二项式定理.docx

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二项式定理

1．3.1　二项式定理

[学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一　二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）．

（1）这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

（2）展开式：

等号右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

（3）二项式系数：

各项的系数C（k∈{0,1,2，…，n}）叫做二项式系数．

知识点二　二项展开式的通项公式

（a＋b）n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.

思考1　二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？

答案　二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．

思考2　二项式（a＋b）n与（b＋a）n展开式中第k＋1项是否相同？

答案　不同．（a＋b）n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而（b＋a）n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.

题型一　二项式定理的正用、逆用

例1　利用（a＋b）n的二项展开式解题．

（1）求（a＋2b）4的展开式；

（2）求（2x－）5的展开式．

解　

（1）根据二项式定理（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，得（a＋2b）4＝Ca4＋Ca3（2b）＋Ca2（2b）2＋Ca（2b）3＋C（2b）4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.

（2）（2x－）5＝C（2x）5＋C（2x）4（－）＋C（2x）3·（－）2＋C（2x）2（－）3＋C（2x）（－）4＋C（－）5＝32x5－120x2＋－＋－.

反思与感悟　运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

跟踪训练1　

（1）求（3＋）4的展开式；

（2）化简（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）．

解　

（1）方法一　（3＋）4＝C（3）4＋C（3）3·＋C（3）2·（）2＋C（3）·（）3＋C·（）4

＝81x2＋108x＋54＋＋.

方法二　（3＋）4＝

＝[C（3x）4＋C（3x）3＋C（3x）2＋C·3x＋1]

＝（81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1）

＝81x2＋108x＋54＋＋.

（2）原式＝C（x－1）5＋C（x－1）4＋C（x－1）3＋C（x－1）2＋C（x－1）＋C－1＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1.

题型二　二项展开式通项的应用

例2　若（＋）n展开式中前三项系数成等差数列，求：

（1）展开式中含x的一次项；

（2）展开式中所有的有理项．

解　

（1）由已知可得C＋C·＝2C·，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1（舍去）．

Tk＋1＝C（）8－k·（）k

令4－k＝1，得k＝4.所以x的一次项为T5＝C2－4x＝x.

（2）令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.

反思与感悟　利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．

跟踪训练2　在（2x2－）8的展开式中，求：

（1）第5项的二项式系数及第5项的系数；

（2）x2的系数．

解　

（1）T5＝T4＋1＝C（2x2）8－4（－）4

所以第5项的二项式系数是C＝70，

第5项的系数是C·24＝1120.

（2）（2x2－）8的通项是C（2x2）8－r（－）r

由题意，得16－r＝2，解得r＝6，

因此，x2的系数是（－1）6C·28－6＝112.

题型三　二项式定理的应用

例3　

（1）试求199510除以8的余数．

（2）求证：

32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除．

（1）解　199510＝（8×249＋3）10.

∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，

∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．

又∵310＝95＝（8＋1）5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，

∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.

（2）证明　32n＋2－8n－9

＝（8＋1）n＋1－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋（n＋1）×8＋1－8n－9

＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82①.

①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．

反思与感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

跟踪训练3　已知n∈N*，求证：

1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．

证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝（31＋1）n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×（31n－1＋C×31n－2＋…＋C），

显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．

对组合数及展开式中的常数项理解不透致误

例4　求（x＋－1）5的展开式中的常数项．

错解　∵（x＋－1）5＝[（x＋）－1]5，

∴展开式的通项为Tr＋1＝C·（x＋）5－r·（－1）r（r＝0,1,2，…，5），

而（x＋）5－r的展开式的通项为T＝C·x5－r－k·（）k＝C·x5－r－2k（k＝0,1，…，5－r）．

欲求常数项，令5－r－2k＝0，即r＋2k＝5，

而0≤r≤5,0≤k≤5－r，k，r∈N*，

∴有三组解或或

∴所求常数项为CC（－1），CC（－1）3和CC·（－1）5，即－30，－20和－1.

错因分析　错解中出现了C这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑（x＋）5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n∈N*适用．当r＝5时，5－r＝0，此种特殊情况应特殊处理．还有概念的理解错误，一个展开式中只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项．

正解　∵（x＋－1）5＝[（x＋）－1]5，

∴展开式的通项为Tr＋1＝C·（x＋）5－r·（－1）r（r＝0,1,2，…，5）．

当r＝5时，T6＝C·（－1）5＝－1.

当0≤r＜5时，（x＋）5－r的展开式的通项为T＝C·x5－r－k·（）k＝C·x5－r－2k（k＝0,1,2，…，5－r）．

欲求常数项，令5－r－2k＝0，即r＋2k＝5.

∵0≤r＜5，且k，r∈N*，

∴r只能取1或3，相应的k值分别为2或1，

即或

∴常数项为CC（－1）1＋CC（－1）3＋（－1）＝－51.

点评　常数项其实也是二项式的特定项．求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项，根据通项的特点，求出相应的r的值，再代入通项求特定项或其系数．

1．1－2C＋4C－8C＋…＋（－2）nC等于（　　）

A．1B．－1

C．（－1）nD．3n

答案　C

解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝（1－2）n＝（－1）n.

2．若（1＋）4＝a＋b（a，b为有理数），则a＋b等于（　　）

A．33B．29C．23D．19

答案　B

解析　∵（1＋）4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，

又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.

3．在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3的项的系数是（　　）

A．－5B．5C．－10D．10

答案　D

解析　（1－x）5中x3的系数－C＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－C·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10.

4．二项式（2x＋）6的展开式中，常数项是________．

答案　240

解析　二项式（2x＋）6的第r＋1项为Tr＋1＝C（2x）6－r·（）r＝C·26－r·x6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，所以常数项是C·24＝240.

5.的展开式中x7的系数为________（用数字作答）.

答案　－56

解析　二项展开式的通项Tr＋1＝C（x2）8－r＝（－1）rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.

1.注意区分项的二项式系数与系数的概念．

2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．

3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．

一、选择题

1．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于（　　）

A．2nB．2n－1

C．3nD．1

答案　C

解析　原式＝（2＋1）n＝3n.

2．设S＝（x－1）3＋3（x－1）2＋3（x－1）＋1，则S等于（　　）

A．（x－1）3B．（x－2）3

C．x3D．（x＋1）3

答案　C

解析　S＝C（x－1）3＋C（x－1）2×1＋C（x－1）×12＋C×13＝[（x－1）＋1]3＝x3，故选C.

3．（x－y）10的展开式中x6y4项的系数是（　　）

A．840B．－840

C．210D．－210

答案　A

解析　在通项公式Tr＋1＝C（－y）rx10－r中，令r＝4，即得（x－y）10的展开式中x6y4项的系数为C·（－）4＝840.

4．（x2－）5展开式中的常数项为（　　）

A．80B．－80C．40D．－40

答案　C

解析　展开式的通项公式为Tk＋1＝C（x2）5－k（－）k＝Cx10－5k（－2）k.由10－5k＝0，得k＝2，所以常数项为T2＋1＝C（－2）2＝40.

5．已知（－）5的展开式中含x

的项的系数为30，则a等于（　　）

A.B．－

C．6D．－6

答案　D

解析　二项展开式的通项为Tr＋1＝C（）5－r（－）r＝（－a）rCx

＝（－a）rCx

.令－r＝，得r＝1.所以（－a）rC＝（－a）×C＝30，解得a＝－6.

6．在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）等于（　　）

A．45B．60C．120D．210

答案　C

解析　因为f（m，n）＝CC，

所以f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）

＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.

7．（1＋）（1＋x）4展开式中含x2的项的系数为（　　）

A．4B．6

C．10D．12

答案　C

解析　根据乘法公式，得：

（1）因式1＋中的1和（1＋x）4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；

（2）因式1＋中的和（1＋x）4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项．

（1＋x）4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr（r＝0,1，…，4），故（1＋）·（1＋x）4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10.

二、填空题

8.（2x＋）5的展开式中，x3的系数是____________（用数字填写答案）.

答案　10

解析　由（2x＋）5得Tr＋1＝C（2x）5－r（）r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.

9.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为________（用数字作答）.

答案　60

解析　（1－2x）6的展开式的通项Tr＋1＝C（－2）rxr，当r＝2时，T3＝C（－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60.

10．对于二项式（＋x3）n（n∈N*），有以下四种判断：

①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．

答案　①与④

解析　二项式（＋x3）n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k（k∈N*）和n＝4k－1（k∈N*）时，展开式中分别存在常数项和一次项．

11．若（ax2＋）6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

答案　2

解析　本题利用二项式定理求出x3项的系数，从而求得ab的值，再应用基本不等式解决．（ax2＋）6的展开式的通项为Tr＋1＝C（ax2）6－r·（）r＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.故填2.

三、解答题

12．已知在（x2－）n的展开式中，第9项为常数项，求：

（1）n的值；

（2）展开式中x5的系数；

（3）含x的整数次幂的项的个数．

解　已知二项展开式的通项Tk＋1＝C（x2）n－k·（－）k＝（－1）k（）n－kCx

.

（1）因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，

解得n＝10.

（2）令2n－k＝5，得k＝（2n－5）＝6，

所以x5的系数为（－1）6（）4C＝.

（3）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

13．

（1）求多项式3的展开式；

（2）求（1＋x）2·（1－x）5的展开式中x3的系数．

解　

（1）∵x2＋－2＝x2－2＋＝2，

∴3＝6

＝Cx6＋Cx5＋Cx42＋Cx33＋Cx24＋Cx5＋C6

＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋.

（2）方法一　（1＋x）2·（1－x）5＝（1－x2）2（1－x）3＝（1－2x2＋x4）·（1－3x＋3x2－x3），

∴x3的系数为1×（－1）＋（－2）×（－3）＝5.

方法二　∵（1＋x）2的通项Tr＋1＝C·xr，

（1－x）5的通项Tk＋1＝（－1）k·C·xk，

∴（1＋x）2·（1－x）5的通项（－1）k·C·C·xk＋r

（其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}），令k＋r＝3，

则有或或

故x3的系数为－C·C＋C·C－C＝5.