北师大版八年级下册数学第一章周测试题.docx
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北师大版八年级下册数学第一章周测试题
北师大版八年级下册数学第一章周测试题
一．选择题（共10小题）
1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
2．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
3．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
4．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对
5．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．88°D．92°
6．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2
，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2
B．2+
C．4D．3
7．（2016•孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（ ）
A．∠1=2∠2B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．2∠1+∠2=180°
8．（2016•鞍山二模）如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
9．（2016春•乳山市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
10．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共10小题）
11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
12．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
13．（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
14．（2016•哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 ．
15．（2016•红桥区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的大小为 ．
16．（2016•哈尔滨校级模拟）已知：
等腰三角形ABC的面积为30m2，AB=AC=10m，则底边BC的长度为 ．
17．（2016•黄浦区三模）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y= ．（用x的代数式表示）
18．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
19．（2016春•东港市期末）等腰三角形两内角度数之比为1：
2，则它的顶角度数为 ．
20．（2016•河北模拟）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：
EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=
．
求证：
AB平分∠EAD．
22．（2016•徐州模拟）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
△OAB是等腰三角形．
23．（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将
（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．
25．（2016春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．
求证：
△BDE是等腰三角形．
26．（2016春•深圳校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：
△ABC是等腰三角形．
27．（2016春•吉安校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？
并证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明：
（3）若D在底边BC的延长线上，
（2）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
28．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：
∠CBE=∠BAD．
29．（2015秋•当涂县期末）如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
30．（2015秋•顺义区期末）已知：
如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
北师大版八年级下册数学第一章周测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：
①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
2．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=
∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【解答】解：
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=
∠A=
×30°=15°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
3．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：
∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED=
（180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选D．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
4．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对
【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．
【解答】解：
当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，
∴周长为13cm；
当5cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，
∴周长为14cm，
故选C
【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．
5．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．88°D．92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：
∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故选：
D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
6．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2
，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2
B．2+
C．4D．3
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．
【解答】解：
过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=2，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴AE+CE=BC=2
，
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2
，
故选：
A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
7．（2016•孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（ ）
A．∠1=2∠2B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．2∠1+∠2=180°
【分析】由已知条件∠B=∠C，∠1=∠3，在△ABD中，由∠1+∠B+∠3=180°，可推出结论．
【解答】解：
∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，
∴2∠1+∠C=180°，
∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，
∴3∠1﹣∠2=180°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的应用．
8．（2016•鞍山二模）如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】根据∠A=40°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求出∠PBA=∠PCB，于是可求出∠1+∠ABP=∠PCB+∠2，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．
【解答】解：
∵∠A=40°，
∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，
∴∠PBA=∠PCB，
∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×
=70°，
∴∠BPC=180°﹣70°=110°．
故选A．
【点评】此题不仅考查了三角形的内角和定理，还考查了同学们的整体思维能力，有一定难度．
9．（2016春•乳山市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC=∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC=∠DEB，
∵∠A=50°，
∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，
∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，
∴∠DEB+∠FEC=115°，
∴∠DEF=180°﹣115°=65°．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°．
10．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An﹣1AnBn﹣1的度数．
【解答】解：
∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1=
=35°；
同理可得，
∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=
×17.5°=
，
∴∠An﹣1AnBn﹣1=
．
故选：
C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1C2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
【解答】解：
因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：
4+4+2=10，
答：
它的周长是10，
故答案为：
10
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．
12．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 69°或21° ．
【分析】分两种情况讨论：
①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．
【解答】解：
分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：
∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
（180°﹣138°）=21°；
综上所述：
等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：
69°或21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
13．（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 16或8 ．
【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．
【解答】解：
∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．
故答案为：
16或8．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：
求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．
14．（2016•哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 35°或20° ．
【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
【解答】解：
在△ABC中，AB=AC，
①当∠A=70°时，
则∠ABC=∠C=55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣55°=35°；
②当∠C=70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣70°=20°；
故答案为：
35°或20°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
15．（2016•红桥区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的大小为 36° ．
【分析】由AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故答案为：
36°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
16．（2016•哈尔滨校级模拟）已知：
等腰三角形ABC的面积为30m2，AB=AC=10m，则底边BC的长度为 2
或6
．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
【解答】解：
作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=
AB•CD=
×10×CD=30，
解得：
CD=6，
∴AD=
=8m；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB﹣AD=2m，
∴BC=
=2
；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=18m，
∴BC=
=6
；
综上所述：
BC的长为2
或6
．
故答案为：
2
或6
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．
17．（2016•黄浦区三模）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y= x或90°﹣x ．（用x的代数式表示）
【分析】分类讨论：
①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，求出y与x的关系，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，求出y与x的关系即可．
【解答】解：
∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，
∴腰上的高相等．
①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y=x，
②当两个三角形应该是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y=90°﹣x．
故答案为x或90°﹣x．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型．
18．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 3，6或6.5或7.2 时，△ACP是等腰三角形．
【分析】根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．
【解答】解：
由题意可得，
第一种情况：
当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴CP=6cm，
∴t=6÷2=3秒；
第二种情况：
当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
第三种情况：
当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；
第四种情况：
当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A=
=
，
∴
，AB=10cm，
设CD=4a，则AD=3a，
∴（4a）2+（3a）2=62，
解得，a=
，
∴AD=3a=
，
∴t=
=7.2s
故答案为：
3，6或6.5或7.2．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
19．（2016春•东港市期末）
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