GMH＝70°．

3．

（1）证明：

∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，

∴∠AFD＝α＝∠CDE，

∴AB∥DE；

（2）解：

①如图即为补齐的图形，

∵∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，

∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，

由

（1）知AB∥DE，

∴∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，

∵∠DGB＝∠FDG+∠DFG，

∴2∠DGQ＝2∠GDP+130°，

∴∠DGQ＝∠GDP+65°，

∵∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，

∴∠DPG＝65°；

②由①知∠DPG＝

DFB＝

（180°﹣α）＝90°﹣

．

故答案为：

90°﹣

．

4．证明：

过点E作直线EF，使得EF∥AB．

∵EF∥AB，

∴∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵AB∥CD，

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）．

∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

∵∠BEC＝∠BEF+∠FEC．

∴∠B+∠BEC＝∠B+∠BEF+∠FEC．

故：

∠B+∠BEC＝180°+∠C（等量代换）．

故答案为：

∠BEF；CD；两直线平行，内错角相等；180°．

5．解：

∵CD⊥AB，FE⊥AB（已知），

∴∠BDC＝∠BEF＝90°（垂直定义），

∴EF∥DC（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠DCB（两直线平行，同位角相等），

又∵∠2＝∠1（已知），

∴∠1＝∠DCB（等量代换），

∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）

∴∠3＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．

故答案为：

垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠DCB；两直线平行，同位角相等；∠DCB；内错角相等，两直线平行．

6．解：

如图所示：

（1）∵∠1+∠AHE＝180°，∠AHE＝112°，

∴∠1＝68°，

又∵AB∥CD，

∴∠1＝∠EFD，∠FGB+∠DFG＝180°

∴∠EFD＝68°，

又∵FG平分∠EFD，

∴∠EFG＝∠DFG＝

＝34°，

∴∠FGB＝146°；

（2）若∠AHE＝n°时，

同理可得：

∠EFG＝90°﹣

；

∠FGB＝90°+

7．

（1）证明：

∵AB∥CD（已知），

∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠2＝∠3（对顶角相等），

∴∠1+∠3＝180°（等量代换），

（2）证明：

∵∠1＝∠B（已知），

∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行），

∵AM∥EF（已知），

∴AM∥BC（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

8．解：

（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：

∵EM∥AB，

∴∠1＝∠B，

又∵FN∥AB，

∴FN∥EM，

∴∠2＝∠3，

又∵AB∥CD，

∴FN∥CD，

∴∠4+∠C＝180°，

又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BE