二项式定理.docx

1、二项式定理13.1二项式定理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点一二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数知识点二二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.思考1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答案二项式系数与项的系数完

2、全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关思考2二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项是否相同？答案不同(ab)n展开式中第k1项为Cankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Cbnkak.题型一二项式定理的正用、逆用例1利用(ab)n的二项展开式解题(1)求(a2b)4的展开式；(2)求(2x)5的展开式解(1)根据二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn，得(a2b)4Ca4Ca3(2b)Ca2(2b)2Ca(2b)3C(2b)4a48a3b

3、24a2b232ab316b4.(2)(2x)5C(2x)5C(2x)4()C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x5120x2.反思与感悟运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪训练1(1)求(3)4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)方法一(3)4C(3)4C(3)3C(3)2()2C(3)()3C

4、()481x2108x54.方法二(3)4C(3x)4C(3x)3C(3x)2C3x1(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.题型二二项展开式通项的应用例2若()n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项解(1)由已知可得CC2C，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)Tk1C()8k()k令4k1，得k4.所以x的一次项为T5C24xx.(2)令4kZ，且0k8，则k0,4,8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5x，T9.反思与

5、感悟利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等等其通常解法就是根据通项公式确定Tk1中k的值或取值范围以满足题设的条件跟踪训练2在(2x2)8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数解(1)T5T41C(2x2)84()4所以第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241 120.(2)(2x2)8的通项是C(2x2)8r()r由题意，得16r2，解得r6，因此，x2的系数是(1)6C286112.题型三二项式定理的应用例3(1)试求1 99510除以8的余数

6、(2)求证：32n28n9(nN*)能被64整除(1)解1 99510(82493)10.其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同又31095(81)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1.(2)证明32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC82(n1)818n9C8n1C8nC82.式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除反思与感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种

7、转化形式与除数有密切的关系跟踪训练3已知nN*，求证：122225n1能被31整除证明12222325n125n132n1(311)n131nC31n1C311131(31n1C31n2C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除对组合数及展开式中的常数项理解不透致误例4求(x1)5的展开式中的常数项错解(x1)5(x)15，展开式的通项为Tr1C(x)5r(1)r(r0,1,2，5)，而(x)5r的展开式的通项为TCx5rk()kCx5r2k(k0,1，5r)欲求常数项，令5r2k0，即r2k5，而0r5,0k5r，k，rN*，有三组解或或所求常数项为CC(1)，CC(1)3和CC(1)

8、5，即30，20和1.错因分析错解中出现了C这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑(x)5r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对nN*适用当r5时，5r0，此种特殊情况应特殊处理还有概念的理解错误，一个展开式中只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项正解(x1)5(x)15，展开式的通项为Tr1C(x)5r(1)r(r0,1,2，5)当r5时，T6C(1)51.当0r5时，(x)5r的展开式的通项为TCx5rk()kCx5r2k(k0,1,2，5r)欲求常数项，令5r2k0，即r2k5.0r5，且k，rN*，r只能取1或3，相应的k值分别为2或1，即或常数项为C

9、C(1)1CC(1)3(1)51.点评常数项其实也是二项式的特定项求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项，根据通项的特点，求出相应的r的值，再代入通项求特定项或其系数112C4C8C(2)nC等于()A1 B1C(1)n D3n答案C解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a，2看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.2若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab等于()A33 B29 C23 D19答案B解析(1)41412841712ab，又a，b为有理数，a17，b12.ab29.3在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A5 B5 C10 D10答案D解析(1x)5

10、中x3的系数C10，(1x)6中x3的系数为C(1)320，故(1x)5(1x)6的展开式中x3的系数为10.4二项式(2x)6的展开式中，常数项是_答案240解析二项式(2x)6的第r1项为Tr1C(2x)6r()rC26rx63r，令63r0，解得r2，所以常数项是C24240.5.的展开式中x7的系数为_(用数字作答).答案56解析二项展开式的通项Tr1C(x2)8r(1)rCx163r，令163r7，得r3，故x7的系数为C56.1.注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，

11、令其为特定值一、选择题1C2nC2n1C2nkC等于()A2n B2n1C3n D1答案C解析原式(21)n3n.2设S(x1)33(x1)23(x1)1，则S等于()A(x1)3 B(x2)3Cx3 D(x1)3答案C解析SC(x1)3C(x1)21C(x1)12C13(x1)13x3，故选C.3(xy)10的展开式中x6y4项的系数是()A840 B840C210 D210答案A解析在通项公式Tr1C(y)rx10r中，令r4，即得(xy)10的展开式中x6y4项的系数为C()4840.4(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案C解析展开式的通项公式为Tk1C(x

12、2)5k()kCx105k(2)k.由105k0，得k2，所以常数项为T21C(2)240.5已知()5的展开式中含x的项的系数为30，则a等于()A. BC6 D6答案D解析二项展开式的通项为Tr1C()5r()r(a)rCx(a)rCx.令r，得r1.所以(a)rC(a)C30，解得a6.6在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A45 B60 C120 D210答案C解析因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.7(1)(1x)4展开式中含x2的项

13、的系数为()A4 B6C10 D12答案C解析根据乘法公式，得：(1)因式1中的1和(1x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；(2)因式1中的和(1x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项(1x)4展开式的通项为Tr1Cxr(r0,1，4)，故(1)(1x)4展开式中含x2的项为1Cx2Cx310x2，即含x2项的系数为10.二、填空题8.(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案).答案10解析由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53得r4，此时系数为10.9.在(12x)6的展开式中，x2的系数为_ (用数字作答).答案60解析(12x)6的展开式的通

14、项Tr1C(2)rxr，当r2时，T3C(2)2x260x2，所以x2的系数为60.10对于二项式(x3)n(nN*)，有以下四种判断：存在nN*，展开式中有常数项；对任意nN*，展开式中没有常数项；对任意nN*，展开式中没有x的一次项；存在nN*，展开式中有x的一次项其中正确的是_答案与解析二项式(x3)n的展开式的通项公式为Tk1Cx4kn，由通项公式可知，当n4k(kN*)和n4k1(kN*)时，展开式中分别存在常数项和一次项11若(ax2)6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_答案2解析本题利用二项式定理求出x3项的系数，从而求得ab的值，再应用基本不等式解决(ax2)

15、6的展开式的通项为Tr1C(ax2)6r()rCa6rbrx123r，令123r3，得r3，由Ca63b320得ab1，所以a2b22ab2，故a2b2的最小值为2.故填2.三、解答题12已知在(x2)n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数解已知二项展开式的通项Tk1C(x2)nk()k(1)k()nkCx.(1)因为第9项为常数项，即当k8时，2nk0，解得n10.(2)令2nk5，得k(2n5)6，所以x5的系数为(1)6()4C.(3)要使2nk，即为整数，只需k为偶数，由于k0,1,2,3，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项13(1)求多项式3的展开式；(2)求(1x)2(1x)5的展开式中x3的系数解(1)x22x222，36Cx6Cx5Cx42Cx33Cx24Cx5C6x66x415x220.(2)方法一(1x)2(1x)5(1x2)2(1x)3(12x2x4)(13x3x2x3)，x3的系数为1(1)(2)(3)5.方法二(1x)2的通项Tr1Cxr，(1x)5的通项Tk1(1)kCxk，(1x)2(1x)5的通项(1)kCCxkr(其中r0,1,2，k0,1,2,3,4,5)，令kr3，则有或或故x3的系数为CCCCC5.